ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Государственный экзамен специалиста является квалификационным и предназначен для определения теоретической и практической подготовлен­ности выпускника к выполнению профессиональных задач, установленных ГОС ВПО. В соответствии с квалификационной характеристикой выпускник, получивший квалификацию учителя математики, должен иметь высокий уровень общей математической культуры и быть готовым осуществлять обу­чение и воспитание обучающихся с учетом специфики преподаваемого предмета; использовать разнообразные приемы, методы и средства обучения; обеспечивать уровень подготовки обучающихся, соответствующий требова­ниям Государственного образовательного стандарта.

Программа государственного экзамена по специальности 050201 Ма­тематика разработана на основе ГОС ВПО, Положения об итоговой государ­ственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденно­го Министерством образования Российской Федерации, Методических реко­мендаций по проведению итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений по специальностям педагогического образова­ния, разработанных УМО по специальностям педагогического образования.

Государственный экзамен по специальности носит междисциплинар­ный характер, отражает основные виды профессиональной деятельности вы­пускника, обозначенные в ГОС ВПО (учебно-воспитательная, социально- педагогическая, культурно-просветительская, научно-методическая, органи­зационно-управленческая) и ориентирован на выявление целостной системы общекультурных, общепрофессиональных и специальных научных знаний в предметной области. Программа государственного экзамена по специально­сти составлена с учетом содержания дисциплин предметной подготовки, психолого-педагогических и методических дисциплин, которые ориентиро­ваны непосредственно на деятельность учителя. В целях устранения дубли­рования в программу экзаменов не включены вопросы, которые в свое время были детально рассмотрены на курсовых экзаменах.

Технологический подход к государственной аттестации выпускников педвузов дает возможность представить государственный экзамен по специ­альности через совокупность компонентов:

1. технологический компонент - процесс освоения студентами со­держания программы государственного экзамена, представленного в виде отдельных блоков, соответствующих основным видам деятельности;

2. управленческий компонент - управление технологическим про­цессом, то есть деятельность студента по осуществлению взаимодействия с конкретными моделями деятельности при проектировании ответов на вопро­сы билетов государственного экзамена;

3. инструментальный компонент - функционирование средств обу­чения и воспитания для осуществления технологического процесса;

4. информационный компонент - информационное обеспечение, то есть набор государственных документов, регулирующих деятельность обра­зовательных учреждений, и проект образовательного процесса, составленный выпускником - будущим учителем;

5. социально-психологический компонент - организация образова­тельного процесса, контроль качества образовательного процесса, обоснова­ние образовательных услуг, а также создание благоприятного нравственно- психологического климата.

В целях усиления контроля профессионально-методической подготов­ки выпускников и их владения математическим языком в каждый билет включен теоретический вопрос по одному из разделов математики (геомет­рии, алгебры, математического анализа), связанный со школьным курсом ма­тематики.

При изложении указанного теоретического материала требуется рас­смотрение подходов к его изложению в средней школе в условиях профиль­ного обучения с учетом разных уровней подготовленности школьников, их индивидуально-психологических особенностей. Выпускник, работая с кон­кретным предметным содержанием, определяет адекватный для раскрытия школьной темы уровень общего образования (класс), обосновывает те педа­гогические закономерности, дидактические принципы, психологические ме­ханизмы усвоения знаний и личностного развития школьника, которые ис­пользуются в проектировании учебного процесса на заданную тему. При этом большое внимание уделяется также анализу средств развития мотива­ции учебы школьников, новым технологиям обучения, в том числе информа­ционным, использованию различных форм оценочной деятельности учителя, воспитательному потенциалу учебного процесса.

