3.5.3. Физическое моделирование структуры потоков

Рассмотрим основные этапы физического моделирования структуры потоков на примере горизонтального цилиндрического проточного аппарата (рис. 3.2) в стационарных условиях.

Сокращение исчерпывающего описания для объекта-оригинала. Зачастую условия проведения процесса в конкретном аппарате позволяют исключить некоторые члены и даже уравнения исчерпывающего описания. Так как моделируемый объект представляет цилиндрический аппарат, то удобнее его описывать в цилиндрических координатах х, r, . При горизонтальном расположении аппарата и вынужденном движении среды влиянием сил тяжести можно пренебречь. Это позволяет сделать еще одно допущение - осесимметричность движения, т.е. исключить зависимость от угла . Если к тому же рассматривать стационарный случай ламинарного течения при , = const, то с учетом принятых допущений уравнения Навье - Стокса примут вид (см. приложение П.2.2):

, (3.34)

. (3.35)

Система уравнений дополняется уравнением неразрывности :

. (3.36)

Таким образом, частичное упрощение исчерпывающего описания позволило трехмерную задачу трансформировать в двухмерную (одним уравнением и одной переменной стало меньше, так как ), сократилось и число членов в уравнениях W_x/t = W_r/t = 0, g_r = g_x = 0. Система уравнений (3.34)-(3.36) должна быть дополнена условиями однозначности. Форма и размер аппарата задаются диаметрами d₀, d и длиной L; физические свойства среды - плотностью  и динамическим коэффициентом молекулярной вязкости , начальные условия отсутствуют, поскольку рассматривается стационарный случай. Граничные условия задаются значениями и р₀ на границах аппарата.

Задача заключается в решении системы трех дифференциальных уравнений с тремя неизвестными W_x(х,r), W_r(х,r), р(х,r) с целью нахождения полей скоростей и давления:

(3.37)

Однако, несмотря на все сделанные упрощения, такая система уравнений аналитического решения не имеет, и поэтому используется метод физического моделирования.

Получение критериев подобия. Для получения критериев подобия воспользуемся алгоритмом, изложенным в разд. 3.2.1. Поделим все члены уравнения (3.34) на первый и отбросим символы дифференцирования:

,

,

,

.

Поделим все члены уравнения (3.35) на второй:

,

,

,

.

Поделим первый член уравнения (3.36) на второй:

.

Таким образом, получено 9 критериев подобия. Однако не все из них являются независимыми. Для определения минимального количества критериев воспользуемся -теоремой Бэкингема (разд. 3.2.1). Число величин, между которыми необходимо установить зависимость, N=7 (х, r, , , W_x, W_r, p). Количество величин, обладающих независимыми размерностями, n=3. Допустим это L, W, . Через них можно выразить размерность оставшихся [p] = [] [W]²; [] = [] [W] [L]. Количество величин, обладающих неодинаковой размерностью, N_n=5(L, W, , p). Тогда минимальное количество критериев подобия N_k= N - n = 7 - 3 = 4, из них N_s могут быть симплексами подобия N_s = N – N_n = 7 – 5 = 2.

Общее решение может быть представлено набором различных критериев, учитывая, что комбинация критериев также является критерием подобия. Воспользуемся наиболее употребительными критериями Эйлера (Еu) и Рейнольдса (Rе), а также симплексом подобия S:

, (3.38)

, (3.39)

, (3.40)

. (3.41)

Нетрудно показать, что все критерии _ - _ могут быть получены комбинацией Еu, Re_х, Re_r, S. В соответствии со второй теоремой подобия общее решение системы дифференциальных уравнений (3.34) - (3.36) может быть представлено в виде зависимости между этими критериями:

или (3.42)

Нами рассмотрен случай ламинарного движения среды. При турбулентном движении в правой части уравнений (3.34) и (3.35) необходимо учесть турбулентный перенос импульса в соответствии с (2.55) с помощью коэффициента турбулентной вязкости _т. Поскольку _т определяется свойствами среды и полем скорости, то, отбрасывая знаки дифференцирования при получении критериев подобия для гладких (нешероховатых) стенок, его можно представить

.

