Глава V

В ЕЛИЧИНЫ И ИХ И ЗМЕРЕНИ Я

Одна из существенных особенностей окружающей нас действи

тельности — беспрерывное и многообразное ее изменение. Меняет

ся погода, возраст человека, изменяются условия жизни людей,

животный и растительный мир. Чтобы дать научное обоснование этим

процессам, нужно знать их определенные свойства, например такие,

как время, масса, скорость. Все названные свойства — величины.

Их вы изучали в школьных курсах математики, физики, химии,

биологии. С некоторыми из них мы встречались и в нашем курсе.

Однако этого недостаточно учителю начальных классов — то огром

ное внимание, которое уделяется величинам и их измерению в на

чальной школе, требует более углубленной подготовки. На это и

нацелена данная глава.

§ 17. П о н я ти е величи ны и ее и з м ер ен и я

104. Понятие величины

Длина, площадь, масса, скорость, стоимость — величины. Пер

воначальное знакомство с ними происходит в начальной школе,

где величина наряду с числом является ведущим понятием. Вели

чины — это особые свойства реальных объектов или явлений. Н а

пример, свойство предметов иметь протяженность называется длиной.

Это же слово мы употребляем, когда говорим о протяженности

конкретных объектов. Поэтому про длины конкретных объектов

говорят, что это величины одного рода. Вообще однородные вели

чины выражают одно и то же свойство объектов некоторого

множества. Разнородные величины выражают различные свойства

объектов. Так, длина и площадь — это разнородные величины.

Величины — длина, площадь, масса и другие обладают рядом

свойств:

1. Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны,

либо одна меньше другой. Иными словами, для величин одного

рода имеют место отношения «равно», «меньше» и «больше» и для

любых величин а и b справедливо одно и только одно из отноше

ний: а <.Ь , а = Ь, а > Ь .

Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного

треугольника больше, чем длина любого катета этого треугольника,

масса яблока меньше массы арбуза, а длины противоположных

сторон прямоугольника равны.

2. Величины одного рода можно складывать, в результате

сложения получится величина того же рода. Другими словами, для

любых двух величин а и b однозначно определяется величина

а-\-Ь, ее называют суммой величин а и Ь.

Например, если а — длина отрезка АВ, b — длина отрезка ВС

(рис. 153), то длина отрезка А С есть сумма длин отрезков А В и ВС .

3. Величину умножают на действительное число, получая в ре

зультате величину того же рода. Другими словами, для любой

величины а и любого неотрицательного действительного числа х

существует единственная величина 6= лг*л; величину Ь называют

произведением величины а на число х.

Например, если длину а отрезка А В умножить на х = 2, то

получим длину 2а нового отрезка А С (рис. 154).

4. Величины одного рода вычи тают, определяя разность вели

чин через сумму: разностью величин а и b называется такая

величина с, что а = Ь-\-с.

278

В

-I—

Рис. 153

А

*—

В

Рис. 154

с

—I

Например, если а — длина отрезка А С, Ь — длина отрезка А В,

то длина отрезка ВС есть разность длин отрезков АС и А В.

5.

Величины одного рода делят, определяя частное через произ

ведение величины на число: частным величин а и b называется такое

неотрицательное действительное число х, что а = х-Ь. Чаще это число

х называют отношением величин а и b и записывают в таком виде:

Например, отношение длины отрезка А С к длине отрезка А В

равно 2 (рис. 154).

Упражнения

1. Имеются два куска проволоки. Каким образом можно сравнить

их длины, не прибегая к измерению?

2. В две различные банки налита вода. Как, не измеряя, сравнить

имеющиеся объемы воды?

3. Как можно сравнить массы двух предметов, не определяя

массу каждого из них?

4. На рисунке 155 изображены два прямо

угольника, имеющие площади а и Ь. Постройте

прямоугольник, площадь которого равна:

в

1) а + Ь\ 2) 5а; 3)

4) 6 — а.

