Как следует из уравнения (5), с уменьшением нагрузки f массовый расход растет и при:

р_кр р₂ F F_кр 2 ^к/(к-1)

β_кр = —― = —― = —― = —― = —–— = 0,528 (при к = 1,4) (6)

р₁ р₁ F_max F_max к + 1

становится максимальным и независимым от нагрузки. Подстановка β_кр из уравнения (6) в зависимость (5) дает возможность определить максимальный массовый расход:

к р₁ 2 ^2/(к-1)

m_s(max)= ƒ₂ 2∙ —–— ∙ ―– · ―― (7)

к – 1 V₁ к+1

Удельный объем воздуха, входящий в уравнения (5) и (7), найдем из характеристического уравнения:

R·T₁ 287 (273 + 95) 1

V₁= ―― = ――――――― = 0,0096 м³/кг или плотность ρ₁= ——– = 10,4 кг/м³.

р₁ 1,1 · 10⁶ 0,096

Массовый расход пневмоцилиндра выражается через скорость поршня:

m_s= V_п ·ƒ_п / V₃, (8)

где V_п – скорость поршня;

ƒ_п – площадь поршня.

Из равенства расходов (5) и (8) находим скорость поршня в подкритической зоне истечения газа (кривая а-в на рис.1)

d₂ ² 2·к р₁ F ^2/к F ^(к+1)/к

V_п = —–– · V₃· —–– ∙ ―– · ―– – –— , (9)

D_п к – 1 V₁ F_max F_max

Скорость поршня в надкритической зоне истечения (прямая в-с на рис.1) находим из равенства расходов (7) и (8)

d₂ ² 2·к р₁ 2 ^2/(к-1)

V_п = —–– · V₃· —–– ∙ ―– · ―— (10)

D_п к – 1 V₁ к+1 .

При адиабатном расширении газа на основании уравнения адиабаты р∙V^к =соnst:

р₃ ^-1/к F ^-1/к

V₃ = V₁ ―– = V₁ ―– .

р₁ F_max

С учетом этого окончательно можно записать уравнения скорости движения поршня (9) и (10):

d₂ ² F ^-1/к 2к р₁ F ^2/к F ^{( к+1)/к}

V_п = —–– · V₁ ―– —–– ∙ ―– · ―– – –— =

D_п F_max к – 1 V₁ F_max F_max

d₂ ² 2к F ^(к-1)/к

= —–– —–– ∙ V₁·р₁ 1 – ―– (11)

D_п к – 1 F_max

d₂ ² F ^-1/к 2к 2 ^2/(к-1)

V _п = —–– · ―– —–– ∙ V₁·р₁ ―― (12)

D_п F_max к + 1 к + 1