Так как новых переменных при этом не вводится, то не меняются и критерии подобия (3.38)-(3.41), изменяется лишь конкретный вид зависимости  в (3.42), который должен определяться опытным путем. Для шероховатых стенок при значительных числах Re_х появляется зависимость _т от относительной шероховатости:

, , (3.43)

где e - средняя высота выступов; n - коэффициент, зависящий от режима движения и характера шероховатости. Нетрудно показать, что введение (3.43) в уравнения (3.38) - (3.41) приведет к появлению дополнительного симплекса подобия _e. Однако для упрощения рассуждений мы этот случай рассматривать не будем.

Критерии (3.38)-(3.41) являются локальными, так как составлены из локальных величин, изменяющихся от точки к точке. На практике обычно используют осредненные критерии, состоящие из осредненных величин. Процедуры осреднения могут быть различными, в данном случае удобнее всего усреднять по поперечному сечению аппарата, используя среднюю расходную скорость , тогда

, (3.44)

, , (3.45)

, (3.46)

. (3.47)

Поскольку аппарат за исключением границ имеет постоянное сечение S_ап, средняя расходная скорость для любого внутреннего сечения будет постоянной величиной, направленной вдоль оси X ( ). В силу осесимметричности течения средняя радиальная составляющая скорости в любом поперечном сечении равна нулю =0, =0. Давление будет изменяться от сечения к сечению вдоль оси Х, но так как интерес обычно представляет перепад давлений на входе в аппарат и выходе из него, осредненный критерий Эйлера записывается относительно р.

На границах аппарата поперечное сечение имеет иное значение, определяющееся диаметром входного и выходного штуцеров d₀. Соответственно иными будут значения осредненных по данному сечению скорости и критерия подобия , . Их можно связать c , с использованием дополнительного симплекса подобия:

.

В соответствии с третьей теоремой подобия явления подобны, если для оригинала и модели равны определяющие критерии подобия и подобны условия однозначности. Но если значения локальных критериев модели и объекта равны в сходственных точках, то при одинаковой процедуре осреднения будут равны и осредненные критерии. Для соблюдения подобия необходимо равенство осредненных определяющих критериев.

Получив значения определяющих критериев подобия для объекта - оригинала, например , , (тогда следует рассматривать в качестве определяемого критерия и его значение будет жестко связано с , , ), а также возможную область их варьирования в целях оптимизации объекта, следует приступить к выбору модели.

Выбор оптимальной физической модели. Для подобия модели оригиналу необходимо соблюдение подобия условий однозначности, включающих в себя для рассматриваемого примера геометрическое подобие, подобие физических величин и граничных условий (разд. 3.2.1), т.е. модель должна иметь те же пропорции, что и оригинал L/d=idem, d₀/d=idem. Кроме того, необходимо подобие поля скоростей во входящих потоках. Равенство скоростей нулю на границе с твердой стенкой будет обеспечиваться автоматически. Размеры модели, выбор

модельных сред и их расходы могут определяться из критерия Rе. Допустим, что оригинал имеет или ориентировочно будет иметь следующие характеристики: d₀⁰=0,1м, d⁰=2 м, L⁰=5 м, W⁰=0,1м/с, ^=210³ кг/м³, ^=410^-3 Пас. Если мы хотим использовать в качестве модельной среды воду (^м=10³ кг/ м³, ^м=10^-3 Пас), то для соблюдения подобия в модели, уменьшенной в 10 раз по сравнению с оригиналом, средняя расходная скорость должна быть (Rе⁰=Rе^м):

; м/с .

Уменьшение размеров модели приводит к возрастанию скорости и потерь давления (р), что обусловливает необходимость оптимизации модели путем минимизации суммарных затрат (капитальных и эксплуатационных). Если это возможно, то необходимо предусмотреть диапазон изменений критерия Rе⁰, а также d₀⁰, d⁰, L⁰ с целью оптимизации объекта-оригинала. Это потребует проведения экспериментальных исследований в соответствующем диапазоне Rе^м, L^м/d₀^м, L^м/d^м , для чего следует предусмотреть возможности модельной установки (мощность и производительность насосов, потребности электроэнергии, изготовление моделей различных размеров и т.д.).