Рис. 155

105. Понятие измерен ия величины

Сравнивая величины непосредственно, мы можем установить их

равенство или неравенство. Чтобы получить более точный результат

сравнения, например узнать, на сколько масса одного тела больше

массы другого, необходимо величины измерить. Измерение заключа

ется в сравнении данной величины с некоторой величиной того же

рода, принятой за единицу. Процесс сравнения зависит от рода рас

сматриваемых величин: для длин он один, для площадей — другой,

для масс — третий и г. д. Но каким бы пи был этот процесс, в ре

зультате измерения величина получает определенное численное

значение при выбранной единице.

Вообще если дана величина а и ямб рана единица величины е,

то в результате измерении величины а находят такое действительное

число х, что а =х-е. Эти число х наз ывают численным значением

величины а при единице величины е.

Последнее предложение можно записать в символической форме:

х — т с (а).

Согласно определению любую величину можно представить в

виде произведения некоторого числа и единицы этой величины.

Например, 7 кг = 7* 1 кг, 12 см=12*1 см, 3 ч = 3*1 ч.

Используя это, а также определение умножения величины на

279

число, можно обосновать процесс перехода от одной единицы ве

личины к другой. Пусть, например, требуется выразить ч в ми-

5

5

5

5

нутах. Так как —

= (-|"6 0 ) мин = 25 мин.

1 ч и 1 ч = 60 минг то — ч = — -60 мин =

Величины, которые вполне определяются одним численным зна

чением, называются скалярн ыми величинами. Такими, к примеру,

являются длина, площадь, объем, масса.

Кроме скалярных величин, в математике рассматривают еще

векторные величины. Д ля определения векторной величины необхо

димо указа ть не только ее численное значение, но и направление.

Векторными величинами являю тся сила, ускорение, напряженность

электрического поля и. др.

В нашем курсе мы будем рассматривать только скалярные

величины и причем такие, численные значения которых положи

тельны, т. е. положительные скалярные величины.

Измерение величин позволяет свести сравнение их к сравнению

чисел, операции над величинами к соответствующим операциям

над числами.

1. Если величины а и b измерены при помощи единицы вели

чины е, то отношения между величинами а и b будут такими же,

как и отношения между их численными значениями, и наоборот:

а — Ь о т е( а ) = т е(Ь),

а < Ь о т е(а ) < т е(Ь),

а > Ь о т е (а) > т е (_b).

Например, если массы двух тел таковы, что а = 5 кг, Ь = 3 кг,

то можно утверж дать, что масса а больше массы Ь, поскольку

5> 3.

2. Если величины а и b измерены при помощи единицы величи

ны е, то, чтобы найти численное значение суммы а-\-Ь, достаточно

сложить численные значения величин а и Ь\

а + Ь = с о т с (а + Ь) = т е {а) + т е(Ь).

Например, если а = 15 кг, 6=12 кг, то а-\-Ь = 15 к г+ 12 кг =

= (15-f-12) кг = 27 кг.

3. Если величины а и b таковы, что Ь — х-а, где х — положи

тельное действительное число, и величина а измерена при помощи

единицы величины е, то, чтобы найти численное значение величины Ь

при единице е, достаточно число х умножить на число т е(а):

Ь = ха о т е{Ь) = х- гпе(а).

Например, если масса Ь в 3 раза больше массы а, т. е. Ь = 3а,

и а = 2 кг, то 6= За = 3-(2 кг)= (3-2) кг = 6 кг.

280

У праж нения

1. Выразите: I) в сантиметрах 8 см 79 мм; 2) в минутах 8 мин

12 с; 3) в тоннах 125 кг 300 г.

2. Сравните величины:

7

3

3

4

1) 56 мин и yjj ч; 2) 1,5 см и jg дм; 3) ^ м и j дм.

3. Решите нижеприведенные задачи и объясните, какие действия

над величинами выполнялись в процессе решения:

4

1) На обработку трех деталей потратили — ч. На первую де-

2

таль было израсходовано 0,25 ч, на вторую у ч. Сколько времени

пошло на обработку третьей детали?

2) Книга дешевле альбома на 78 к. Сколько стоят два таких

альбома, если одна книга стоит 68 к?

