48.Метод ветвей и границ решения целочисленных задач.

Этот метод относится к группе комбинаторных.Применение этих методов заменяет полный перебор планов их частным перебором. Идея метода: пусть дана ЗЦЛП

f=(n,j=1)∑CjXi max

(n,j=1)∑AijXj=bi, i=1,m

xj≥0, j=1,n

xi-целое,j=1,n

Сначала в ОДЗ этой задачи определяется оптимальный план без учета условия целочисленности. Если в полученном решении некоторые переменные имеют дробное значение, то выбирают любую из дробных переменных и разветвляют исходную задачу на 2 подзадачи

f =∑CjXj max f =∑CjXj max

(n,j=1)∑AijXj≤bi, i=1,m (n,j=1)∑AijXj≤bi, i=1,m

Xk≤[Xk˚] Xk≥[Xk˚]+1

Xj≥0 Xj≥0

Xj-целое,j=1,n Xj-целое,j=1,n

Если после решения этих подзадач неизвестные не будут целочисленные, то выбирается задача с большим значением целевой функции и по неизвестной

Задача разбивается на 2 новые подзадачи. На каждом последующем шаге сравниваются целевые функции неразветвленных задач и ветвиться задача с большим значением целевой функции.

50.Задача о выборе кратчайшего пути на сети дорог.

Надо перевезти груз из А в Б, известна сеть дорог, их соединяющих.

Каждой дуге приписана стоимость перевозки груза. Надо определить наиболее экономичный маршрут.

Рассматривается некоторый управляемый процесс. В результате управления система переводится из состояния S0 в состояние S. Предположим, что управление может разбиться на n шагов, на кождом из которых выбирается одно из множества допустимых управлений Un (n=1,N). Элементы множества Un и Sn определяются из условия задачи.

На каждом шаге достигается эффект Zn. Общий эффект это сумма эффектом, достигнутых на каждом шаге. Тогда задача динам программир будет формулироваться: Определит такое допустимое управление U*=(U1, U2, .. ,UN), переводящее систему из состояния S0 в состояние SN, при котором общий эффект

Решение задач методом динамического программирования осуществляется на основе принципа оптимальности. Обозначим через fn (Sn-1; Un) условно оптимальное значение целевой функции в интервале от шага n до шага N включительно, при условии, что перед n-шагом система, находясь в одном из состояний множества Sn-1, а на n шаге было выбрано такое управление из множества Un, которое обеспечивало целевой функции условно оптимальное значение—fn+1 (Sn

51.Задача об оптимальном распределении средств м/д предприятиями на расширение производства.

Группе предприятий выделяют дополнительные средства для реконструкции и модернизации производства. По каждому из n предприятий известен возможный прирост gi(x) (i=1,n) выпуска продукции в зависимости от выделенной ему суммы х. Требуется так распределить между предприятиями средства с, чтобы общий прирост fn (c) выпуска продукции был максимальным.

Пусть n=1. Обозначим через f1(x) максимально возможный прирост выпуска продукции на этом предприятии. Соответствующий выделенной сумме x. Каждому значению х отвечает вполне определенное значение gi(x) выпуска, поэтому можно записать f1(x)=max(g1(x))= g1(x)

Если n=2 средства распределяются между 2 предприятиями. Если второму распределяется сумма х, то прирост продукции на нем составит g2(x)..Оставшиеся другому предприятию средства (с-х) в зависимости от х позволяет увеличить прирост выпуска до max возможного значения f1(с-x). Общий прирост выпуска на двух предприятиях: g2(x)+ f1(с-x).

Функциональное уравнение Беллмана для рассматриваемой задачи запишется в виде

fn(с)=max(gn(x)+fn-1(c-x)) (1)

0≤x≤c

Максимальный прирост выпуска продукции на n предприятиях определяется как max суммы прироста выпуска на n-м предприятии и прироста выпуска на остальных n-1 предприятиях при условии, что оставшиеся после n-го предприятия средства распределяются между остальными предприятиями оптимально. Имея уравнения типа (1) последовательно находим f1, затем f2, f3, и наконец fn-1, fn для различных значений распределяемой суммы.

Для отыскания оптимального распределения средств находим с средств n- му предприятияю. По величине оставшихся средств

И известному нам значению fn-1 устанавливаем --величину ассигнований(n-1)-му предприятию. И наконец находим