9.4. Квадрат і прямокутник

У 5-му класі школярі починають вивчення чотирикутників з ви­значення: частина площини, обмежена замкненою ламаною лінією, яка складається з чотирьох відрізків, називається чотирикутником. Вони повторюють властивості цих геометричних фігур: у кожного чотирикутника 4 кути, 4 сторони, 4 вершини, 2 діагоналі. Після цього можна переходити до вивчення властивостей прямокутника і квадрата.

Новим для учнів у цей період буде така властивість протилежних сторін прямокутника і квадрата, як паралельність. Вони вже знайомі з цими поняттями при вивченні прямих, тому від вчителя вимагаєть­ся розширити і розповісти про її використання у даних геометричних фігурах. Доцільно розпочати пояснення з показу паралельності на рисунку (див. рис. 9.34.), продовжуючи їхні сторони. Школярі пови­нні зрозуміти, що скільки б ми їх не продовжували, вони ніде не пе­ретнуться, тобто такі лінії називаються паралельними. Для визначення паралельності ліній А і В вчитель пропонується школярами на кінцях однієї з них поставити точки. З допомогою косинця під кутом 90° через ці точки провести дві лінії. Там, де вони перетнуться з другим відрізком, поставити дві точки і виміряти довжини цих від­різків. Якщо відрізки ОМ і КР однакові за довжиною - лінії А і В паралельні, якщо різні за довжиною - лінії не паралельні (див. рис. 9.34.).

А М Р Рисунок 9.34.

однакова

В О

К

Вивчення прямокутника і квадрата у старших класах розпочина­ється з визначення: прямокутником називається чотирикутник, у яко­го всі кути прямі, а протилежні сторони рівні між собою; квадратом називається чотирикутник, у якого всі кути прямі, а сторони рівні між собою.

Школярі повторюють, що таке основа, висота прямокутника і ква­драта, як вона проводиться у прямокутнику, який кут при цьому утво­рюється. Педагог уточнює: висота - це лінія, проведена з вершини фігури на його основу під прямим кутом. Учні самостійно або під ке­рівництвом вчителя повинні зробити висновок: у квадрата і прямоку­тника бокові сторони проведені під прямим кутом до основи, отже, бокова сторона прямокутника (квадрата) є його висотою. При цьому вчитель звертає увагу на змінe}' величини основи і висоти залежно від положення прямокутника і на незмінність цих величин у квадраті.

Головне завдання вчителя при вивченні даного матеріалу у цей пе­ріод - повторити і закріпити знання учнів про властивості діагоналей, про кути, які утворюють під час їхнього перетин}' у квадраті і прямокутнику, про суміжні і протилежні сторони цих геометричних фігур, тренувати їх у побудові правильного шестикутника, використовуючи для цього циркуль і лінійку, виконувати креслення інших багато­кутників.

У 6-му класі після вивчення означених властивостей прямокутни­ка і квадрата педагог переходить до обчислення їхнього периметра. Знайомство з цим матеріалом він організовує враховуючи знання школярів про визначення довжини ламаної лінії.

Вчитель повторює, що таке периметр. Школярі вимірюють його сторони і знаходять їх загальну довжину. Потім він розкладає цей прямокутник, вимірює його загальну довжину і формулює визначен­ня: периметр - це сума всіх сторін багатокутника.

Для закріплення цих знань пропонує учням записати довжини сторін прямокутника числами: АВ = 6 см; ВС = 4 см; СD = 6 см; DА = 4 см. Вони помічають, що при обчисленні периметра послідов­но додаються дві пари рівних чисел: 6 + 4 + 6 + 4. Вчитель дає пояс­нення: "Для полегшення обчислень доцільніше використовувати формулу, записану за допомогою латинських букв. При цьому пери­метр позначається латинською літерою "Р". Якщо позначити довжи­ну прямокутника літерою а, ширину - літерою Ь, як це видно на рисунку 9.35. то можна записати таку формулу: Р = а + Ь + а + Ь".

