§ 15. Ура вне ния и неравенств а

96. Уравнения с одной переменной

Возьмем два выражения с переменной: 4* и 5*+ 2. Соединив

их знаком равенства, получим предложение 4* = 5 *+ 2. Оно со

держит переменную и при подстановке значений переменной об

ращается в высказывание. Например, при х=1 предложение

4* = 5 *+ 2 обращается в ложное числовое равенство 4-1=5-1+ 2,

а при х = — 2 — в истинное 4-( — 2)= 5*( — 2) + 2. Поэтому предло

жение 4* = 5* 4 2 есть высказывательная форма. Ее называют

равенством с переменной или уравнением с одной переменной.

В общем виде понятие уравнения с одной переменной можно

определить так:

О п р е д е л е н и е . Пусть f ( x ) и g (x) — два выражения с

переменной х и областью определения X. Тогда высказыватель

ная форма вида f(x ) = g ( x ) называется уравнением с одной, пе

ременной.

Значение переменной х из множества X, при котором урав

нение обращается в истинное числовое равенство, называется

его решением (или корнем). Найти множество решений данного

уравнения — значит решить это уравнение.

Приведем несколько примеров уравнений с одной переменной.

1) 4jc= 5jc+ 2, x Ј R . Э т о уравнение обращается в истинное

числовое равенство только при х — — 2. Значит, его множест

во решений есть |— 2}.

2) (х— 1) (* + 2) = 0, x ЈR. Это уравнение с одной переменной

обращается в истинное числовое равенство при *= 1 и при х = —2.

Следовательно, множество решений данного уравнения таково:

( - 2 ; I).

3) (3*-f- 1)*2 = 6х+ 2, x ЈR. Если раскрыть скобки в выраже

нии, стоящем в левой части, то данное уравнение приобретает

вид 6 * 4 2 = 6 * 4 2 . Полученная запись означает, что такое урав-

252

ненис обращается в истинное высказывание при любом дейст

вительном значении переменной х. В этом случае говорят, что

множество решений данного уравнения есть множество действи

тельных чисел.

4)

(Зх+ 1)-2= 6дс+ I, xЈR. Легко убедиться в том, что данное

уравнение не обращается в истинное числовое равенство ни при

одном действительном значении *: после преобразований в левой

части имеем 6х+ 2, а в правой 6х+1, но \ ф 2. В этом случае го

ворят, что данное уравнение не имеет решения или что множество

его решений пусто.

В начальном курсе математики рассматриваются простей

шие уравнения вида х + а = Ь, а — х — Ь, х — а = Ь, х -a — b, х :а = Ь

и др., где а, Ь — целые неотрицательные числа, х — переменная.

Понятия уравнения и его решения определяются неявно, через

контекст, и «в ходе решения таких уравнений у детей должно быть по

степенно сформировано понимание уравнения как равенства, со

держащего неизвестное число, обозначенное буквой. Они должны

понять, что всякий раз, как мы встречаемся с уравнением, задача

заключается в том, чтобы найти то значение неизвестного числа,

при котором равенство будет верным»'.

Упражнения

1. Проверьте, является ли — 4 корнем уравнения лг— 0,5 (лг—

— 12)= 13— 0,25х, если оно задано па множестве действительных

чисел.

2. Уравнение 2лг4+ Ах2— 6 = 0 рассматривается на множестве

натуральных чисел. Объясните, почему лг= 1 является корнем

данного уравнения, а х = 2 и х = — 1 не являются его корнями.

3. Вместо многоточия вставьте либо «необходимо», либо «до

статочно», либо «необходимо и достаточно» так, чтобы получилось

истинное высказывание:

1) Для того чтобы а было корнем уравнения f(x ) = g(x), ...,

чтобы а принадлежало области определения уравнения.

2) Для того чтобы а было корнем уравнения f(x ) = g(x ), ....

чтобы при подстановке а вместо х уравнение обращалось в истин

ное числовое равенство.

3) Для того чтобы а было корнем уравнения f( x ) — g(x ), ...,

чтобы а принадлежало области определения и при подстановке

а вместо х уравнение обращалось в истинное числовое равенство.

