10.6. Примеры решения задач

Задача 95. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти: 1) f(x); 2) p(X > 0,25); 3) M(X); 4) x_mе; 5) D(X); 6) σ(X). Построить графики функций F(x) и f(x).

Решение. Функция плотности вероятности f(x) – это производная функции распределения, поэтому

Графики функций F(x) и f(x) приведены на рис. 10.3.

Рис. 10.3

Определим числовые характеристики.

;

; .

Максимум плотности вероятности достигается при х = 2, х_mo = 2.

По определению медианы, , тогда

.

Осталось определить вероятность .

.

Задача 96. Функция плотности вероятности случайной величины Х задана следующим образом:

Найти: 1) значение параметра А; 2) F(x); 3) M(X), D(X), (X), моду и медиану случайной величины Х. Построить графики функций F(x) и f(x).

Решение. Вычислим значение параметра А.

.

Найдем функцию распределения .

Если х  1, то F(x) = 0. Пусть х > 1, тогда

.

Окончательно

Графики функций F(x) и f(x) показаны на рис. 10.4.

Определим числовые характеристики случайной величины Х.

.

; .

Моды у нашей случайной величины нет, так как в условии сказано, что f(1) = 0. Медиану определим, зная, что .

, .

Рис. 10.4

Задача 97. Плотность вероятности случайной величины Х такова: при x  0; f(x) = 0, если x < 0. При этом λ > 0. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение.

,

.

10.7. Равномерный, показательный и нормальный законы распределения

Равномерное распределение. Функция плотности вероятности равномерного закона равна:

(10.17)

где a и b – данные числа, a < b; a и b – параметры равномерного закона.

Найдем функцию распределения F(x) равномерного закона. Если х  a, то

. Если a < x < b, то .

Когда x b, . Итак,

(10.18)

Графики функций F(x) и f(x) показаны на рис. 10.10.

Определим числовые характеристики равномерного распределения.

. (10.19)

; (10.20)

.

(10.21)

Рис. 10.10

Очевидно, что моды нет, а медиана равна математическому ожиданию.

Вероятность попадания в интервал (α, β) равномерно распределенной случайной величины задается следующей, легко выводимой формулой:

(10.22)

Равномерным распределением можно аппроксимировать ошибки измерений, когда измеренное значение округляют до ближайшего целого на шкале измерительного прибора.

Найдем закон распределения линейной функции Y равномерно распределенной случайной величины Х, Y = (cX + d), где с, d – данные числа.

Если то . Когда значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a, b), значения случайной величины Y принадлежат интервалу (ca + d; cb +d); следовательно,

, если ; в противном случае .

Вновь получено равномерное распределение – на этот раз на интервале (ca + d, cb + d). (Если c < 0, то левая граница интервала – число cb +d, правая  число ca + d).]

10.7.2. Показательное распределение. Случайная величина Х имеет показательное распределение, если ее плотность вероятности задается формулой

(10.23)

Параметр закона λ должен быть больше нуля.

Опишем функцию распределения F(x) показательного закона. Если х  0, то, очевидно, F(x) = 0. Пусть х > 0. Тогда

, таким образом

(10.24)

Графики функций F(x) и f(x) показаны на рис. 10.11.

Рис. 10.11

Найдем числовые характеристики показательного распределения.

. (10.25)

.

; . (10.26)

Ясно, что мода равна нулю. Найдем медиану. Из условия

следует, что .

Вероятность попадания в интервал (α, β), , равна

. (10.27)

Показательное распределение используется, например, в теории массового обслуживания.

Нормальное распределение. Случайная величина Х распределена по нормальному закону (закону Гаусса), если ее плотность вероятности задается формулой

, ,

где а <  и σ > 0 – параметры закона.

График функции плотности вероятности нормального закона показан на рис. 10.12. График симметричен относительно прямой х = а.

Найдем числовые характеристики нормального закона. Ясно, что мода и медиана вследствие наличия оси симметрии равны а.

.

Рис. 10.12

Положим , тогда , откуда

, так как  это известный из курса математического анализа интеграл Пуассона.

Математическое ожидание нормального закона равно значению параметра а.

Итак, D(X) = σ², σ(X) = σ. Среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины равно значению параметра σ.

Вычислим вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Х примет значение из интервала (α, β).

Функция

(10.28)

называется функцией Лапласа. Для нее составлены таблицы (приложение 1), по которым, зная аргумент х, можно найти величину Φ(х). Можно, конечно, решить обратную задачу: по значению функции Лапласа найти значение аргумента.

Укажем три простых свойства функции Лапласа:

1. .

2. .

На самом деле уже для значений аргумента х  5 можно считать, что .

3. .

Таким образом, функция Лапласа нечетна.

Мы показали, что

. (10.29)

Теперь легко описать функцию распределения нормального закона с параметрами a и . В самом деле

.

(10.30)

В некоторых пособиях по теории вероятностей приводятся таблицы функции

. Нетрудно видеть, что ,

так что .

Иногда приводится таблица значений функции

, , поэтому

.

Для интервала |Х  а| < δ имеем , поэтому

. (10.31)

Опишем еще закон распределения линейной функции Y = cX + d нормально распределенной случайной величины Х, где c и d  заданные числа. Случайная величина Y принимает значения на всей числовой оси.

.

Получена функция плотности нормального закона с параметрами , .

Линейная функция нормально распределенного аргумента также нормально распределена.

Нормальное распределение довольно часто встречается при решении практических задач. В приложении приведена таблица нормального распределения (таблица функции Лапласа).