Сложность алгоритмов порождения минимальных пересечений

Пусть N – мощность универсума атомов, а n – мощность множества объектов.

Алгоритм Аншакова.

На первом шаге мы производим не более n – 1 операции пересечения. Построив на шаге 3 новый массив изъятием из объектов исходного, по крайней мере, одного атома, мы возвращаемся к первому шагу и так далее до тех пор, пока все объекты, кроме, может быть, одного, не окажутся пустыми. Очевидно, что нам придется повторить всю процедуру не более N раз. Таким образом, к пятому шагу мы придем, выполнив не более N (n –1) операций пересечения (в точности эта цифра возникает, когда все элементы массива, кроме первого, одноэлементны и различны, а первый совпадает с универсумом атомов). На пятом шаге для каждого полученного якобы минимального пересечения нам нужно произвести на одну операцию пересечения меньше, чем число множеств, участвовавших в его образовании. Количество порожденных пересечений не больше N, мощность множеств их образующих не больше n. Потому сложность алгоритма Аншакова может быть оценена выражением: N(n – 1) + N(n – 1) = 2N(n –1).

Алгоритм Хазановского.

Для каждого атома, выбранного на шаге 2, мы производим проверку всех исходных объектов на предмет нахождения в них этого атома, и затем, либо пересекаем объект с текущим пересечением, либо объединяем его с «дополнением» текущего пересечения. Таким образом, придется выполнить всего не более N  n операций пересечения и объединения.

Минимальные пересечения и автоматическое порождение гипотез

Если некоторые объекты из заданного множества обладают свойством, которым прочие объекты из этого множества не обладают, кажется разумным предположить наличие в составе этих объектов общих атомов, являющихся причиной свойства и отсутствующих в прочих объектах. Может быть так, что причиной свойства являются несколько атомов, только когда они совместно присутствуют в объекте. При автоматическом порождении гипотез нужно искать такие части объектов, обладающих определенным свойством, отличающие их от других объектов. Некоторые из таких частей, возможно, будут являться минимальными пересечениями, но не все. Минимальные пересечения должны состоять из атомов, не входящих в объекты, отличные от их образующих. Множество же атомов, являющееся причиной свойства, может содержать атомы, принадлежащие объектам, не обладающим свойством, но не должно включаться в такие объекты целиком.

Соответственно обозначенному требованию, сформулируем определение так называемых исчерпывающих пересечений:

Определение 3.1. Объект a — исчерпывающее пересечение объектов множества X (исчерпывающее пересечение над X), если

1. a — непустое пересечение объектов W;

2. W — непустое подмножество X;

3. a не включается в объекты множества X, не входящие в W.

W назовем множеством образующих исчерпывающего пересечения a.

Это определение по существу отличается от определения минимального пересечения только в пункте (III). Кроме того, не требуется, чтобы множество образующих было, по крайней мере, двухэлементным, т. е. каждый объект, не входящий ни в какой другой является исчерпывающим пересечением. Если одно исчерпывающее пересечение является собственным подмножеством другого, то оно определяет более общее понятие, под которое подходит большее количество объектов. Очевидно, что минимальные пересечения, являясь частным случаем исчерпывающих пересечений, определяют самые общие понятия для данного множества объектов.

Определение 3.2. Для данного множества объектов X формальным понятием над X называется пара <A, a>, где a – исчерпывающее пересечение над X, и A – множество образующих a.

Определение 3.3. Понятие <A΄, a΄> является более общим, чем понятие <A, a> (обозначение: <A΄, a΄> > <A, a>), если a΄a. Очевидно, что в таком случае AA΄.

Определение 3.4. Если <A, a> - понятие над множеством X, и не существует более общего, чем <A, a> понятия над X, то <A, a> - самое общее понятие над X.

Теорема 3.1. Если a — минимальное пересечение над X и A – множество его образующих, то <A, a> - самое общее понятие над X.

!!! Теорема 3.1 верна только, если определять исчерпывающее пересечение как непустое, исключая, таким образом, понятие с пустым содержанием и с объемом, равным множеству объектов.

Теорема 3.2. Если <A, a> — самое общее понятие над X, то либо a  X и не пересекается ни с какими объектами из X, либо a — минимальное пересечение над X, а A — его множество образующих.

Теорема 3.3. Система объемов самых общих понятий над множеством объектов X образует покрытие этого множества.

Формальные понятия предлагают классификацию, которой будут охвачены все объекты заданного множества. На верхнем уровне классификации будут находиться множества образующих минимальных пересечений, и объекты, вовсе уж уникальные, не имеющие общих атомов с прочими объектами. На нижнем уровне будут находиться, естественно, сами объекты, но только те, которые не являются подмножествами других объектов.

Получить все формальные понятия можно с помощью алгоритма, который основан на алгоритме Аншакова с несколько модифицированным пятым пунктом:

1. Последовательно пересекать первый объект со следующими, накапливая результат, при этом пропуская объекты, пересечение с которыми пусто, и запоминая номера объектов, участвующих в пересечении.

2. Построить новый массив объектов вычитанием полученного на первом шаге пересечения из объектов, входящих в его множество образующих.

3. Повторить процедуру с шага 1, считая первым первый непустой объект.

4. Каждое полученное пересечение заменить пересечением его образующих и добавить к множеству понятий понятие, равное по содержанию этому пересечению, а по объему – его множеству образующих.

5. Получить все пересечения множеств образующих, содержащих не менее двух объектов. Если пересечение не пусто, добавить к множеству понятий понятие, равное ему по объему, а по содержанию – пересечению входящих в него объектов.

Если перед исследователем стоит задача обнаружения причины конкретного свойства с целью получения возможности выдвигать гипотезы относительно обладания этим свойством объектами, о которых нет достоверной информации, то он не испытывает необходимости в полной классификации изучаемого множества. В таком случае не стоит искать все исчерпывающие пересечения, но нужно искать лишь некоторые.