4. Истинны ли следующие высказывания:

1) Для того чтобы произведение (x — 3 )(* - f5 )(x — 1) было

равно нулю, необходимо, чтобы х = 3.

2) Для того чтобы произведение (* — 3) (л:4-5) (* — 1) было

равно нулю, достаточно, чтобы х= 1.

1 М о р о М. И., П ы ш к а л о А. М. Методика обучения математике в 1— 3

классах.— М., 1978.— С. 98.

253

5. Сформулируйте условия, при которых:

1) число 3 является корнем уравнения f (x)-g (х) = 0;

2) число 7 не является корнем уравнения f(x )- g (x) = 0:

3) число 2 является корнем уравнения

0.

6. Приведите различные виды уравнений, решаемых в начальных

классах.

97. Равносильность уравнений

Чтобы решить данное уравнение, его, как правило, преобра

зовывают, заменяя последовательно другими, более простыми. Этот

процесс замены продолжают до тех пор, пока не получат уравне

ние, решения которого можно найти известным способом. Но что

бы эти решения были решениями заданного уравнения, необхо

димо, чтобы в процессе преобразований получались уравнения,

множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют

равносильными.

О п р е д е л е н и е . Два уравнения называются равносильными,

если их множества решений равны.

Например, уравнения (х-f-1f = 9 и (х —2) (x-f 4) = 0 равносильны

на множестве действительных чисел, так как множество решений

первого уравнения (— 4, 2) и множество решений второго урав

нения (2, — 4J равны.

Выясним теперь, какие преобразования позволяют получать

уравнения, равносильные исходному. Эти преобразования нашли

отражение в следующих теоремах.

Т е о р е м а 1. Пусть уравнение f (x ) = g (х ) задано на мно

же стве X и h (х ) — выражение, определенное на тон ж е мно

жестве. Тогда уравнение / (x ) — g (х ) (1 ) и f (x)-\-h ( x ) = g (х)-±-

-f-h (х ) (2 ) равносильны на множестве X.

Эт у теорему можно сформулировать иначе: если к обеим час

тям уравнении с областью определения А' прибавить одно и то

же выражение с переменной, определенное на том же множестве

X , получим новое уравнение, равносильное данному.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим через Т\ множество реше

ний уравнения (1 ), а через Гг множество решений уравнения (2).

Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если Т\ = Тг. Но

чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень

из Ti является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень

из Ti является корнем уравнения ( I) .

П усть число а — корень уравнения (1). Тогда а Ј Т i и при

подстановке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое

равенство / {a) = g (а), а выражение Л (х) обращает в числовое

выражение /г(а). Прибавим 'к обеим частям истинного равенства

f {a ) = g (a) числовое выражение h (a). Получим согласно свойства

истинных числовых равенств истинное числовое равенство

I (а )+ Л (а) = g (а) + Л (а).

254

Но это равенство говорит о том, что число о является также и

корнем уравнения (2).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является

корнем и уравнения (2), т. е. TiC iT i.

Пусть теперь b — корень уравнения (2). Тогда Ь^Тг и при

подстановке в уравнение обращает его в истинное числовое ра

венство / (Ь) + Л ( b ) = g {b) + h {b).

Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выра

жение — И (Ь). Получим истинное числовое равенство l{ b ) = g [ b ),

которое говорит о том, что число b — корень уравнения (1).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является

и корнем уравнения (1), т. е. TtCzT\.

Так как TtCzT^ и Тъ аТ \, то по определению равных множеств

Г| = Г2, а значит, уравнения (1) и (2) равносильны на множестве X.

При решении уравнений чаще используется не сама данная

теорема, а следствия из нее:

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же

число, то получим уравнение, равносильное данному.

2. Если какое-либо слагаемое (чи словое выр ажение или в ы

ражен ие с переменной) перенести из одной части уравнения

в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то

получим уравнение, равносильное данному.

