§ 13. Действительн ые числ а

89. Понятие положительно го иррационального числа

Как известно, де йствия над полож ительными рациональны ми

чис лами уд о бн о прои зво дить, если они представлены десятичными

дробям и. Поэт ому ц елесообраз но и результаты измерения величин,

в частности длин о трезков, представлят ь в виде де сятичн ой дроби.

Как это м о жно сде лать?

Пусть а — от резок, длину к о торого надо измерить, о трезок

е — единица длины. И пуст ь отрез ок а состо ит из п отр езко в, р ав

ных е, и отрезка ai, ко тор ый к ороче отрезка е (рис. 129), т. е.

п е < .а < .( п - { - 1) е. Числа п и « 4 - 1 есть приближенные значения

длины отрезка а при единице длины е с не

достатком и с избытком с т о чностью д о

единицы.

Ч тобы полу чить отве т с большей т о ч

н остью, возьмем отрезок е\ — деся тичн ую р

ч асть отр езка е и буд ем ук ладывать его в i--------- 1

о тре зке а\. При это м во зможны два случ ая:

Рис. 120

235

1) Отрезок e t уложился в отр езке а\ точно п\ раз. Тогд а дли

на о трезка а выр аж ается конечной десятично й д р обью : а —

= ( « 4 - у ^ е = п,п\е. Например , а — ЗА е.

2) Отрезок <ii о казывае тся со стоя щим из п\ о тре зков, равны х

е |, и о тре зка а 2, ко торый к ороче е\. Тогд а п ,п \ е < а < п ,п [ е, где

п,п | и п,п{ — приближе нные значения длины о тре зка а с недостат

ком и с избытком с т очностью д о 0,1.

Ясно, ч то в случае 2 процесс деся тичн ого измерения длины

отр езка а мож но пр одолжать, взяв новый единичный отр езок

На практике это т процесс десяти чного измерения длины о тре з

ка на каком-то эт апе за конч ится . И сл едовательн о, в это й сит уа

ции р езульт атом измерения длины о трезка бу дет либо нат уральное

число, либо конечная десятичная дробь.

Если ж е пре дст авит ь пр оцесс деся тичн ого измерения длины

отр езка в идеале (как и делают в м ате матике), то во зможны два

исход а:

1) На неко тор ом k-м шагу процесс измерения окончится. То г

да длина отрезка а вы разится конечной деся тичной д р о бью вида

П,П\П2...Пк.

2) Описанны й пр оцесс измерения длины о тре зка беско нечен.

Отч ет о нем бу дет пред ст авлятьс я симво ло м п,п\пг...пк..., который

называют бе сконечной десят нчнои дробью.

Как убедиться в возм ожности так о го исхода? Для эт о го д о ст а

точ но пр оизвести д есятич ное измерение длины т ако го о тре зка, для

к о торого известно, ч то е го длина выр ажена, например, рациональ-

2

ным числом 5 — . Если бы о к азало сь, ч то в р езульт ате д есятич

но го измерения длины такого о тре зка получае тся конечная деся-

2

тичиая д робь, то это о значало бы, что чис ло 5 —- мож но предста-

_ 2

вить в виде конечной д есятичн ой дроои, что н евозможно: 5 - ^ =

= 5,666....

Итак, в процессе десяти чного измерения длин о трез ков могут

получатьс я бе ск онеч ные д есятич ные дроби. Но вс егда ли эти дроби

периодические? Ответ на эт от во прос о трицателен: сущ ествуют

отре зк и, длины ко торы х нельзя вы разить бескон ечно й десятичной

пер иодической д р обью (т. е. по ло жительны м рациональным чис

ло м) при выбранно й единице длины.

Пока ж ем, что если за едини цу длины взять ст орону квадрата,

то длин а диа гонали этого квадрата не может быть вы раж ен а п о

ложит ельным рац ио нальны м числом .

Предполо жим прот ивное, т. е. что длина диа го нали а к вадра

та со сто роной е ( рис. 130) в ыраж ается не со крат имой д р обью

2

■^-:а = -^ -е . По теор еме Пифагора е2-\-е2= ( ^ ~ e^j , или 2е2=

236

e2t или

) = 2. Отс юда m 2= 2rf, т. e. m — четное число, н а

пример m = 2k. Тогда 4/r = 2n~, или 2k2= n 2. Значит, n — четное чис

ло, например n = 2p. Получаем , что п числитель, и знаменатель дроби

— числа четные. Но это пр отиворечит тому, что д р обь

сократима.

