55.Метод Лагранжа решения задач нелинейного программирования.

Пусть рассматривается задача на условный экстремум

Y=f(x1,x2,..,xn) extr

Φi(x1,x1,..,xn)=bi, i=1,m

Причем среди ограничений нет неравенств, условия неотрицательности, дискретности переменных m<n функции f и φi непрерывны и имеют частные производные второго порядка.

Общий порядок решения задач методом Лагранжа

1.Записать функцию Лагранжа

L(X1,X2,X3,..Xn,λ1,λ2,…,λm)=f(x1,x2,..,xn)+(m,i=1)∑λi(bi-φi(x1,x2,…,xn)) extr

2.Найти частные производные функции Лагранжа по всем переменным и равно 0

И решить полученную систему

3.Функция f(x) имеет в стационарной точке (х1,х2,λ) условный максимум, если в ней и условный минимум, если

Для задач с двумя переменными второй дифференциал по формуле

При условии, что dx1 и dx2 связаны соотношением

56.Понятие о градиентном методе решения задач нелинейного программирования.

Градиентные методы можно применять к любой задаче нелинейного программирования. Градиент в каждой точке Х0, в которой он существует, направлен по нормали к линии уровня поверхности f(x) и показывает направление наискорейшего возрастания функции в данной точке. Идея решения—в допустимой области необходимо взять производную в точкеХ0 и переместиться из нее в градиентном направлении в точке Х1 сделав некоторый шаг в градиентном направлении перейдем в точку Х2 и т.д.

Градиентные методы отличаются друг от друга способом выбора величины шага. Можно двигаться из точки в точку с постоянным шагом. Иногда величина шага берется пропорционально модулю градиента. В методе наискорейшего подъема, величина шага λ определяется из уровня

Xk+1=Xk+λkΔf(Xk) c использованием необходимого признака экстремума