Т е о р е м а 2. Пусть уравнение f ( x ) = g ( x ) задано на мно

жестве X и h ( х ) — выражение, определенное на том ж е мно

жестве и не обращающееся в нуль ни при каки х значениях х

из множ ества X . Тогда уравнения f ( x ) = g ( x ) и f ( x ) h ( x ) =

— g ( x) ' h ( х) равносильны на множестве X .

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству

теоремы 1.

Из теоремы 2 вытекает следствие, которое часто использу

ется при решении уравнений:

Если обе части уравнения умножит ь (или разделить) на од

но и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, рав

носильное исходному.

Решим уравнение I —

, x ЈR, и выясним, какие теоре

тические положения при этом были использованы.

Ход

решения

Используемые теоретические

положения

1.

Приведем выражения,

Выполнили тождественное

стоящие в левой и правой ча

стях уравнения к общему зна-

преобразование выражения в

левой части уравнения, полу

6

менателю: — ^— = — .

— 2х х

чили уравнение, равносильное

исходному.

255

2. Отбросим общий знаме

натель: 6— 2х = х.

3. Выражение — 2х перено

сим в правую часть уравне

ния: б=дг + 2х.

4. Привели подобные чле

Умножили на б обе части

уравнения (теорема 2), полу

чили уравнение, равносильное

предыдущему и, значит, ис

ходному.

Воспользовались следстви

ем из теоремы 1 (или согласно

теореме 1 прибавили к обеим

частям выражение 2х, опреде

ленное для всех действитель

ных чисел), получили уравне

ние, равносильное предыдуще

му и, значит, данному.

Выполнили тождественное

ны в правой части уравнения:

преобразование,

получили

6= 3*.

5. Разделили обе части

уравнения на 3: л' = 2.

уравнение, равносильное пре

дыдущему и, значит, данному.

Воспользовались следстви

ем из теоремы 2 (или согласно

теореме 2 умножили обе части

уравнения на , получили

уравнение, равносильное пре

дыдущему и, значит, исход

ному.

Таким образом, множество решений данного уравнения состоит

из одного числа 2, т. е. {2).

Возьмем теперь уравнение х (х— l) = 2x, x ЈR. Иногда учащиеся

решают его так: делят обе части на а', получают уравнение

х — 1 =2, откуда находят, что х = 3, и заключают: (3)— множество

решений данного уравнения.

Но верно ли решено данное уравнение? Найдены ли все такие

действительные значения х, которые обращают уравнение jc(jc —

— \) = 2х в истинное числовое равенство?

Нетрудно видеть, что при дг= 0 данное уравнение обраща

ется в истинное числовое равенство 0*(0— I ) = 2*0. Значит, 0 —

корень данного уравнения. Почему же произошла потеря этого

корня?

Дело в том, что уравнение лг— 1= 2 не равносильно уравне

нию 2 (х — [) = 2х на множестве действительных чисел, так как

получено из последнего умножением на выражение -j-, кото

рое определено не для всех действительных, чисел (в частности,

при х = 0 оно не имеет смысла), т. е. нами не выполнено условие

теоремы 2, что и привело к потере корня.

256

Как правильно решить уравнение х (х — 1)= 2х? Рассмотрим

один из возможных вариантов решения.

Ход

решения

1. Перенесем выражение 2х

из правой части в левую:

х ( х — \) — 2х = 0.

2. Вынесем в левой части

уравнения за скобки х и при

ведем подобные члены: х (х —

- 3 )= 0 .

3. Произведение двух мно

жителей равно нулю в том н

только в том случае, когда хо

тя бы один из них равен пулю,

поэтому х = 0 или х — 3 = 0.

4. Перенеся число 3 в пра

вую часть второго уравнения,

получаем: * = 0 или * = 3.

Используемые теоретические

положения

Воспользовались следстви

ем из теоремы I, получили урав

нение, равносильное данному.

Выполнили тождественные

преобразования, они не нару

шили равносильности уравне

ния.

Воспользовались условием

равенства нулю произведения

нескольких множителей, полу

чили совокупность уравнений,

равносильных исходному.

Воспользовались следстви

ем из теоремы 1, получили

уравнение, равносильное урав

нению х —3 = 0.

Таким образом, множество решений данного уравнения состо

ит из двух чисел 0 и 3, т. е. имеет вид {0, 3}.

