10. Свойства сетей Петри безопасность, ограниченность, сохранение, достижимость.

Сети Петри - это аппарат для моделирования динамических дискретных систем. Сеть Петри определяется как четверка <Р, Т, I, О>, где Р и Т - конечные множества позиций и переходов, I и О -множества входных и выходных функций. Другими словами, сеть Петри представляет собой двудольный ориентированный граф, в котором позициям соответствуют вершины, изображаемые круж­ками, а переходам - вершины, изображаемые утолщенными чер­точками; функциям I соответствуют дуги, направленные от пози­ций к переходам, а функциям О - дуги, направленные от переходов к позициям.

Ограниченность (или К-ограниченность) имеет место, если число меток в любой позиции сети не может превысить значе­ния К. При проектировании автоматизированных систем опреде­ление К позволяет обоснованно выбирать емкости накопителей. Воз­можность неограниченного роста числа меток свидетельствует об опасности неограниченного роста длин очередей.

Безопасность - частный случай ограниченности, а именно это 1-ограниченность (K=1, один-ограниченность). Если для некоторой позиции установлено, что она безопасна, то ее можно представлять одним триггером.

Сохранение характеризуется постоянством загрузки ресурсов, т.е.

∑ А_i N_i = const, где N_i— число маркеров в i-й позиции; А_i - весовой коэффициент.

Достижимость М_k → М_j характеризуется возможностью достижения маркировки М_j из состояния сети, характеризуемого маркировкой М_k. (Разметку сети M называют достижимой из M₀, если существует последовательность срабатываний переходов, в результате которой разметка сети из M₀ переходит в M).

11. Матричный метод анализа сетей Петри

Сеть Петри - это набор N = (T,P,A), T Ç Р = Ø, где Т = {t₁, t₂, ..., t_n} - подмножество вершин, называющихся переходами; Р = {p₁, р₂, ..., p_m} - подмножество вершин, называющихся местами; А Í (T×P) Ç (P×T) - множество ориентированных дуг.

По определению, дуга соединяет либо место с переходом, либо переход с местом.

Данный подход основан на матричном представлении сетей Петри. Входная и выходная функции представляются матрицами и соответственно. Элементы матриц определяются следующим образом:

[i, j] = ( , I ( )); (количество фишек уходящее из позиции , при срабатывании перехода ),

[i, j] = ( , O ( )); (количество фишек приходящее в позицию , при срабатывании перехода ), i= ; j= .

Матричная форма представления сети C = < P (множество позиций), T (множество переходов), , > эквивалентна стандартной, но позволяет дать определения в терминах векторов и матриц.

Пусть е[j] – m-вектор - столбец, содержащий все нули, за исключением j-й позиции. Переход , таким образом, может быть представлен вектором e[j].

Переход в маркировке μ разрешен, если μ ≥ e[j], а результат запуска перехода в маркировке μ равен

σ(μ, ) = μ'= μ– e[j] + e[j] = μ + ( – )·e[j],

где ( – ) = D – составная матрица изменений, элементы которой могут быть отрицательными.

Тогда для последовательности запусков переходов σ = , , ..., имеем

δ(μ, σ) = μ + De[ ] + De[ ] + ... + De[ ] = μ + D﴾e[ ] + e[ ] + ... + e[ ]﴿ = μ + D·ƒ(σ),

,где ƒ(σ) = ﴾e[ ] + e[ ] + ... + e[ ]﴿ – вектор запусков последовательности σ, каждый элемент которого показывает число запусков соответствующего перехода. Все элементы этого вектора неотрицательны.

Для того чтобы показать сохранение сети, необходимо найти (ненулевой) вектор взвешивания ω, размерностью (1 × n), для которого взвешенная сумма по всем маркировкам постоянна, т.е. ωμ = ωμ'.

Поскольку маркировка μ' достижима, существует последовательность запусков переходов σ, которая переводит сеть из μ в μ':

μ' = μ + Df(σ).

Следовательно, ωμ = ωμ' = ω﴾μ + Df(σ)﴿ = ωμ + ωDf(σ).

Отсюда следует, что ωDf(σ) = 0. Поскольку это должно быть справедливо для всех f(σ), то ωD = 0.

Таким образом, сеть Петри является сохраняющей тогда и только тогда, когда существует такой вектор ω, что ωD = 0. Если ω = (1, 1, ..., 1), то это условие формулируется следующим образом: сумма элементов каждого столбца матрицы D должна быть нулевой.

Матричная теория сетей Петри является инструментом для решения проблемы достижимости. Предположим, что маркировка μ' достижима из маркировки μ. Тогда существует последовательность запусков переходов σ, которая приводит из μ к μ'. Это означает, что f(σ) является неотрицательным целым решением следующего матричного уравнения для х: μ' = μ+Dx .