Уравнения равновесия системы

Рассмотрим исходный код программы, предназначенной для:

1. нахождения положения равновесия,

2. линеаризации дифференциальных уравнений в окрестности найденного положения равновесия,

3. составления характеристического уравнения

4. нахождения его корней.

Для работы программы необходимо:

1. запрограммировать с применением символьных вычислений дифференциальные уравнения в функции sys=Difur() (см. ниже);

2. выполнить программу для получения уравнений равновесия в командном окне;

3. скопировать их из командного окна в функцию F = Ur_rav(q);

4. повторно выполнить программу.

Для инициализации глобальных величин в этом примере (см. global ниже) необходимо выполнить рассмотренный в предыдущем разделе скрипт Param.

Код программы:

function Lin_rav_kor

syms q1 q2 q1t q2t q1tt q2tt X t

global q00 % Значение по умолчанию

disp([pwd,'\Lin_rav_kor']); % pwd - текущая директория (папка)

God_date_time=fix(clock)

disp('А ты присвоил числовые значения глобальным величинам ?');

disp(' ');

disp(...

'Для присвоения надо перед ПЕРВЫМ выполнением этой программы 1 раз за сеанс')

disp(' выполнить Param_2');

disp(' ');

SW=input(...

'Для выполнения программы Param_2 введи 1,иначе - другой символ : ');

if SW==1

Param_2;

end;

disp(' ');

disp('Для получения уравнений равновесия введи 1 , если уравнения ');

SW=input(...

'равновесия уже занесены в Ur_rav(q), введи другой символ : ');

if isempty(SW)

SW=2;

end;

sys=Difur(); % Получение левых частей уравнений (прав. части равны нулю)

disp(' ');

Алгебраические уравнения для нахождения положений равновесия получаются подстановкой в дифференциальные уравнения нулевых скоростей и ускорений.

disp('Т.к. автоматически передать УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ в функцию Ur_rav ')

disp('не удается, их следует заносить в эту прог. вручную')

disp(' из командного окна посредством (Ctr/C, Ctr/V)')

disp('Надо также удалить из уравнений члены (силы и моменты),')

disp('явно зависящие от времени.')

disp(' ');

sys_rav=subs(sys,{q1,q2,q1t,q2t,q1tt,q2tt},{'q(1)','q(2)',0,0,0,0});

disp('УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ :')

disp(sys_rav);

disp(...

'После занесения уравнений равновесия в функцию Ur_rav (см. конец программы)')

disp(' повторно запустить программу')

if SW==1 return,end; % Остановка вычислений при отсутствии уравнений равновесия

% q0 = [0.3; 0.1]; % Стартовые значения обобщенных координат при нахождении

% корней системы уравнений равновесия

disp(...

'Для численного решения уравнений равновесия необходимо указать стартовую точку')

disp(...

'(2 числа), начиная с которой итерациями ищется решение.')

disp(' ')

disp(...

'Для нахождения стартовой точки можно использовать линиями уровня уравнений системы')

disp(' ');

SW=input(...

'Если хочешь построить линии уровня введи 1 , иначе - другой символ : ');

if SW==1

Level_line;

disp(...

'Определив визуально стартовые точки, запомни их и повторно запусти головную программу.')

SW=input('Нажми Ввод');

return;

end;

inp=input(...

'Введи стартовые значения (например, 0.3 0.1 ) : ','s'); %Ввод без [ ]

if isempty(inp)

q0=q00;

else

q0=str2num(inp)';

q00=q0;

end;

options=optimset('Display','off'); % Показ хода решения 'iter'

[q,fval] = fsolve(@Ur_rav,q0,options); % Call optimizer

% format long

q10=q(1); q20=q(2);

disp(' ')

disp([...

'Положение равновесия : q10 = ',num2str(q(1)),' , q20 = ',num2str(q(2)) ]);

disp(' ')

Далее линеаризуются уравнения движения в окрестности положения равновесия:

q1t='q1t'; % Освобождение переменных

q2t='q2t';

q1tt='q1tt';

q2tt='q2tt';

A1=diff(sys,q1tt); % Производная по обобщенному ускорению d2q1/dt^2

B1=diff(sys,q1t); % Производная по обобщенной скорости dq1/dt

C1=diff(sys,q1); % Производная по обобщенной координате q1

A2=diff(sys,q2tt);% Производная по обобщенному ускорению d2q2/dt^2

B2=diff(sys,q2t); % Производная по обобщенной скорости dq2/dt

C2=diff(sys,q2); % Производная по обобщенной координате q2

Вычисляются значения производных в положении равновесия:

A10=vpa(subs(A1,{q1,q2,q1t,q2t,q1tt,q2tt},{q10,q20,0,0,0,0}),6);

B10=vpa(subs(B1,{q1,q2,q1t,q2t,q1tt,q2tt},{q10,q20,0,0,0,0}),6);

C10=vpa(subs(C1,{q1,q2,q1t,q2t,q1tt,q2tt},{q10,q20,0,0,0,0}),6);

ABC1=[A10 B10 C10];

ABC1_=vpa(ABC1*[X^2;X;1],6);

ABC1__=vpa(ABC1*[q1tt;q1t;q1],6);

A20=vpa(subs(A2,{q1,q2,q1t,q2t,q1tt,q2tt},{q10,q20,0,0,0,0}),6);