Заметим, что невыполнение условий теорем 1 и 2 может при

вести не только к потере корней уравнения, но и к появлению

так называемых посторонних корней.

Какие корни считают посторонними?

Пусть даны два уравнения: fi( x ) = g |(лг) (1) и Ы Л') = Я 2(*) (2).

Если известно, что все корни уравнения (1) являются корнями

уравнения (2), то про уравнение (2) можно сказать, что оно сле

дует из уравнения (1) или что уравнение (2) есть следствие

уравнения (1). Если же уравнение (2) имеет корни, не удовлет

воряющие уравнению (I ), то они и будут посторонними для урав-

3v 15

нения (1). Например, решая уравнение мы ос'

вобождаемся от знаменателя, умножив обе части уравнения на

(х + 2) (х — 3), н получаем 5х— 15 = 0, откуда .v= 3. По при * = 3 зна-

менатель дроби ,

...

ох J — обращается в нуль, и поэтому * = 3

(*+ 2) (.v—3)

не может быть корнем исходного уравнения, т. е. .*= 3 оказывается

для него посторонним корнем.

Вообще если при решении уравнения его заменяют следстви

ем (а не равносильным уравнением), то надо найти все корни

уравнения-следствия, а затем их проверить, подставив в исход

ное уравнение. Посторонние корни отбрасывают.

9 Заказ 147

257

Следует заметить, что приобретение посторонних корней ме

нее «опасное» явление, чем их потеря. Поэтому при решении

уравнений необходимо в первую очередь строго следить за пра

вильным применением теорем о равносильности.

В начальном курсе математики теоретической основой решения

уравнений является взаимосвязь между компонентами и ре

зультатами действий. Например, решение уравнения (*-9):24 = 3

обосновывается следующим образом. Так как неизвестное на

ходится в делимом, то, чтобы найти делимое, надо делитель умно-

жнть на частное: *-9 = 24-3, или лг-9 = 72. Чтобы найти неиз

вестный множитель, надо произведение разделить на известный

множитель: * = 72:9, или * = 8. Следовательно, решением дан

ного уравнения является число 8.

Упражнения

1. Установите, какие из следующих пар уравнений равносиль

ны на множестве действительных чисел:

1) 3 + 7 *= _ 4 и 2(3 + 7 * )= - 8 ;

2) 3 + 7*= _ 4 и 6 + 7 * = — 1;

3) 3 + 7 * = — 4 и * + 2= 0.

2. Сформулируйте свойства отношения равносильности урав

нений. Какие из них используются в процессе решения уравнений?

3. Учащийся решил уравнение 5* +15 = 3* + 9 следующим

образом: 5*+ 15 = 3* + 9; 5 (* + 3) = 3 (* + 3); 5= 3 — и сказал,

что это уравнение корней не имеет, так как решение его при

водит к ложному числовому равенству. Прав ли учащийся?

. п

2

1 4

4. Решите уравнение - — Y = '"(2—xjx и Установите. какое

его преобразование приводит к появлению постороннего корня

* = 2.

5. Решите уравнения (все они определены на множестве дей

ствительных чисел) и объясните, какие теоретические положе

ния были при этом использованы:

. . 7jc+ 4

3jc—5

п\

Зд:—2 0 2х— 5

О — — * = — 2— ;

2) ^ - - т - = 3 — з ;

3) (2 — *)2— * (* + 1,5) = 4.

6. Решите уравнения, используя взаимосвязь между компо

нентами и результатами действий:

1) (* + 70) *4= 328;

2) 560:(* + 9) = 56;

3) (85 -* + 765): 170= 98;

4) (* - 1 3 581): 709= 36.

7. Решите уравнение ((* + 2)-81 — 3530)-21 =714, используя:

1) теоремы о равносильности уравнений и правила тождест

венных преобразований;

2) взаимосвязь между компонентами и результатами действий.

Сравните способы записи решения.

258

8. Решите уравнение различными способами:

1)

( * - 1 ) Ч З ( * - 1 ) = 0;

2) ( * + 1 )(* - 2 ) + (лг-2)(х + 4) =

= 6 (2*+ 5).