Рисунок 9.35.

A a = 6 см B

b = 3см b = 3 см

D a = 6 см С

Після того, як учні знайдуть периметри декількох прямокутників вчитель пояснює, як скоротити обчислення, використовуючи ще одну формулу. Він записує формулу Р = а + Ь + а + Ь і пояснює, що в ній використовуються по дві латинські літери, якими позначають відпо­відно довжину і ширину геометричної фігури. Тому ми можемо вико­нати скорочений її запис: Р = (а + b)-2, або Р = 2 (а + Ь). Для того, щоб учні пересвідчились у її істинності, доцільно запропонувати порівня­ти результати обчислення периметру прямокутника, використовуючи спочатку формулу Р = а + Ь + а + Ь, а потім Р = 2 – (а + Ь).

Щоб створити зоровий образ суми сторін прямокутника і запобіг­ти змішування надалі понять "обчислення периметра" і "обчислення площі" потрібно показати, як можна розгорнути за допомогою цир­куля периметр прямокутника у відрізок прямої і знайти периметр геометрично. Для закріплення завдання на обчислення периметра по­трібно розв'язувати не лише в класі, а й при проведенні практичних робіт на місцевості.

Сформувавши у школярів вміння обчислювати периметр через ви­користання формули педагог пояснює визначення периметру квад­рата. Цей матеріал розумово відсталі засвоюють швидше, оскільки для цього в них вже є певна база. Вчитель лише зазначає, що оскільки у квадрата всі сторони рівні, то можна формулу Р = а + а + а + а пере­творити в іншу - Р = 4·а (множення - це є додавання однакових до­данків). Для закріплення доцільно запропонувати учням виконати обчислення периметру одного квадрата за допомогою цих двох формул.

Після цього він пояснює, як відбувається обчислення периметра будь-якого багатокутника зазначаючи, що виконання цієї операції мо­жливо лише тоді, коли відомі довжини всіх його сторін. Якщо є неві­домі довжини сторін багатокутника - їх спочатку визначають, а вже потім виконують обчислення. Учні повинні записати формули для визначення периметра п'ятикутника: Р = а + Ь + с + d + f, шестикут­ника: Р = а + Ь + с + d +f +g, і усвідомити, що а, Ь, с, d, f, g - їхні сто­рони. Завдання вчителя при вивченні цього матеріалу - сформувати школярів чітке розуміння того, що обчислити периметр - це значить знайти суму всіх його сторін.

У старших класах потрібно формувати в школярів уміння розріз­няти багатокутники за типами. В цей період вчитель вводить таке по­няття, як паралелограм. Для цього з множини чотирикутників пропонує вибрати ті, у яких протилежні сторони паралельні. При цьому дає визначення: чотирикутник, у якого протилежні сторони па­ралельні, називаються паралелограмом; у паралелограма протилежні кути та сторони попарно рівні. Вчитель розповідає про особливий ви­падок паралелограма - ромб, і також дає його визначення: паралелог­рам, у якого всі сторони між собою рівні називається ромбом. З метою закріплення даного матеріалу проводять порівняння паралело­грама і прямокутника, ромба і квадрата, визначити їхні спільні та від­мінні риси. Для цього доцільно використати таблицю, яку школярі креслять у себе в зошиті і заповнюють під керівництвом вчителя (див. табл. 9.З.).

Після цього учні знайомляться з класифікацією багатокутників. Вчитель кожному школяреві роздає достатню кількість цих геомет­ричних фігур, виготовлених з різного матеріалу. Спочатку учні відби­рають ті з них, які мають найбільш}' кількість кутів, потім - меншу, і в кінці - багатокутники, які мають чотири кути. Серед них вони виді­ляють чотирикутники з різною довжиною сторін і з однаковою - па­ралелограми. В свою чергу, останні ділять на прямокутники, ромби і квадрати, опираючись на величину кутів і довжину сторін. Учні мо­жуть скласти таблицю (див. табл. 9.4.), яку вчитель надалі буде виві­шувати на занятті, якщо планує виконання подібного завдання. Такі вправи дозволяють сформувати у розумово відсталих уявлення про різні багатокутники, закріплюють розуміння їхніх властивостей.