не

У ст ановленно е про тиво реч ие д оказывает сущ ествование отрез

ков, длины которых нельзя выразить положительным рациональным

числом, или, др угими словам и, выр азить в виде бесконечно й д е

сятичной периодической дроби.

Итак, при десятич ном измерении длин отрезков могут по лу

чаться беско нечные десятичн ые непер иодические дроби, они яв

ляются записью новых чисел — положительных иррационал ьных

чисел. Так как часто понятия числа и его зап иси о тождествляю т,

т о говорят, что беско нечные десятичн ые непериодические дроби —

это и есть ир рациональные числа.

Мы пришли к по нятию иррацио нально го чиста через процесс

десятичного измерения длин отрезков. Но иррациональные числа

можн о получить и при извлечении корней из некоторых рациональ

ных чисел. Так, -^2, V ?.

— это иррациональные числа. Ирр а

циональными я вляются так ж е lg 5, sin 31°, числа л = 3,14... и

<?= 2.7828... .

М ножеств о положительных иррациональны х чисел о бо зн ачают

символо м 1+ .

У пражне ния

1. Опишите процесс деся тичног о измерения длины отр езка ,

если о тчет о нем представляет ся д р обью : I) 3,46; 2) 3 ,( 7 ) ,

3) 3.1 2311223.. . .

2. Д о каж и те, ч то не сущ ествует положительного рационального

числа, к вадрат к о тор ого равен 3.

3. Являе тся ли т реугольник ABC, изображенный на рисунке 131,

р авно сторо нним?

237

4. Седьмая часть единицы длины укладывается в отрезке А В

13 раз. Конечной или бесконечной дробью выразится длина этого

отрезка? Периодической или непериодической?

5. Докажите, что сумма рационального числа q и иррациональ

ного числа а всегда будет число иррациональное.

У к а з а н и е . Доказательство ведите способом от противного.

6. Сравните значения выражений: 1) 6л/2 и 0,5д/Тб2; 2) у-”\/б

и (ГV f .

7. Упростите выражения: 1) 1Од/5— \/48—д/75; 2)

3) (3 —V2)2—л/32: 4) ( V 3 - 2)* + л/27.

90. Действи я над положительными действительными числами

Объединение множества положительных рациональных чисел Q+

и множества положительных иррациональных чисел / + называют

множеством положительных действительных чисел и обозначают

символом R +.

Таким образом . *+ = <?+ (_)/+ При помощи кругов Эйлера дан

ные множества изображены на рисунке 132.

Любое положительное действительное число может быть пред

ставлено бесконечной десятичной дробью — периодической (если

оно является рациональным) либо непериодической (если оно яв

ляется иррациональным).

Как известно, действия над положительными рациональными

числами сводятся, по существу, к действиям над натуральными

числами. А как выполнять действия над действительными чис

лами, представленными бесконечными десятичными дробями?

Нельзя ли действия над ними свести к действиям над рациональ

ными числами? Можно, но для этого надо ввести понятие при

ближенного значения действительного числа по недостатку и

по избытку.

Пусть а = п,п\п2...пь...— некоторое дей

ствительное число. Приближенным зна

чением числа а по недостатку с точностью до

I называется число а* = я,Л|Лг...л» (т. е.

приближенное значение числа а по недостат

ку с точностью до jyjj- получится, если

взять целую часть числа и первые k цифр

после запятой, а все остальные цифры

отбросить). Приближенным значением числа

238

Рис. 132

а — л,л|,л2...л*... по избытку с точностью до

yjjr называется число а* = л,л|па...л* + ^ (т. е. приближенное значе

ние числа а по избытку с точностью до ^ получится, если в записи

п,п\пг...пк последнюю цифру увеличить на 1).

Для любого действительного числа а справедливо неравенст

во а* < а< а *.

Например, десятичным приближением числа V 3 = 1,73205...

по недостатку с точностью до 0,001

а по избытку — число 1,733.

является число 1,732,

Видим, что десятичные приближения действительного числа

являются конечными десятичными дробями. На этом и основы

ваются, определяя действия над положительными действитель

ными числами.

П усть даны действительные числа а и Ь, а* и Ьк — их приб

лиженные значения по недостатку, а* и Ы, — приближенные зна

чения по избытку.