2

9. При каких значениях х выражения 2х + 3 (х + 2) и — (8л:— 3)

имеют равные значения?

10. Решите задачи алгебраическим и арифметическим спо

собами:

1) На первой полке на 16 книг больше, чем на второй. Если

с каждой полки снять по 3 книги, то на первой полке книг бу

дет в полтора раза больше, чем на второй. Сколько книг на каж

дой полке?

2) В двух пачках всего 30 тетрадей. Если бы из первой пач

ки переложили во вторую 2 тетради, то в первой пачке стало бы

вдвое больше тетрадей, чем во второй. Сколько тетрадей было

в каждой пачке?

3) Весь путь от турбазы до пионерлагеря, равный 16 км, ве

лосипедист проехал за 1 ч 10 мин. Первые 40 мин этого времени

он ехал с одной скоростью, а остальное время — со скоростью,

на 3 км/ч меньшей. Найдите скорость велосипедиста на первом

участке пути.

98. Неравенства с одной переменной.

Равносильность неравенств

Предложения вида 2х-\-1> 10— х, х2-\-7х<2, { х-f 2) (2х — 3 )> 0

называют неравенствами с одной переменной.

О п р е д е л е н и е . Пусть f (х ) и g (х ) — два выражения с

переменной х и областью определения X. Тогда неравенство ви

да f ( x ) > g ( x ) или f ( x ) < g ( x ) называется неравенством с од

ной переменной.

Значение переменной х из множества X , при котором нера

венство обращается в истинное числовое неравенство, называ

ется его решением. Найти множество решений данного нера

венства — значит решить это неравенство.

В школьном курсе математики рассматриваются различные

неравенства с одной переменной. Нас будут интересовать в основ

ном только неравенства первой степени. В основе решения таких

неравенств, так же как решения уравнений, лежит понятие рав

носильности и теоремы о равносильности неравенств.

О п р е д е л е н и е . Два неравенства называются равносиль

ными, если их множества решений равны.

Например, неравенства 2.\:+ 7>10 и 2лг>3 равносильны, так

как их множества решений равны и представляют собой про

межуток , оо ) .

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них по

своей сути похожи на соответствующие теоремы о равносиль

9*

259

ности уравнений, а доказательство их проводится аналогично

доказательству теоремы 1 о равносильности уравнений.

Т е о р е м а 3. Пусть неравенство f ( х ) > g (х ) задано на мно

жестве X и h ( х ) — выражение, определенное на том ж е мно

жестве. Тогда неравенства f ( x ) > g ( x ) if f ( х ) + Л ( x ) > f (х ) 4-

+ Л (х ) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто исполь

зуются при решении неравенств:

1) Если к обеим частям неравенства f ( x ) > g ( x ) прибавить

одно и то оке действительное число d, то получим неравенство

l(x)- \-d> g (je)-f-d, равносильное исходному.

2) Е сли какое-либо слагаемое (числовое вы ражение или вы

ражение с переменной) перенести из одной части неравенства в

другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то полу

чим неравенство, равносильное данному.

Т е о р е м а 4. Пусть неравенство f (х ) > g (х) задано на мно

жеств е X и Л (х ) — выражение, определенное на том же мно

жестве, и для всех х из множества X h

Тогда неравенства

f ( x ) > g ( x ) и f ( х ) h (х ) > g (х ) h (х ) равносильны на мно

жеств е X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части нера

венства f (x ) > g (x ) умножить на одно и то оке положительное

действительное число d, то получим неравенство f (x)-d>> g (x)-d,

равносильное исходному.

Т е о р е м а 5. Пусть неравенство f ( x ) > g (х) задано на мно

жестве X и h ( х ) — выражение, определенное на том ж е мно

жестве, и для всех х из множества X h ( х )< 0 . Тогда нера

венства f ( x ) > g ( x ) и f ( х ) -h (х ) < g ( х ) -h (х) равносильны на

множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие:

Если обе части неравенства f ( х ) > g (х) умножит ь на одно и то

ж е отрицательное действительное число d и знак неравенства

поменять на противоположный, то получим неравенство f (x )'d < .g {x)'d,

равносильное данному.

