12. Дерево достижимости и его свойства, алгоритм построения дерева, теорема оконечности дерева достижимости (без доказательства). Анализ сетей Петри с использованием дерева достижимости

Дерево достижимости – это исходящее дерево, вершинам которого соответствуют достижимые маркировки сети Петри. Начальной маркировке соответствует корневая вершина. Если из вершины μ' в вершину μ" ведет дуга, то она взвешена переходом, переводящим сеть Петри из маркировки μ' в μ". Всякий путь от корня в дереве соответствует допустимой последовательности переходов. Для превращения дерева в полезный инструмент анализа необходимо найти средства ограничения его до конечного размера, т.е. найти средства, которые ограничивают введение новых маркировок на каждом шаге построения. В этом смысле выделяют пассивные (терминальные), дублирующие вершины и вершины с расширенной маркировкой.

Пассивная (или терминальная) вершина – это маркировка, в которой нет разрешенных переходов ((0, 0, 1) для рис. 1).

Дублирующая вершина – это вершина с маркировкой, которая уже ранее встречалась в этом дереве достижимости. При появлении дублирующей вершины нет необходимости производить из нее дальнейшие построения, поскольку это приведет к появлению поддерева, полученного из места первого появления дублирующей вершины.

Расширенная маркировка вводится в случае постепенного наращивания количества фишек в той или иной позиции достигаемых маркировок.

Кроме того, различают граничные вершины и внутренние. Граничными вершинами называют вершины дерева достижимости, которые еще не обработаны алгоритмом построения дерева достижимости. В результате реализации алгоритма построения дерева достижимости граничные вершины превращаются в терминальные, дублирующие или внутренние.

Алгоритм построения (конечного) дерева

0. Определение начальной маркировки корнем дерева, и граничной вершиной. Один шаг алгоритма состоит в обработке граничной вершины. Пусть х — граничная вершина, тогда её обработка заключается в следующем:

1. Если в дереве имеется другая вершина y, не являющаяся граничной, и с ней связана та же маркировка, m[x]=m[y], то вершина х становится дублирующей.

2. Если для маркировки m[х] ни один из переходов не разрешен, то x становится терминальной.

3. В противном случае, для всякого перехода tÎT, разрешенного в m[х], создаётся новая вершина z дерева достижимости. Маркировка m[z], связанная с этой вершиной, определяется для каждой позиции pÎP следующим образом:

3.1. Если p_i в m[х] равно w, то p_i в m[z] равно w.

3.2. Если на пути от корневой вершины к x существует вершина y с m[y]<m[z] и m[y](p_i)<m[z](p_i), то m[z](p_i)=w. (В этом случае последовательность запусков переходов, ведущая из маркировки m[y] в маркировку m[z], может неограниченно повторяться и неограниченно увеличивать значение маркировки в позиции p_i). В противном случае значение p_i определяется на основе срабатывания перехода tj из верш. x

4. Строится дуга с пометкой t, направленная от вершины x к вершине z. Вершина х становится внутренней, а вершина z – граничной.

Такая обработка алгоритмом граничных вершин продолжается до тех пор, пока все вершины дерева не станут терминальными, дублирующими или внутренними. Затем алгоритм останавливается.

Теорема о конечности дерева достижимости (без доказательства)

Существующий алгоритм построения ограниченного дерева достижимости применим для любой возможной сети Петри.

Или Для любой сети Петри можно с помощью приведенного алгоритма построить ограниченное дерево достижимости.

Анализ сетей Петри с использованием дерева достижимости.

Анализ ограниченности: Сеть Петри ограничена тогда и только тогда, когда символ ω отсутствует в дереве достижимости. Если символа ω нет, то можно определить границу числа меток в позициях путем перебора вершин дерева достижимости.

Анализ сохранения: Если эта сумма фишек одинакова для каждой достижимой маркировки, то сеть Петри является сохраняющей. Если суммы не равны, сеть не является сохраняющей. Если маркировка некоторой позиции совпадает с w, то эта позиция должна был исключена из рассмотрения.

Анализ покрываемости: Проверяемая разметка покрываема, если она является вершиной дерева достижимости.

Анализ живости: изучение возможности срабатывания перехода. Переход сети Петри называют тупиковым, если в процессе функционирования сеть может оказаться в состоянии, в котором этот переход заблокирован. Нетупиковый переход называют активным.

• активность уровня 0, если он никогда не может быть активирован (пассивный или «мёртвый» переход);

• активность уровня 1, если существует состояние (достижимое из начального), в котором он активирован;(«потенциально живой» переход)

• активность уровня 2, если для всякого целого n существует последовательность срабатывания переходов, в которой данный переход присутствует по крайней мере n раз;

• активность уровня 3, если существует бесконечная последовательность срабатывания переходов, в которой данный переход присутствует неограниченно часто;

• активность уровня 4, если для любого достижимого состояния существует последовательность срабатываний, приводящая в такое состояние, в котором этот переход активирован (активный или «живой» переход).