33. Теорема о существовании решения задачи двойственной пары задачь.

Теорема:Для существов-я оптимал-го плана люб-й из пары двойств-х задач небх-мо и достат-но существов-е допустим-го плана для каждой из них.

Доказ-во.Необход-ть.Пусть задачи двойств-й пары имеют оптим-е планы x* и y*.Это зн-т,что max z(x)=z(x*) и min f(y)=f(y*),т.е. x* и y* принадл-т обл-ти их допустимых планов.Соответств-щие системы огранич-й пары двойствен-х задач совместны,они имеют хотя бы по одному допустим-му плану (x* и y*).Достаточ-ть.Пусть каждая из пары двойств-х задач имеет допуст-ый план.Докажем,что они имеют оптим-е планы. Пусть y*—допустимый план задачи.Тогда для люб. допуст-го плана х ,согласно основ-му нерав-ву теории двойств-ти,получим z(x)≤f(y*) (1) .Решая задачу симпл-ым мет-м,получаем последоват-ть опорных планов , ,...,для кот-х z( ),z( ),…В силу нерав-ва (1) эта последоват-ть ограничена сверху.В ней найд-ся наибол. Знач-е целевой фун-и.Следоват-но,сущ-т допуст-й план x*,для кот. z(x)≤z(x*).Аналог-но доказ-ся,что f(y)≥f(y*)

34. Первая основная теорема двойственности.

Теорема(1-я теорема двойств-ти):Если одна из двойств-х задач имеет оптимал-е реш-е,то и др. имеет оптимал-е реш-е, причем экстрем-е значения целевых фун-й равны z(x*)=f(y*).Если одна из двойств-х задач неразрешима вследствие неогранич-ти целевой фун-и на множ-ве допустимых реш-й,то система огранич-й др. задачи противоречива.

35.Вторая теорема двойственности и ее эконом.Интерпритация.

Для того, чтобы допустимые решения пары двойственных задач были оптимальными, необходимо и достаточно выполнение условия: xj*(∑aij yi*-cj)=0, j от 1 до n, yi*(∑aij xj*-bi)=0, I от 1 до m. Это условия дополняющей нежесткости. Из них следует: если какое-либо ограничение двойств.задачи обращ-ся оптималь.планом в строгое равенство, то соответствующая компонента опт. плана двойственной задачи должно равняться нулю.Если же какая-то компонента опт. плана равна нулю, то соответствующее ограничение двойств.задачи обращается опт.планом в строгое равенство хj*>0 следовательно (i= от 1 до m)Σaij yi*=cj (затраты на пр-во продукции=цене) – Если продукция вошла в опт.план, то если затраты>цены, объем пр-ва=0 Σaij yi* >cj следовательно xj*=0

yi*>0 следовательно (j=от 1 до n) Σaij xj*=bi (рас-ды рес-ов =запас рес-ов).

(j=от 1 до n) Σaij xj* <bi следовательно yi*=0

Смысл теоремы сводится к следующему:

-если стоимост.оценка рес-ов расход-х на пр-во ед.прод-ии=цене, то этот вид прод-ии входит в оптим.план ;

-если затраты превышают цену, то прод-ию производить не следует;

- еслирасход рес-ов=запасу, то стоимост.оценка этого рес-са положительна. Такой рес-с наз-ся дефицитным. Наибелее дефицит.рес-с обладает наибольшей оценкой;

-если рес-с израсходован неполностью, то его стоимост.оценка = 0.

36. Экон. Смысл двойств. Оценок ресурсов

Двойственные оценки позволяют произвести экон. анализ пары двойств. задач, в частности определить дефицитность ресурсов, сырья, продукции. Большей условной оценке соотв. более дефицитный ресурс.

Осн. нер-во теор. двойств-сти: z(x) ≤ f(y). Его экон. смысл в том, что для любого допустимого плана пр-ва x и любого допустимого вектора оценок ресурсов у общая созданная стоимость не превосходит суммарной оценки ресурсов.

Экон. смысл Критерия оптимальности Кантаровича: план пр-ва x и вектор оценок ресурсов y явл. оптим., если цена всей произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают

Экон. содержание первой теор. двойств-сти: если задача определения опт. плана, максимиз. выпуск, разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов. Причем цена продукта, полученного в результ. реализ-ии опт. плана, совпадает с суммарной оцекой ресурсов. Совпадения знач-ий целевых ф-ций для соотв. реш-ий пары двойств. задач достат., чтобы эти реш-я были опт. Это зн., что план пр-ва и вектор оценок рес-в явл. опт. когда цена произвед. прод-ии и сумм-ая оценка рес-в совпадают. Оценки выступают как инструмент балансир-я затрат и результ-в. Двойств. оценки гарантируют рентабельность опт. плана, т.е. рав-во общей оценки прод-ии и рес-в обусловливает убыточность всякого другого плана, отличного от опт. Двойств. оценки позволяют сопоставл. и балансир-ть затраты и рез-ты сис-мы.