3) На нефтебазе было 12 680 т бензина. В первый день база

отпустила 834 т, во второй — в 2 раза меньше, чем в первый,

а в третий — на 229 т больше, чем во второй. Сколько тонн

бензина осталось на базе?

4) Из деревянного бруска, имеющего форму прямоугольного па

раллелепипеда, длина которого 24 см, ширина в 3 раза меньше

длины, а высота 11 см, вырезали куб с ребром 6 см. Найдите

объем оставшейся части.

106. Из истории развития системы единиц величин

Человек давно осознал необходимость измерять разные вели

чины, причем измерять как можно точнее. Основой точных измерений

являю тся удобные, четко определенные единицы величин и точно

воспроизводимые эталоны (обр азцы) этих единиц. В свою очередь,

точность эталонов отражает уровень развития науки, техники и

промышленности страны, говорит о ее научно-техническом потен

циале.

В истории развития единиц величии можно выделить несколько

периодов.

Самым древним явл яется период, когда единицы длины ото

ждествлялись с названием частей человеческого тела. Гак, в ка

честве единиц длины применяли ладонь (ширина четырех пальцев

без большого), локоть (длина локтя), фут (длина ступни), дюйм

(длина сустава большого пальца) и др. В качестве единиц площади

в этот период выступали: колодец (площадь, которую можно полить

из одного колодца), соха или плуг (средняя площадь, обработанная

за день сохой или плугом) и др.

В X IV —X V I вв. появляются в связи с развитием торговли

так называемые объективные единицы измерения величин. В Англии,

например, дюйм (длина трех приставленных друг к другу ячменных

зерен), фут (ширина 64 ячменных зерен, положенных бок о бо к).

281

В качестве единиц массы были введены гран (масса зерна) и карат

(масса семени одного из'ви дов бобов).

Следующий период в развитии единиц величин — введение еди

ниц, взаимосвязанных друг с другом. В России, например, такими

были единицы длины миля, верста, сажень и аршин; 3 аршина

составляли сажень, 500 саженей — версту, 7 верст — милю.

Однако связи между единицами величин были произвольными,

свои меры длины, площади, массы использовали не только отдель

ные государства, но и отдельные области внутри одного и того же

государства. Особый разнобой наблюдался во Франции, где каждый

феодал имел право в пределах своих владений устанавливат ь

свои меры. Такое разнообразие единиц величин тормозило развитие

производства, мешало научному прогрессу и развитию торговых

связей.

Новая система единиц, которая впоследствии явилась основой

для международной системы, была создана во Франции в конце

X V I II века, в эпоху Великой французской революции. В качестве

основной единицы длины в этой системе принимался метр1— одна

сорокамиллионная часть длины земного меридиана, проходящего

через Париж.

Кроме метра, были установлены еще такие единицы: ар — пло

щадь квадрата, длина стороны которого равна 10 м; литр — объем

и вместимость жидкостей и сыпучих тел, равный объему куба с

длиной ребра 0,1 м; грамм — масса чистой воды, занимающая

объем куба с длиной ребра 0,01 м.

Были введены также десятичные кратные и дольные единицы,

образуемые с помощью приставок: мирна ( Ю 4), кило (Ю 3),

гекто (102), дека ( Ю ‘ ),деци ( 10—1) , санти (10 ~2), милли (10_3).

Единица массы килограмм был определен как масса 1 дм3

воды при температуре 4 °С .

Так как все единицы величин оказались тесно связанными с

единицей длины метром, то новая система величин получила назва

ние метрической системы мер.

В соответствии с принятыми определениями были изготовлены

платиновые эталоны метра и килограмма: метр представляла линей

ка с нанесенными на ее концах штрихами, а килограмм — цилинд

рическая гиря. Эти эталоны передали на хранение Национальному

архиву Франции, в связи с чем они получили названия «архивный

метр» и «архивный килограмм».

Создание метрической системы мер было большим научным дос

тижением2 — впервые в истории появились меры, образующие

стройную систему, основанные на образце, взятом из природы, и

тесно связанн ые с десятичной системой счисления.