У 8-му класі у відповідності з програмою учні знайомляться з та­кими поняттям, як площа. Вчитель пояснює, що площина - одна з ос­новних математичних величин. Він дає визначення: площиною (площею) геометричної фігури називається величина частини пло­щини, яка знаходиться в середині цієї фігури (див. рис. 9.36.).

Таблиця 9.3.

Геометрична фігура	Кути	Сторони	Діагоналі
квадрат	Всі кути прямі і рівні між собою.	Всі сторони рівні між собою і попарно паралельні.	Діагоналі рівні між собою і при їх перетині утворюються прямі кути
ромб
прямокутник
паралелограм

Рисунок 9.36.

г еометрична фігура

п лоща геометричної фігури

Таблиця 9.4.

багатокутник

чотирикутник

п’ятикутник

шестикутник

паралелограми

не паралелограми

прямокутники

квадрати

ромби

Починається вивчення цього поняття з обчислення площі прямо­кутника. Педагог пропонує учням порівняти два чотирикутника шля­хом накладання і ставить запитання: "Який з цих чотирикутників більший?" Після відповіді школярів він розповідає, що порівнюються не чотирикутники, а їхні площі. Далі він пояснює, що поряд з ліній­ними мірами, які використовують для обчислення довжини і з якими вони знайомі, починаючи з 1-го класу, існують і квадратні міри. Для вимірювання площі потрібно взяти квадрат, довжина сторін якого до­рівнює 1 см. Вчитель дає визначення: квадрат з довжиною сторін 1см називається квадратним сантиметром. Він розповідає, що для того, щоб визначити площу прямокутника потрібно розбити його на невеликі квадратики з довжиною сторін 1 см і порахувати їх. Він наводить приклад лінійних і квадратних мір:

лінійні міри квадратні міри

1 см 1 см

1 см

Спочатку учні вчаться обчислювати площу прямокутників, які на­креслені на папері в клітинку. Тут їм легше порахувати квадратні сан­тиметри і таким чином визначити площу фігури. Поступово вчитель переходить з ними на роботу з нелінованим папером. На ньому вже значно важче виконати такі обчислення. Тому для полегшення робо­ти він пропонує використовувати палетку - прозору пластинку з на­несеною на неї сіткою квадратиків, яка служить для обчислення площі на планах і картах, а також для обрахунку координат (див. рис. 9.37.). Накладаючи таку палетку на прямокутники учні швидко перераховують квадратики і визначають їх площу.

Рисунок 9.37.

Після цього вчитель пояснює, що обчислювати таким чином пло­щі геометричних фігур не завжди є можливість, оскільки виникає по­треба обчислити площу полів, земельних ділянок, лісових угідь тощо. У таких випадках для вирішення цієї проблеми використову­ють формулу. Для того, щоб пояснити її вчитель створює проблемну ситуацію: як обчислити площу попередньої фігури, використовуючи палетку? Оскільки діти вже знайомі з даним матеріалом вони швидко вирішують це завдання, полічивши квадратні сантиметри у її середи­ні. Якщо ми повернемось до площі фігури, яку обчислили за допомо­гою палетки (див. рис. 9.36.) можна помітити, що її площа дорівнює 28 сантиметрів квадратних. Тепер вчитель пропонує виміряти шири­ну і довжину даної фігури. Діти отримують відповідно 4 см і 7 см. Педагог записує дію: 7 х 4 = 28. Він запитує: "Що я зробив? Правиль­но, я перемножив довжину прямокутника на його ширину. Скільки квадратиків Ви нарахували у прямокутнику? (28). Який я отримав ре­зультат? (28). Зверніть увагу, що ми отримали один і той самий ре­зультат". Таке пояснення дозволяє вчителю підвести учнів до того, що для обчислення площі, так само, як і периметра, можна застосува­ти формулу. Він пояснює, що площу позначають латинською літерою 8, сторони відповідно двома літерами: а - довжину, b - ширину (або висоту) фігури. Отже, формула буде мати такий вигляд: S_прям. ⁼ а-b. Далі педагог розповідає, що для обчислення площі потрібно помно­жити довжину на ширину, тобто взяти 2 величини, квадрат. Отже, для позначення площі до слова "сантиметри" додається слово "квадрат­ні" (адже ми обчислюємо площу за допомогою квадратиків) і відповідно вводиться позначення "см" (квадратні сантиметри). Таким чином, запис обчислення площі даного прямокутника буде мати такий вигляд: S_прям.=4 см•7см=28см².

