107

10. ПОНЯТИЕ О НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНАХ

10.1. Определение непрерывной случайной величины.

Функция распределения и функция плотности

вероятности непрерывной случайной величины

Дискретная случайная величина – это числовая функция, область определения которой есть конечное или счетное множество элементарных исходов. Множество ее значений также конечно или счетно. Но счетное множество элементарных исходов – лишь небольшой частный случай пространства . Даже если отвлечься от теоретических рассуждений и обратиться к практическим задачам, несчетные множества сразу заявят о себе. Вот пример из поистине безграничного числа возможных.

Фирма, выпускающая автомобильные двигатели, разработала новую модель. Фирма хотела бы установить такой гарантийный срок работы этой модели, чтобы, с одной стороны, заинтересовать клиентов, но, с другой  не разориться из-за большого числа бесплатных ремонтов. Кроме того, фирма хотела бы оценить процент двигателей, которые выйдут из строя в пределах гарантийного срока (чтобы оценить, таким образом, возможные финансовые потери), и процент двигателей, которые проработают не менее двух гарантийных сроков (чтобы использовать эти данные в рекламных целях). Здесь случайная величина Т – время работы двигателя до первой поломки – во всяком случае не дискретна. С некоторыми отступлениями от истины множество ее значений можно соотнести с интервалом (0, ), а множество точек отрезка несчетно. Ниже будут рассмотрены так называемые непрерывные случайные величины (снова только частный случай общего понятия), множества значений которых заполняют целиком один или несколько интервалов числовой оси (или распространяются на всю числовую ось).

Пусть имеется несчетное пространство элементарных исходов  и на его основе задано вероятностное пространство, причем множество событий образует -алгебру. Зададим на множестве  числовую функцию (случайную величину) Х, которая каждому элементарному исходу ω ставит в соответствие число х(ω) – значение случайной величины Х, так что событие А = {Х<x} входит в  алгебру событий, тем самым для события А определена вероятность р(А). Вместе с каждым событием {Х<x} в -алгебру событий входит также противоположное событие . Из равенства , следует, что событие также принадлежит -алгебре событий.

Покажем, что всякое событие вида тоже входит в -алгебру событий. Справедливость этого утверждения следует из равенства . Следовательно, -алгебре событий принадлежат и все события вида ; ; .

Одновременно задается функция распределения случайной величины Х:

. (10.1)

Случайную величину Х будем называть непрерывной, если функция F(x) дифференцируема (следовательно, F(x) непрерывна) и ее производная

(10.2)

является кусочно-непрерывной функцией. Функция f(x) называется функцией плотности вероятности случайной величины X. Перечислим некоторые свойства функций F(x) и f(x).

Кусочная непрерывность производной f(x)означает, что в каждой точке x₀ ее разрыва функция F(x₀) имеет отличные друг от друга односторонние производные.

1. 0  F(x)  1.

2. Если x₂ > x₁, то

неубывающая функция.

3. 

4. .

5. 

= xf(x₀)=0, для любого .

Таким образом, вероятность любого элементарного исхода ω равна нулю.

6. так как

+

, (х₂ > х₁).

Итак, если Х – непрерывная случайная величина, то равна нулю вероятность любого события вида {“случайная величина Х приняла значение х₀”}, отличными от нуля могут быть только вероятности событий вида {“случайная величина Х приняла значение из интервала (a, b), ”}.

7. По формуле Ньютона  Лейбница

.

Соглашение о кусочной непрерывности функции f(x) гарантирует существование интеграла.

7. Производная неубывающей функции неотрицательна, f(x)  0.

Если для некоторого числа x₀ значение f(x₀) = 0, то говорят, что случайная величина X не принимает значения x₀; если же f(x₀) > 0, то говорят, что случайная величина X может принять значение x₀. Из кусочной непрерывности f(x) вытекает, что множество значений, которые может принимать непрерывная случайная величина, либо целиком заполняет числовую ось, либо состоит из одного или нескольких непересекающихся интервалов.

9. , ведь событие является достоверным событием.

10. (10.3)

Этот интеграл – есть функция своего верхнего предела х, поэтому подынтегральная переменная обозначена другой буквой.

Будем говорить, что непрерывная случайная величина Х задана (или задан закон распределения непрерывной случайной величины Х), если определена одна из двух функций – функция распределения F(x) или функция плотности вероятности f(x). Зная одну из этих функций, можно определить другую (см. формулы (10.2), (10.3)).

