Примечание: Данный текст является компиляцией статьи С.А. Объедкова «Алгоритмические аспекты ДСМ-метода автоматического порождения гипотез». Здесь содержится избыточный объем информации для ответа на билет, но достаточный для понимания проблемы этого билета. Если кого-то заинтересуют доказательства теорем или утверждений, то их можно найти в оригинале статьи.

Вступление

ДСМ-метод используется для предсказания свойств объектов на основе информации о свойствах других объектов. Предполагается, что известна определенным образом задаваемая структура объектов, на них определена операция сходства и имеется неполная информация об их свойствах. ДСМ-метод состоит в отыскании причины свойств и предсказании того, обладают ли теми или иными свойствами объекты, относительно которых такая информация отсутствует.

В различных вариантах ДСМ-метода по-разному определяются гипотезы о причинах свойства, но в основе всех определений лежит принцип, утверждающий, что причиной свойства является общая часть обладающих свойством объектов. В случае, когда объекты представлены в виде множеств, причиной свойства считаются атомы, общие для его положительных примеров.

Если объекты задаются в виде множеств, а операция сходства интерпретируется как пересечение, то процедуры выдвижения гипотез будут основаны на поиске сходств максимального количества объектов, т. е. непустых пересечений с максимальным по мощности множеством образующих. Такие пересечения являются минимальными – содержащими наименьшее количество атомов. Для порождения релевантных задаче гипотез потребуется впоследствии искать надмножества минимальных пересечений. Такие надмножества можно искать как минимальные по мощности пересечения объектов (не всех!) множества образующих того или иного минимального пересечения. Процесс порождения гипотез сводится, таким образом, к повторяющемуся процессу порождения минимальных пересечений на разных массивах объектов.

Изучение свойств минимальных пересечений и исследование поведения массива минимальных пересечений над заданным множеством объектов при добавлении к последнему нового объекта или при объединении его с другим множеством объектов поможет выбрать наиболее подходящий алгоритм для ДСМ-метода.

Теоретико-множественный аспект минимальных пересечений

Предположим существование некоторого множества объектов, каждый из которых представлен набором атомов, принадлежащих определенному универсуму. Пересечением объектов будем считать совокупность атомов, общих для данных объектов. Минимальные пересечения определим следующим образом:

Определение 1.1. Объект a – минимальное пересечение объектов множества X (минимальное пересечение над X), если

1. a – непустое пересечение объектов W;

2. W - подмножество X, состоящее, по крайней мере, из двух объектов;

3. a не пересекается с объектами множества X, не входящими в W.

W назовем множеством образующих минимального пересечения a.

Таким образом, минимальное пересечение объектов состоит из атомов, специфичных для данных объектов в сравнении с другими объектами рассматриваемого множества.

Теорема 1.1. Никакой атом не может входить более чем в одно минимальное пересечение над заданным множеством объектов.

Теорема 1.2. Множество образующих любого минимального пересечения над заданным множеством объектов единственно.

Теорема 1.3. Множества образующих минимальных пересечений не могут входить одно в другое.

Теорема 1.4. Если x – объект из X, пересекающийся с некоторыми другими объектами из X, то x входит во множество образующих какого-нибудь минимального пересечения над X.