10.4. Примеры решения задач

Задача 90. Задан график функции плотности вероятности f(x) случайной величины Х. Описать график функции плотности вероятности f_Y(x) случайной величины Y = X + C, где C – данное число.

Решение. . Тогда

График функции f_Y(x) получается из графика функции f(x) сдвигом последнего вправо на величину С.

Задача 91. Дан график функции распределения F(x) случайной величины Х. Описать график функции распределения F_Y(x) случайной величины Y =X.

Решение.

.

График функции F_Y(x) получается, если график функции F(x) зеркально отразить относительно оси ординат и каждую ординату вычесть из единицы.

Задача 92. Случайная величина Х задана плотностью вероятности f(x).

Найти плотность вероятности следующих случайных величин:

а) Y = 2X+3; б) Y = e^X; в) Y = |X|.

Решение.

а) Функция Y = 2X+3 монотонно убывает с ростом значений х,

, , .

б) Если , то , ; , поэтому

в) Функция Y = |X| не является монотонной,

Следовательно,

Задача 93. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

f(x)=

0, в остальных случаях.

Описать функцию плотности вероятности случайной величины Y = sin(X) и найти вероятность события {0 < Y < 1}.

Решение. На интервале функция монотонно возрастает;

Если Y = sin(X), то значения случайной величины Y лежат в интервале (1, 1), следовательно,

,

0 В противном случае.

.

10.5. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется число, определяемое по формуле

(10.8)

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно; в противном случае говорят, что случайная величина Х не имеет математического ожидания. Если случайная величина Х принимает значения на конечном интервале (a; b), несобственный интеграл заменяют интегралом с конечными пределами:

(10.9)

Модой непрерывной случайной величины Х называется такое значение x_mo, в котором достигается максимум функции плотности вероятности f(x).

Медианой x_mе непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого справедливо равенство

(10.10)

Пример моды и медианы показан на рис. 10.1.

Заштрихованная площадь равна 0,5.

Рис. 10.1

Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины X определяется формулой

(10.11)

Предполагается, что несобственный интеграл сходится. По самому определению дисперсии она не может быть отрицательной, D(X)  0.

Среднее квадратическое отклонение определяется формулой

. (10.12)

Если Y = (X), то математическое ожидание (если оно существует) случайной величины Y равно

, где функция, обратная к функции . Обозначим теперь через u, тогда x =

= (u), а математическое ожидание величины Y выражается интегралом

. (10.13) (Ведь аргумент подынтегральной функции можно обозначить как угодно).

Остановимся подробнее на случае, когда плотность вероятности случайной величины X отлична от нуля на конечном интервале , а функция монотонно убывает. Тогда , и

Если немонотонна, нужно сначала определить , а затем найти .

Поясним формулу (10.11). Положим . Функция не является монотонной,

,

Далее, если существуют и , а , то

= = .

Если , получается формула (10.11).

Отсюда, если Y = (X),

= . (10.14)

Поэтому

где a, b – константы.

В частности, M(a)= a; D(a)= 0; M(aX)= aM(X); D(aX)= a²D(X).

Другие свойства математического ожидания и дисперсии, доказанные для дискретных величин, также остаются справедливыми и в случае непрерывных случайных величин.

Начальный момент k-го порядка определяется формулой

. (10.15)

Центральный момент k-го порядка определяется формулой

. (10.16)

Для моментов нечетного порядка предполагается абсолютная сходимость интегралов.

Математическое ожидание – это начальный момент первого порядка, дисперсия – центральный момент второго порядка. Центральный момент первого порядка, очевидно, равен нулю.