Но уже скоро в эту систему пришлось вносить изменения.

1 Слово «метр» происходит от греческого слова melron, что означает «мера».

’ В создании метрической системы мер принимали крупнейшие ученые того

времени — Ж . Лагранж, П. Лаплас, Т. Мопж, Ж . Борда и др.

282

Оказалось, что длина меридиана была определена недостаточно

точно. Более того, стало ясно, что по мере развития науки и

техники значение этой величины будет уточняться. Поэтому от еди

ницы длины, взятой из природы, пришлось отказаться. Метром

стали считать расстояние между штрихами, нанесенными на концах

архивного метра, а килограммом — массу эталона архивного кило

грамма.

Не сразу метрическая система мер получила признание. Д аже

через 100 лет (в 1875 г.) только 17 государств подписали Метри

ческую конвенцию «для обеспечения международного единства из

мерений и усовершенствования метрической системы мер». В настоя

щее время эта конвенция подписана 60 государствами.

В России метрическая система мер начала применяться наравне

с русскими национальными мерами начиная с 1899 года, когда

был принят специальный закон, проект которого был разработан

выдающимся русским ученым Д. И. Менделеевым. Специальными

постановлениями Советского государства был узаконен переход на

метрическую систему мер сначала Р С Ф С Р (1918 г.), а затем и пол

ностью С С С Р (1925 г.).

Созданная в X V I II веке, метрическая система мер отвечала

уровню развития науки и измерительной техники того времени и,

конечно, не могла быть стабильной. С целью укрепления сотруд

ничества по совершенствованию системы единиц величин в 1921

году было создано Международное бюро мер и весов. Руководит им

Международный комитет мер и весов, а законодательным органом

являет ся Генеральная конференция по мерам и весам, проводимая

один раз в шесть лет.

Бурное развитие науки и производства в X X веке привело к

тому, что к 50-м годам возникло множество различных систем

единиц, дополняющих и развиваю щих метрическую систему мер. Со

всей остротой встала проблема создания единой универсальной

системы единиц величин. Больш ую работу по ее решению провел

Международный комитет мер и весов. Она заверш илась принятием

в 1960 году X I Генеральной конференцией мер и весов решения о

введении Международной системы единиц ( С И ) 1.

Упражнения

1. Известно, что в 1967 году в нашей стране было получено

9 млрд. пудов зерна. Сколько эго тонн?

(П уд — единица массы, известная на Руси с древнейших времен;

1 пуд равен 16 кг 380 г.)

2. Среди редчайших драгоценностей, хранящихся в Алмазном

фонде С С С Р , есть такие старинные камни, как «Орлов», масса

1 Сокращенное наименование Международной системы единиц SI. В русской

транскрипции — СИ, что означает «система интернациональная», т. с. «междуна

родная», читается раздельно: «эс-и», а не слитно: «си».

283

его равна 189,⁶2 карата, и «Ш ах», масса его — 88,⁷карата. Ка кова

масса этих драгоценных камней в граммах?

(Карат — единица массы, используемая при взвешивании дра

гоценных камней и жемчуга; 1 карат равен 2-10-4 кг.)

3. Ширину и внутренний диаметр шиньР (велосипеда, машины)

часто измеряют в дюймах. Ширина и диаметр шины самосвала

«БелА З» 18,0—32 дюйма. Како вы ширина и диаметр этой шины

в сантиметрах?

(Дюйм — единица длины, используемая во многих странах;

1дюйм равен 2 см 5,4 мм. Д евочка ростом в дюйм — Дюймовочка —

героиня сказки Андерсена.)

4. Какой спортсмен бежал быстрее; который пробежал 100 ярдов

за 9,1 с или тот, который пробежал 100 м за 9,0 с?

(Ярд — английская единица длины; 1 ярд равен 91,44 см.)

5. Мор яки всех стран расстояние, пройденное кораблем, изме

ряют в милях. Одна морская миля равна 1852 м. Выразите в ки

лометрах расстояние, равное 320 милям.