B20=vpa(subs(B2,{q1,q2,q1t,q2t,q1tt,q2tt},{q10,q20,0,0,0,0}),6);

C20=vpa(subs(C2,{q1,q2,q1t,q2t,q1tt,q2tt},{q10,q20,0,0,0,0}),6);

ABC2=[A20 B20 C20];

ABC2__=vpa(ABC2*[q2tt;q2t;q2],6);

disp ('Линеаризованная в окрестности положения равновесия система диф.');

disp('уравнений (без сил и моментов, явно зависящих от времени) :')

ABC__=[ABC1__ ABC2__];

disp(ABC__);

% ABC=[ABC1 ABC2]

ABC2_=vpa(ABC2*[X^2;X;1],6);

ABC_=[ABC1_ ABC2_];

disp('Характеристическое уравнение линеаризованной системы :')

XAR_ur=det(ABC_);

disp(vpa(XAR_ur,6));

X=solve(XAR_ur,X);

disp(' ')

disp(' Корни характеристического уравнения :')

disp (vpa(X,6))

disp('====================');

В вышерассмотренной программе используются три вспомогательные функции ­ –Difur, Ur_rav, Level_line. Функция Difur предназначена для получения системы двух уравнений в символьном виде. Выходными параметрами этой функции являются левые части дифференциальных уравнений в символьном виде, выраженные

через q1,q2,q1t,q2t,q1tt,q2tt и глобальные величины.

function sys=Difur()

global m1 m2 r l c e M0 p p0 gam

g=9.8; % м/сек

syms d2fi dfi fi_ d2tet dtet tet t ...

q1 q2 q1t q2t q1tt q2tt

% Удобнее сначала записать уравнения движения в содержательных обозначениях,

% а затем заменить общепринятыми q1,q2,q1t,q2t,q1tt,q2tt

alf=fi_-tet -pi/6;

ur1=(5/6*m1+4/3*m2)*r^2*d2fi +2*m2*l*e*(sin(alf)*d2tet-cos(alf)*dtet^2)...

- (m1*sin(fi_)+2*m2*cos(fi_-pi/6))*e*g+c*fi_ ...

-M0*sin((p*t+p0)*t+gam); % Первое уравнение (левая часть)

ur2=2*e*(sin(alf)*d2fi+dfi^2*cos(alf))+l*d2tet+g*sin(tet); % Второе уравнение

sys1=[ur1;ur2]; % Система 2-х ур-ий

% Переход к q1,q2,q1t,q2t,q1tt,q2tt :

sys=subs(sys1,{fi_,tet,dfi,dtet,d2fi,d2tet},{q1,q2,q1t,q2t,q1tt,q2tt});

Во вспомогательную функцию Ur_rav необходимо записать уравнения равновесия без учета членов, явно зависящих от времени, по шаблону F=[ уравнение равновесия 1 ; уравнение равновесия2];

function F = Ur_rav(q)

F = [ (39*q(1))/20 - (49*3^(1/2)*((2*cos(q(1) - pi/6))/5 + sin(q(1))))/75;

(49*sin(q(2)))/5];

Функция Level_line предназначена для построения поверхности по числовым значениям в узлах.

function Level_line

limx=[-5,5]; limy=[-5,5]; % Границы области построения линий уровня

stepx=0.1; stepy=0.1; % Шаг сетки по x и по y

x=limx(1) : stepx : limx(2); % сетка по x

y=limy(1) : stepy : limy(2); % сетка по y

[x_,y_]=meshgrid(x,y); % Вспомогательные матрицы для программ 3D-графики

% Вычисление ф-ции в узлах :

lenx=length(x);

leny=length(y);

for i= 1:lenx

for j= 1:leny

q=[x(i),y(j)];

F = Ur_rav(q);

z1(i,j)=F(1); % Первое уравнение равновесия (по столбцам, как в форт. )

z2(i,j)=F(2); % Второе уравнение равновесия (по столбцам, как в форт. )

end; end;

mesh(x_,y_,z1); % График левой части первого уравнения равновесия

set(gca,'FontName','MS Sans Serif'); % Установка подходящего шрифта

title('Зависимость левой части 1-го ур-ия от q1,q2')

xlabel('q1')

ylabel('q2')

zlabel('f1')

figure

[C,h] = contour(x_,y_,z1); % Линии уровня левой части 1-го уравнения равновесия

set(gca,'FontName','MS Sans Serif'); % Установка подходящего шрифта

set(h,'ShowText','on')

colormap cool

title('Линии уровня левой части 1-го ур-ия')

figure

mesh(x_,y_,z2); % График левой части 2-го уравнения равновесия

set(gca,'FontName','MS Sans Serif'); % Установка подходящего шрифта

title('Зависимость левой части 2-го ур-ия от q1,q2')

xlabel('q1')

ylabel('q2')

zlabel('f2')

figure

[C,h] = contour(x_,y_,z2); % Линии уровня левой части 2-го уравнения равновесия

set(gca,'FontName','MS Sans Serif'); % Установка подходящего шрифта

title('Линии уровня левой части 2-го ур-ия')

set(h,'ShowText','on')

colormap cool

set(gca,'FontName','MS Sans Serif'); % Установка подходящего шрифта