Для закріплення матеріалу потрібно організувати вправи з вимі­рювання довжин сторін і паралельно обчислення площі різних пря­мокутників.

Знайомити учнів з різними мірами обчислення площі зразу не по­трібно, оскільки вони їх змішують між собою і потім важко диферен­ціюють. Лише після того, як школярі усвідомлять поняття "квадратний сантиметр" вводиться поняття "квадратний дециметр" - квадрат з довжиною сторін 10 см і його позначення - 1 дм²; квадратний метр - квадрат з довжиною сторін 1 м і його позначення – 1 м²; квадратний кілометр - квадрат з довжиною сторін 1000 м - його позначення - 1 км².

Для полегшення запам'ятовування і розрізнення понять "пери­метр" і площа" можна використати таблицю, яку вивісити перед школярами:

Таблиця 9.5.

Периметр - це сума всіх сторін

Площа - це добуток сторін а і Ь

Потрібно сказати, що не всі розумово відсталі здатні оволодіти да­ним матеріалом. Деяким з них він просто недоступний в силу об'єк­тивних причин, які обумовлюються наявністю у них значних інтелектуальних порушень. Але не зважаючи на це вчитель повинен пояснювати його основній масі учнів, адже ці знання конче необхідні як для оволодіння трудовою професією, так і у повсякденному житті. Тому, крім обчислення площі прямокутника, найбільш здібні школярі можуть навчитись обчислювати площі квадрата, паралелограма, три­кутника і круга. Наведемо приклад організації роботи з учнями при вивченні цього матеріалу.

Площа квадрата обчислюється так само, як і площа прямокутника. При цьому потрібно лише звернути увагу школярів на те, що оскіль­ки сторони квадрата рівні, то при обчисленні його площі множимо два однакові числа. Отже, для обчислення площі квадрата використо­вуємо формулу: S _квад = а·а.

Після цього потрібно познайомити учнів з обчисленням площі ін­ших геометричних фігур. З цим матеріалом школярі знайомляться у 9-му класі. Спочатку вони вчаться обчислювати площу паралелогра­ма. Для цього доцільно виготовити модель (див. рис. 9.38.).

Рисунок 9.38

В C B

h

А О D A O

Пояснення можна проводити таким чином: "Нам дано паралело­грам АВСD. Для обчислення його площі проведемо в ньому висоту ОВ. Для обчислення площі паралелограма, так само, як для обчис­лення площ прямокутника і квадрата використовується формула. За формулою, щоб обчислити площу паралелограма АВСD, потрібно його основу (а) помножити на висоту (h), тобто його площа обчис­люється за формулою: S_{паралел.} = a·b. У даному паралелограмі висота дорівнює 3 см, основа - 5 см, отже, S_{паралел.} = 3 см · 5 см = 15 см².