Двойств. оценки могут служить мерой дефицитности рес-в. Дефицитн. рес-с (полностью используемый по опт. плану пр-ва) имеет полож. оценку, а избыточный(используемые не полностью) – нулевую. (=> из усл-ий дополн. нежесткости)

Из третьей теор. двойств-сти: двойств. оценка численно равна измен-ю целевой ф-ции при измен-ии соотв. рес-са на единицу. Двойств. оценки часто наз. скрытыми, теневыми или маргинальными оценками рес-в.

Интервал устойчивости двойственных оценок.

Двойственные оценки справедливы в допустимом интервале устойчивости, к-рый для ресурса pl, l=1,m имеет вид [bl+Δbl ; bl+Δbl ] , где Δbl – нижний придел уменьшения соответствующего рес-са; Δbl – верхний предел увеличения.

Эти величины (придел измен-ия колич.рес-сов) опред-ся по матрице обратной к матрице коэф-тов ограничений.

По формулам dkl>0

dkl<0

37 Транспортная задача лин. прогр-я.

Имеются поставщики А₁, А₂ ... А_m с грузами a₁, a₂…a_m и потребители B₁, B₂ … B_n и их потребности b₁, b₂…b_n. Заданы стоимости c_ij перевозок единицы груза от i-го поставщика j-му потр-лю.(тут можно нарисовать таблицу=))) Требуется спланировать перевозки так, чтобы макс. удовл-ть спрос потр-лей с мин. затратами на перевозки.

Задачи, где суммарн. запасы грузов равны суммарн. потр-стям наз. закрытыми, а если не равны – открытыми.

Для сост-я мат. модели задачи вводим перем. x_ij = a_ij (i=1,m; j=1,n), обозначающие кол-во ед-ц перевозимого груза. Таких перем-х m*n и они должны удовл. след. усл-ям:

1. Огранич. по запасам: x_i1 + x_i2 +…+ x_in = a_i (i =1,m) (1)

2. Огранич. по потр-ям: x_1j + x_2j +…+ x_mj = b_j(j =1,n) (2)

3. Усл-я неотр-сти: x_ij ≥ 0 (i = 1,m; j = 1,n) (3)

Суммарн. трансп. затраты на перевозки :

f = c₁₁x₁₁ + c₁₂x₁₂ + …+c_ijx_ij + …c_mnx_mn (4)

Т.о. математически ТЗ представляется так. Найти m*n перем-х величин, удовл-щих сис-мам ур-ий (1), (2)и усл-ям неотр-сти (3), для кот. целевая ф-ция (4) приним. мин. знач-е. Необх и достат. усл-ем реш-я ТЗ в ОДР явл усл-е равенства суммарн. запасов грузов и суммарн. потр-стей.

Особенности сис-м (1) и (2) :

1. коэф-ы при неизвестных во всех ур-ях сис-мы равны 1.

2. каждая перем-я встречается только в 2-х ур-ях.

3. сис-ма ур-ий ТЗ симметрична относ. всех перем. x_ij

4. матрица, сост-я из коэф-в при перем-х x_ij (i = 1,m; j = 1,n) сост. из единиц и нулей , причем каждый столбец матрицы содержит 2 эл-та, равных единице, а остальные – нулю.

При реш-ии ТЗ надо учитывать, что ранг матрицы на 1 меньше кол-ва ур-й: r = m + n – 1. => каждое опорное реш-е сис-мы огранич-ий ТЗ должно иметь n – r = mn – ( m + n -1)=(m-1)(n-1) свободных перем-х равных нулю, и r = m + n – 1 базисных перем-х.

Если число занятых клеток удовл. усл-ю m + n – 1, то план перевозок наз. невырожденным, если нет – вырожденным.

Реш-е ТЗ проводиться с помощью общего приема последовательного улучшения плана, кот. реализован в симплексном методе. Этот прием вкл. след. этапы:

1. определение исходного опорного плана

2. оценка этого плана

3. переход к след. плану путем однократной замены одной из базисных перем-х на свободную

Сущ. различные способы реализации приведенных этапов реш-я ТЗ. Напр.: правило «северо-западного угла», правило «мин. эл-та», метод Фогеля, метод потенциалов и др