Внимательный читатель не может не заметить некоторого несоответствия в высказываниях о событиях вида , где непрерывная случайная величина. Действительно, с одной стороны, вероятность события равна нулю, а невозможные события не могут произойти. С другой стороны, мы утверждали, что случайная величина X может принять значение x₀, если f(x₀) > 0. Подобное противоречие можно разрешить, используя, например, методы нестандартного анализа. Тогда можно приписать событию {“ непрерывная случайная величина X приняла значение из интервала бесконечно малой длины”} бесконечно малую, но отличную от нуля вероятность . Но интервал бесконечно малой длины содержит только одно действительное (стандартное) число. Событие перестает быть невозможным, у него появляется бесконечно малая, но все-таки отличная от нуля вероятность.

В рамках данного учебного пособия мы ограничимся следующим заявлением. В случае непрерывной случайной величины рассчитать вероятность можно только для событий, подобных событию . Вероятность события неотличима от нуля, но утверждение “случайная величина X может принять значение x₀, если f(x₀) > 0”, корректно в том смысле, что X может принять любое значение из некоторого интервала, содержащего число x₀, в том числе и само значение x₀.

10.2. Примеры решения задач

Задача 86 Непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности вероятности в интервале (0, π/3). Вне интервала f(x) = 0. Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х и вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х ровно два раза примет значение из интервала (0, π/4).

Решение.

1. Пусть х  0, тогда .

2. Пусть 0  х  π/3. Тогда

3. Пусть x > π/3. Тогда

Окончательно

Определим вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0, π/4).

.

Вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х ровно два раза примет значение из интервала (0, π/4), находим по формуле Бернулли

.

Задача 87 Случайная величина Х имеет такую плотность вероятности:

Требуется найти коэффициент А и F(x).

Решение. Число А находим из условия

, тогда

 .

Когда x < 1, то F(x) = 0.

Если х  1, то

. Таким образом

Задача 88 Дана некоторая функция одного аргумента

Является ли F(x) функцией распределения непрерывной случайной величины?

Решение. Функция F(x), во-первых, не является непрерывной, во-вторых, не является возрастающей. Следовательно, F(x) не может быть функцией распределения непрерывной случайной величины.

Задача 89. Пусть непрерывная случайная величина X такова, что с вероятностью p₀, с вероятностью с вероятностью

Используя формулу полной вероятности, найти безусловную функцию распределения и функцию плотности вероятности случайной величины X.

Решение.

.

Но тогда

.

Предполагается равномерная сходимость ряда , так что ряд из производных сходится.

Эту формулу можно обобщить, перейдя от дискретных вероятностей к непрерывной плотности вероятности

( и не обязательно конечны) некоторой случайной величины Y. Если известна условная плотность вероятности , то безусловная плотность вероятности случайной величины X определяется формулой

Соответственно безусловное математическое ожидание случайной величины X равно

, где

– условное математическое ожидание величины X при условии, что величина Y приняла значение t.

10.3. Понятие о функции непрерывной случайной величины

Пусть задана некоторая непрерывная случайная величина Х и монотонная числовая функция (у монотонной функции всегда есть обратная функция, тоже монотонная) такая, что ее обратная функция дифференцируема. Наличие обратной функции означает, что событие входит в алгебру событий и, следовательно, ему приписана некоторая вероятность.

Определим случайную величину Y = φ(X) как числовую функцию, которая каждому элементарному исходу ω ставит в соответствие число, равное φ(х(ω)), где х(ω) – значение случайной величины Х на исходе ω. Наша цель – определить функции распределения F_Y(x) и плотности вероятности f_Y(x) случайной величины Y по известным функциям распределения F(x) и плотности вероятности f(x) случайной величины Х.

Рассмотрим сначала два конкретных примера.

Пример А. Пусть y = x³, тогда

Функция обратная к функции .

. По правилу дифференцирования сложной функции

.

Пример Б. Рассмотрим функцию y = x³. Обратная функция: .

Исходная функция y = x³ монотонно убывает, обратная функция (у = = х^1/3) также монотонно убывает, поэтому ее производная меньше нуля.

Итак, в случае монотонно возрастающей функции y = φ(х), когда и обратная функция y = ψ(х) тоже монотонно возрастает, а производная ψ´(х) положительна, имеем

(10.4)

. (10.5)

Если же функция y = φ(х) монотонно убывает, то монотонно убывает и ее обратная функция y = ψ(х), а производная , поэтому

(10.6)

. (10.7)

Формула (10.7) пригодна и для случая монотонно возрастающей функции φ(х), ведь модуль положительного числа равен самому числу.