Вчитель пропонує школярам таке пояснення: „Для перевірки правильності виконаного обчислення опустимо перпендикуляр з точки В на основу паралелограма. Оскільки ми вже знаємо, що перпендику­ляр, опущений з вершини геометричної фігури на його основу нази­вається висотою, то в даному випадку ВО - висота паралелограма. Вирізаємо нижницями дану геометричну фігуру. Тепер у неї акуратно відрізаємо ∆АВО і приставляємо його до сторони СD. Яку фігуру ми отримали? Вірно, прямокутник. Тобто, виконавши такі маніпуляції ми з паралелограма утворили прямокутник. Для обчислення площі прямокутника використовується формула: S_{паралел.} = a·b, де а - осно­ва, b - бічна сторона. Оскільки ми вже знаємо, що бічна сторона є йо­го висотою. Таким чином, щоб виконати обчислення площі паралелограма використовується формула: S_{паралел.} = a·h”.

Щоб довести істинність такого обчислення використовують палет­ку. Утворені на палетці 3 квадратики, поділені по діагоналі пополам, можна додати до 12 цілих і знову ж таки отримати результат 15 см². Таким чином школярам стає зрозуміло, що площа паралелограма обчислюється за даною формулою, оскільки з нього завжди можна утворити прямокутник.

Обчислення площі трикутника є складним матеріалом для розумо­во відсталих. Його можна вводити лише після того, як учні навчились безпомилково обчислювати площі прямокутника, квадрата, паралелограма. Знайомлячи з ним дітей вчитель пояснює, що для обчис­лення площі ∆АВС потрібно від верхньої точки (в нашому випадку В) провести паралельно основі лінію такої ж, як основа, довжини (ВК) (див. рис. 9.39.). Після цього сполучити між собою точки К і А. Утворився паралелограм АКВС. Оскільки школярі знають, за якою формулою відбувається обчислення площі паралелограма (S = a·h) вони з цим завданням швидко справляються. Але на рисунку чітко видно, що ∆АКВ = ∆АВС. Отже, для того, щоб взнати площу ∆АВС потрібно площу паралелограма АКВС поділити на 2. Після цього вчитель робить висновок: для обчислення площі трикутника вико­ристовують формулу: S_трик. = a·h:2

Рисунок 9.39.

К В

А С

О кремі учні у 10-му класі можуть оволодіти навичками обчислен­ня площі круга. Для цього вчитель використовує пояснення у такій формі, з такими наочними посібниками і практичними завданнями, як і під час обчислення площі паралелограма. Формулу для обчис­лення площі круга вони вивчають напам'ять: S _кола = πr · r.

Після формування в учнів знань про обчислення площі квадрата вчитель знайомить їх з величинами, які використовуються для вимірювання площ полів. Він пояснює, що для позначення площі полів квадратний метр є малою величиною, а квадратний кілометр - вели­кою. Тому в практиці прийнято використовувати такі позначення площі, як гектар і ар.

Ар - це квадрат з довжиною сторін 10 м. Населення в своєму мов­ленні часто використовую іншими термін - "сотка". І тому якщо ка­жуть, що біля садиби є 8 соток - це означає, що біля садиби є 8 арів (скорочено ар позначають однією літерою а). Тобто біля садиби є площа, яка дорівнює величині 8 квадратів з довжиною сторін 10 м.

Гектар - це квадрат з довжиною сторін 100 м. Гектарами в більшості випадків вимірюють площі полів сільськогосподарських підприємств. Наприклад, зібрати врожай 68 ц з гектара означає, що з квадрата землі, сторона якого 100 метрів, зібрали 6 тон і 8 центнерів зерна.

У 9-10-му класах відбувається повторення і закріплення того геометричного матеріалe, з яким школярі вже знайомились. У цей період вони закріплюють знання з креслення симетричних фігур, в яких точ­ки знаходяться на одній прямій, наприклад квадратів і прямокутни­ків. Головне завдання вчителя в цей період - сформувати у школярів поняття про те, що пряма, на якій ми будуємо симетричну фігуру, включала в себе не одну, а дві точки, які знаходяться одна від одної на різній віддалі.