Решим неравенство 5х — 5<с2х — 16, *Ј/?, и выясним, какие

теоретические положения были при этом использованы.

1.

Ход

решения

Перенесем выражение

Используемые теоретические

положения

Воспользовались следстви

2х в левую часть, а число — 5

в правую:

5лг- 2 а-<16 + 5.

ем 2 из теоремы 3, получили

неравенство, равносильное ис

ходному.

2.

Приведем подобные чле

Выполнили тождественные

ны в левой и правой частях

неравенства:

260

преобразования выражений в

левой и правой частях нера-

3*-<21.

3. Разделим обе части не-

равенства на 3:

х < 7 .

венства, онн не нарушили рав

носильности неравенств.

Воспользовались следствн-

ем из теоремы 4, получили

неравенство, равносильное ис-

ходному.

Решением неравенства х < 7 является промежуток ( — оо, 7).

Таким образом, множеством решений неравенства 5дг— 5 < 2 а ;+ 16

является множество чисел ( — оо, 7) (рис. 135).

/ / / / / / / / / / / / / / j д

Рис. 135

Решим теперь неравенство — 12 — 7д:< З а ' 8, xЈR.

1.

Ход

решения

Перенесем

выражение

Используемые теоретические

положения

Воспользовались следстви

Зл: в левую часть, а — 12 в

правую:

— 7х— 3 * < 8 + 12.

2. Приведем подобные чле

ны в левой и правой частях:

— 10х < 20.

3. Разделим обе части не

равенства на — 10:

а > — 2.

ем 2 из теоремы 3, получили

неравенство, равносильное ис

ходному.

Выполнили тождественные

преобразования выражений в

левой и правой частях нера

венства, получили неравенст

во, равносильное исходному.

Воспользовались следстви

ем из теоремы 5, получили

неравенство, равносильное ис

ходному.

Решением неравенства х > — 2 является промежуток ( — 2, оо).

Таким образом, множеством

решений неравенства — 12— 7х<1

< За + 8 является множество чисел ( — 2, оо) (рис. 136).

у///////,

-2

Рис. 136

Упражнения

1.

Является ли число 3 решением неравенства

6 (2 а--f- 7 ) < 15 (х -J-2 ), определенного на множестве действительных

чисел? А число 4,25?

261

2. Равносильны ли на множестве действительных чисел сле

дующие пары неравенств:

1) — 17х<С— 51 п * > 3 ;

2) ' 4-5ff - L > 0 и Заг— 1> 0 ;

3) 6— 5.V > — 4 и л:< 2?

■'

3. Какие из следующих высказываний истинны:

1) — 7 х< — 28 =*►х> 4 ;

2) -тр< 10 => х< 30;

3) х < 0

X < 5 ;

4) >:< 6 => х< 20?

4. Что больше: За или 10а? 0,16 или 1006?

5. Решите неравенство 3 (х — 2) — 4 (x-f- 1)< 2 (х — 3) — 2 и объяс

ните, какие теоретические положения были при этом исполь

зованы.

6. Докажите, что решением неравенства 2 (x-j- l)-t-5>3 —

— (1— 2х) является любое действительное число.

7. Докажите, что не существует действительного числа, кото

рое являлось бы решением неравенства 3 (2 — х) — 2 > 5 — Зх.

8. Докажите, что при любом действительном а значение выра

жения За(а + 6) меньше, чем значение выражения (За + 6) (а + 4).

9. Длина прямоугольного участка в 5 раз больше его ширины,

а ширина больше 4 м. Докажите, что площадь участка больше

80 м2.

10. Одна сторона треугольника равна 18 см, а другая 23 см.

Установите:

1) какое наименьшее число сантиметров может иметь третья

сторона;

2) какое наибольшее число сантиметров может иметь третья

сторона.

11. Одна сторона треугольника равна 5 м, а другая 8 м. К а

кие натуральные значения может принимать длина третьей сто

роны, если периметр треугольника: 1) меньше 22 м; 2) боль

ше 17 м?