10.8. Примеры решения задач

Задача 99. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на двадцать секунд.

Решение. Случайная величина X, о которой идет речь в задаче,  это разность в секундах между истинным временем и временем, которое показывают часы. Из условия задачи можно заключить, что часы только опаздывают, а сама разность  это равномерно распределенная на отрезке [0, 60] случайная величина (ее значения образуют пространство элементарных исходов). Требуется найти вероятность p(X  20). Таким образом, a= 0, b= 60, p(X  20)= p(0  X 20) = .

Задача 100. На отрезке длины 1 случайным образом выбирается точка. Ею отрезок делится на два «участка», вообще говоря, разной длины. Какова средняя длина меньшего участка? Чему равно среднее отношение длин участков отрезка?

Решение. Случайная величина X – координата точки на отрезке  имеет равномерное распределение с параметрами a = 0, b = 1. Но тогда случайная величина Y – длина меньшего участка – равномерно распределена на отрезке (0; 0,5), поэтому M(Y) = 0,25.

Отношение длин короткого и длинного участков – это случайная величина Z, равная

Отсюда

Задача 101. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону с параметром λ=3. Найти вероятность того, что в результате испытания X попадет в интервал (0,13; 0,7).

Решение. .

Задача 102. Вывести правила “двух сигм” и “трех сигм” для нормального закона: вероятность того, что модуль отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания меньше удвоенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9545; для утроенного среднего квадратического отклонения эта вероятность равна 0,9973.

Решение.

.

.

Задача 103. Непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами . Найти вероятность того, что в результате испытания X попадет в интервал (1; 6).

Решение.

= 0,1915(0,4987)=0,6902.