При ответе на вопросы билета, студент должен:

• Владеть основными понятиями алгебры (группа, кольцо, поле, векторное пространство, линейная алгебра, кольцо многочленов от од­ной переменной над числовым полем) и теории чисел (система нату­ральных чисел, простые числа, делимость, сравнения и их приложения), иметь отчетливое представление об основных числовых системах и их построении, владеть навыками решения систем линейных уравнений;

• Знать аксиоматический метод построения геометрии;

• Иметь ясное представление о различных группах преобразований плоскости и уметь пользоваться этими преобразованиями при решении задач на построение и доказательство; знать основы теории изображений плоских и пространственных фигур (в параллельной проекции); знать основные свойства линий и поверхностей в евклидовом пространстве; владеть векторным и координатным методами при изучении геометрии на плоскости и в пространстве;

• Владеть основными понятиями теории множеств, предела, непре­рывности, производной и дифференциала, первообразной функции, оп­ределенного интеграла, сходимости рядов; владеть техникой дифферен­цирования и интегрирования, решать простейшие дифференциальные уравнения; знать основные свойства элементарных аналитических функ­ций;

• Знать школьные программы, учебники и учебные пособия по ма­тематике для средней школы;

• Знать наиболее трудные места программы по математике для средней школы, понимать природу этих трудностей и методические пу­ти, ведущие к их преодолению;

• Знать возрастные особенности учащихся различных классов;

• Использовать разнообразные приемы, методы и средства обуче­ния;

• Владеть определенными навыками исследовательской методиче­ской работы, пользоваться полученными знаниями для раскрытия теоре­тических основ школьного курса математики;

• Владеть различными образовательными технологиями и обосно­ванно применять их в процессе обучения математике;

• Владеть основными приемами анализа, синтеза, обобщения, кон­кретизации, абстрагирования, классификации для раскрытия логики изу­чения различных вопросов математики;

• Использовать сведения из истории математики в процессе изуче­ния различных вопросов математики;

• Видеть связи между развитием естествознания, техники, общест­венных отношений и прогрессом математики;

• Знать основные приложения теоретических фактов и уметь ис­пользовать их в процессе изучения математики;

• Уметь в необходимых случаях подкрепить высказанные теорети­ческие положения примерами из собственного опыта, из опыта работы передовых учителей.

Содержание программы государственного экзамена по дисциплине «математика и методика обучения математике» (специальность 050201 математика)

Раздел 1. «Алгебра и теория чисел»

Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Сопряженные комплексные числа и их свойства. Действия над ком­плексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Системы линейных уравнений (основные определения). Элементарные преобразования системы линейных уравнений. Решение системы m линей­ных уравнений с п неизвестными методом последовательного исключения неизвестных. Системы п линейных уравнений с п неизвестными и их реше­ние по формулам Крамера (доказать теорему Крамера).

Кольцо многочленов от одной переменной над числовым полем. Сте­пень многочлена и ее свойства. Значение многочлена при х=с. Делимость многочленов, свойства делимости. Теорема о существовании и единственно­сти частного и остатка (с доказательством). Деление на двучлен х-с. Теорема Безу. Схема Горнера. Корень многочлена. Критерий корня. Вычисление ра­циональных корней многочлена с целыми коэффициентами (с доказательст­вом). Наибольший общий делитель многочленов, его свойства. Теорема о существовании наибольшего общего делителя двух многочленов (с доказа­тельством). Взаимно простые многочлены и их свойства. Наименьшее общее кратное многочленов. Связь наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух многочленов (с доказательством). Приводимые и не­приводимые многочлены над полем Р. Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых многочленов над полем Р (с доказательством) и ее применение к нахождению наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного многочленов. Разложение многочленов на неприводимые множители над числовыми полями (Q, R, С). Симметрические многочлены от нескольких переменных и их применение к решению задач.

Делимость в кольце целых чисел, свойства делимости. Деление с ос­татком. Теорема о существовании и единственности частного и остатка (с до­казательством) и ее применение. Наибольший общий делитель натуральных чисел, его свойства. Теорема Евклида о существовании наибольшего общего делителя двух чисел(с доказательством). Взаимно простые числа и их свой­ства. Наименьшее общее кратное натуральных чисел. Связь наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел (с доказатель­ством). Простые и составные числа, их основные свойства.. Основная теоре­ма арифметики (с доказательством). Каноническая запись натурального чис­ла и ее применение. Методы вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Числовые сравнения: определение, критерии сравнимости, основные свойства. Признаки делимости. Вывод признаков делимости с помощью сравнений.

Аксиоматическое определение системы натуральных чисел. Аксиомы Пеано. Теорема математической индукции, ее доказательство и применение. Арифметические операции над натуральными числами и их свойства (сфор­мулировать аксиоматические определения операций сложения и умножения, перечислить все свойства, доказать свойство дистрибутивности умножения относительно сложения).

\