Экзаменационный билет №16

Вопрос 10. Понятие группы, подгруппы, примеры. Нормальная подгруппа, фактор-подгруппа. Теорема Лагранжа. Гомоморфизм и изоморфизм групп. Основная теорема о гомоморфизме групп.

М≠, ММ

Опр. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется  отображение : ММ→М. (a, b) →a  b.

Опр. Бинарная алгебраическая операция называется ассоциативной, если a  (b  с)= (a  b)  с, коммутативной, если a  b= b  a.

Опр. М≠ - называется полугруппой, если:

1. На М определена бинарная алгебраическая операция;

2. Операция ассоциативна.

Опр. Множество M≠ называется группой, если:

1) M - полугруппа;

2) существует нейтральный элемент (ноль или единица), т.е. такой элемент e , что m  e = e  m = m  m  M ;

3)  m  M   m` , что m  m` = m`  m = e, m` - обратный к m.

Элементарные свойства групп:

1. нейтральный элемент группы определён однозначно

2. в группе  mM m` - обратный определён однозначно

3. если m₁, m₂,…, m_n M, то (m₁  m₂  … m_n)^-1 = m₁^-1  m₂^-1  … m_n^-1

4. а М, nN, аⁿ=а  а  … а (n раз), mN аⁿ  а^m= а^n+m

aМ, m,nZ а⁰=0 (по определению)

аⁿ  а^m= а^n+m

Замечание. Группа обозначается G, g₁, g₂G, g₁  g₂ = g₁ * g₂ = g₁g₂- мультипликативная запись. Иногда  обозначают через «+» - аддитивная запись.

Опр. Группа G - называется коммутативной (абелевой) группой, если алгебраическая операция коммутативна.

Опр. Порядок группы G – это количество элементов. Обозначается |G|. Группа G - конечная, если |G| - конечное, иначе бесконечная.

Опр. Группа G с операцией «*» называется мультипликативной, нейтральный элемент обозначается 1, а обратный a^-1

Опр. Группа G с операцией «+» называется аддитивной, нейтральный элемент обозначается 0 , а противоположный через -a.

Опр. Пусть G - мультипликативная группа, подмножество H в G называется подгруппой, если это множество H само является группой относительно бинарной алгебраической операции, заданной в G.

Критерий подгруппы: Подмножество H в G будет подгруппой <=> h₁, h₂  H h₁ *h₂^-1  H

Примеры:1. Подмножество группы G, состоящее из одного элемента 1, будет подгруппой, и эта группа называется единичной подгруппой группы G.

2. Сама группа G является своей подгруппой.

3. Множество целых чисел Z, множество рациональных чисел Q, множество вещественных чисел R и множество комплексных чисел C являются группами относительно операции сложения «+».

4. Группа Z_n вычетов по модулю n с операцией сложения.

Теорема (Лагранжа): В конечной группе порядок произвольной её подгруппы является делителем порядка всей группы.

Опр. Пусть HG - подгруппа группы G . Левым смежным классом группы G по подгруппе H называется множество gH = {gh | hH}, где gG - некоторый элемент. Всякий элемент из gH называется представителем этого смежного класса.

Лемма. Группа G есть непересекающееся объединение левых смежных классов групп G по подгруппе H.

Замечание. Это разложение на группе G задаёт отношение эквивалентности. g₁~g₂ <=> g₁= g₂h, hH.

Замечание. Все левые классы смежности равномощны между собой.

Опр. G - группа, HG - подгруппа. Правым классом смежности группы G по подгруппе H называется множество Hg = {hg | hH}, где gG - некоторый элемент.

Замечание. Группа G есть непересекающееся объединение правых смежных классов групп G по подгруппе H.

Замечание. Все правые классы смежности равномощны между собой.

Свойства:

1.Правый смежный класс не совпадает с левым.

2. eH=H .

3. gH=H <=> gH .

4. Число элементов в gH равно |H| .

5. Если два левых смежных класса g₁H и g₂H имеют общий элемент, то g₁H=g₂H .

6. g₁H=g₂H <=> g₁^-1g₂ H.

Пример: G=S₃={е, (1 2),(1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}

H={e, (1 2)}

G={ e, (1 2)}(1 3)H(2 3)H={ e, (1 2)}{(1 3), (1 2 3)}{(2 3), (1 3 2)}

Опр. HG. Если разложение G по H в левые классы смежности совпадает с разложением в правые, то подгруппа H называется нормальной.

Опр. G - группа, H - её нормальная подгруппа. Тогда на классах смежности H в G aH ={aH | h  H} можно ввести умножение: (aH)(bH)=abH. Легко проверить, что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если   и  , то  . Это умножение определяет структуру на множестве классов смежности, а полученная группа G/H называется факторгруппой G по H.

Опр. Если G - конечна, то |G/H|=(G:H)=|G|/|H|

Опр. Даны (G₁, ) и (G₂, *), отображение : G₁→ G₂ - гомоморфизм групп, если  g₁, g₂G₁

( g₁g₂)= ( g₁)* ( g₁)

Опр. Сюръективный гоморфизм - эпиморфизм, Инъективный гоморфизм - мономорфизм. Биективный гомоморфизм – изоморфизм.

Пример: S_n Для каждой  S_n определим sign()= 1, если  - чётная, и -1 если - нечётная. Получаем гомоморфизм:

sign: S_n → {+1, -1},

sign(*)=sign()*sign() - Очевидно.

Теорема (основная теорема о гомоморфизмах): Пусть задан гомоморфизм групп: : G₁→ G₂ , тогда по гомоморфизму  можно построить изоморфизм, индуцированный гоморфизмом .