107. Международная система единиц

Меж дународная система единиц (С И ) — это единая универсаль

ная практическая система единиц для всех отраслей науки, техники,

народного хозяйства и преподавания. Так как потребность в такой

системе единиц, являю щейся единой для всего мира, была велика,

то за короткое время она получила широкое международное призна

ние и распространение во всем мире.

В этой системе семь основных единиц (метр, килограмм, се

кунда, ампер, кельвин, моль и кандела) и две дополнительные

единицы (радиан и стерадиан).

Как известно, единица длины метр и единица массы килограмм

входили и в метрическую систему мер. Каки е изменения претер

пели они, войдя в новую систему? Введено новое определение

метра — он рассматривается как расстояние, которое проходит в

вакууме плоская электромагнитная волна за

л I У * 4 0 0

- долей се-

кунды. Переход на это определение метра вызван ростом требований

к точности измерений, а та кже стремлением иметь такую единицу

величины, которая существует в природе и остается неизменной

при любых условиях.

Определение единицы массы килограмма не изменилось, по-

прежнему килограмм — это масса цилиндра из платино-иридиевого

сплава, изготовленного в 1889 году. Хранится этот эталон в М еж

дународном бюро мер и весов в г. Севре (Фр а нция).

Третьей основной единицей Международной системы является

единица времени секунда. Она намного старше метра.

Д о 1960 года секунду определяли как ■ 1 - часть солнечных

оО ‘tUU

суток, т. е. секунда определялась по вращению Земли вокруг своей

284

оси. Это было сделано с таким расчетом, чтобы сохранить при

вычные отношения между различными единицами времени. При

таком определении в сутках содержится 86 400 с, что составляет

1440 мин, или 24 ч.

В 1960 году Генеральная конференция мер и весов приняла

решение о переходе к единице времени, основанной на движении

Земли по орбите вокруг Солнца. Секунду определили как

'

о 15ои92о,У /41

часть года. Новое определение учитыва ло непостоян-

ство средних солнечных суток и значительно повысило точность ее

воспроизведения. Однако и это определение не удовлетворило

ученых. В 1967 году секунду определили следующим образом:

«Секунда равна 9 192 631770 периодам излучения, соответствую

щего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного

состояния атома цезия-133». В настоящее время имеется бо

лее точное определение секунды.

Вообще развитие науки и техники постоянно вносит свои кор

рективы в определения единиц величин.

Измерять на практике все длины в метрах, массы в килограм

мах, время в секундах неудобно. Поэтому из основных единиц

образуют другие единицы — кратные и дольиые. Кр атные единицы

в 10, 102, 10 , 106, 109, 1012, 10 ', 1018 раз больше основной, а доль

ные составляют 10_ | , 10“ *. Ю " 3, 10 "6, Ю " 9, 10~12. Ю " 15, 10“ '®

основной единицы. Назван ия новых (кратных и дольных) единиц

образуются из названий «метр», «грамм», «секунда» и других с по

мощью приставок, указанных в таблице

Наимено-

03)1НС

приставки

Обозначе

ние

приставки

М ножи

тель

Наимено

вание

приставки

Обозначе

ние

приставки

Множи

тель

мега

КИЛО

гекто

дека

дени

м

к

г

да

д

ю 6 санти

ю 3 МИЛЛИ

102 микро

10 нано

10-'

С

М

МК

н

н г *

1СГ3

10-®

10-’

Например, километр — это кратная единица, I км = 103* 1 м =

= 1000 м; миллиметр — это дольная единица, 1 мм = 10~3-1 =

= 0,001 м.

Вообще, для длины кратной единицей являю тся километр (км ),

а дольными— сантиметр (см) , миллиметр ( мм), микрометр (мкм ),

нанометр (нм ). Для массы кратной единицей являет ся мегаграмм

( M r), а дольными — грамм (г), миллиграмм (мг), микрограмм

(м кг). Д ля времени кратной единицей является килосекунда (кс),

а дольн ыми — миллисекунда (мс), микросекунда (мке), наносекун

да (н е).

1 В таблице приведены только пристаокн, с помощью которых образуются

кратные и дольные единицы таких величин, как длина, масса и время.

285

Величины, которые определяются через длину, массу и время,

называют производными величинами. Их единицы должны быть

согласованы с основными.

Назовем некоторые производные величины и их единицы.

1. П л о щ а д ь . Единицы площади — Аадратный метр (м2),

квадратный километр (км2), квадратный дециметр (дм2), квадрат

ный сантиметр (см2), квадратный миллиметр (мм2).

2. О б ъ е м , в м е с т и м о с т ь . Единицы объема — кубический

метр (м3), кубический дециметр (дм3) , кубический сантиметр (см3),

кубический миллиметр (мм3), литр (л ), гектолитр (гл), милли

литр (мл).

В С И литр рассматривается как особое наименование кубичес

кого дециметра, т. е. 1 л= 1 дм3.

3. С к о р о с т ь . Единицы скорости — метр в секунду (м /с), ки

лометр в час ( км/ч), сантиметр в секунду (см/с).

Единицы величин, применяемые в нашей стране, их наименова

ния, обозначения и правила применения устанавливаю тся Государ

ственным стандартом (ГО С То м ). В соответствии с ним исполь

зуется Международная система единиц, а также определена группа

внесистемных единиц, которые разрешается использовать наряду

с единицами СИ. В частности, для массы разрешается применение

такой единицы, как тонна (т ); для времени — минута (ми н), час ( ч),

сутки (сут) , неделя, месяц, год, век; для площади — гектар ( га ) ;

для температуры — градус Цельси я ( °С ) .

Зам етим, что такие единицы, как центнер (для массы) и ар

(для площади), изъяты из употребления согласно ГО СТу.

Следует обратить внимание и на правильное употребление

терминов, связанных с единицами величин. Эти правила также

установлены ГОСТом. Так, вместо термина «единица величины»

не допускается применять термин «единица измерения величины»,

поскольку термин «измерение» определяют через понятие величины

и включение слова «измерение» в термин «единица величины»

приводит к порочному кругу в определениях. Следовательно, надо

говорить и писать: «Метр — единица длины», «Гра мм — единица

массы», «4qc — единица времени».

Упражнения

1. Длина прямоугольника 35 см, а его ширина 0,3 м. Найдите

площадь прямоугольника в квадратных дециметрах.

2. Сколько часов провел в школе учащ ийся, окончивший тре

тий класс, при условии, что в учебном году 210 учебных дней,

а в учебном дне 4 урока по 45 мин?

3. Сколько секунд прожил человек, достигший 20-летнего воз

раста? Считаем, что кажд ый год содержит 365 суток.

4. Выразите: 1) в квадратных дециметрах 3,2 м2; 2) в кубичес

ких сантиметрах 4,1 м3; 3) в километрах в час 8,6 км/с.

286

5. Какова скорость вертолета, если за 180 с он пролетел 8730 м?

Сколько километров пролетит этот вертолет за час?

6. Одно ребро прямоугольного параллелепипеда равно 44 см,

другое — на 25 % длиннее третьего. Объем прямоугольного парал

лелепипеда равен 22 ООО см . Найдите площадь каждой грани.

7. Металлический бак представляет прямоугольный параллеле

пипед, внутренний размер которого 2,5X 1, 8X 1.4 м. Сколько литров

воды войдет в этот ба к?

8. В бассейн входит 9* 105 л воды. Выразите вместимость бас

сейна в кубических метрах.

9. Ежегодно на орошение и другие нужды во всем мире заби

рают из рек 3600 км3 воды. Выразите объем этой воды в литрах.

10. Автобус прошел 250 км и израсходовал 95 л бензина. Н ай

дите расход бензина на один километр пути. В каких единицах

можно измерять этот расход?

11. Скорость света 3-10Г> км/с. Ка кое расстояние пройдет свет

за 5 мин?

12. Зву к распространяется в воздухе со скоростью 342 м/с.

Через сколько секунд человек услыш ит выстрел охотника, если

расстояние между ним и охотником 2,4 км?