О п р е д е л е н и е . Суммой положительных действительных

чисел а и 6 называется такое число а + b, которое удовлетворя

ет следующему неравенству: а* + & *< а + Ь < а* + 6*.

Найдем, например, сумму V2 + V3 с точностью до 0,001.

Возьмем десятичные приближения данных чисел с точностью до

0,0001:

1,4142<л/2< 1,4143,

1,7320 < V 3 < 1,7321.

Тогда 3,1462<V2 + V3<3,1464, а л/2+ л/3 = 3,146... . С точ

ностью до 0,001 сумма V2 + V3 равна 3,146.

О п р е д е л е н и е . Произведением положительных действи

тельных чисел а и Ь называется число а Ь, которое удовлетво

ряет следующим условиям:

ak-bk^ab ca 'k-b'k.

Найдем, например, произведение л/2-л/'s с точностью до 0,1.

Возьмем десятичные приближения данных чисел с точностью до 0,01:

1,41 <->/§<1.42,

I,7 3<V3<1.74.

0,1 произведение л/2'л/3 равно 2,4.

Для любых положительных действительных чисел выполняются

следующие равенства:

1) а-\-Ь = Ь + а\

2) (а + 6) + с = а + (г>+ с);

3) а-Ь = Ь-а\

4) (а-Ь)*с = а*(6-с);

5) (a + b)-c = ac-\-bc.

239

Упражнения

1. Докажите, что числа 4,7 и 4,8 являются десятичными прибли^

жениями соответственно по недостатку и по избытку числа д/23

с точностью до 0,1.

-з

2. Проверьте, истинно ли неравенство: 1) 3,6^3-^-<13,7;

2) 7,26 <7-^<7,2 7.

3. Десятичное приближение ~\[2\, взятое из таблицы квадратных

корней с точностью до 0,001, равно 4,583. Проверьте, как произ

ведено округление: с недостатком или с избытком.

4. Архимед установил, что отношение длины окружности к ее диа

метру больше, чем з | у , и меньше, чем 3-|-. Найдите десятичные

приближения этих дробей с точностью до: а) 0,01; б) 0,001.

5. Известно, что числа а = 3,6272..., 6 = 5,2814.... Найдите три

первых десятичных знака суммы а -\-Ь.

6. Известно, что x = 0,35..., у = 0,82... . Найдите первый десятич

ный знак произведения *//.

7. Проверьте вычисления: 1) 20,8-f ]у = 2 1 ,4(36); 2) 220—“ =

= 219,(36).

91. Отр ицательные числа

Возьмем координатную прямую ОХ. Все точки, изображающие

положительные действительные числа, располагаются справа от

точки О. Например, точка А соответствует действительному чис

лу 4, точка В — числу 5,5, точка С — числу д/2 (рис. 133).

Отложим единичный отрезок от точки О 4 раза в направлении,

противоположном заданному. Получим точку А ', симметричную

точке А относительно начала отсчета. Координату точки А ' обозна

чим — 4, т. е. А ' ( — 4). Аналогично координатой точки В ', симмет

ричной точке В (рис. 133), считают число — 5,5, а координатой

точки С', симметричной точке С на том же рисунке, считают число

— д/2. Числа 4 и — 4, 5,5 и — 5,5, л/2 и — -^2 называют противополож

ными. Числа, расположенные на координатной прямой в заданном

направлении, называют положительными, а числа, расположенные

на координатной прямой в направлении, противоположном задан

ному,— отрицательными. Число 0 не считается ни положительным,

ни отрицательным.

Объединение множества отрицательных действительных чисел

В ' А '

С'

С

А

В

240

 I  I I Ч

I I » I ■ 4  I » ■

О

Рис. 133

с множеством положительных действительных чисел и нулем есть

множество действительных чисел. Его обозначают буквой R.

Множество R действительных чисел и множество точек коор

динатной прямой находятся во взаимно однозначном соответствии:

каждому действительному числу соответствует единственная точка

координатной прямой и каждая точка координатной прямой соот

ветствует единственному действительному числу.

Расстояние от начала отсчета до точки, координатой которой

является число х, называется модулем числа и обозначается |х|.

т

. . / х, если х ^О ,

Таким образом, |Х|= { _ х если х < 0

Например, | - 7 | = 7 , |5,5|=5,5, |0|= 0.

Действительные числа сравнивают, определяя отношения «мень

ше» и «больше» так: число а меньше числа Ь ( а < Ь ) , если оно рас

положено левее на координатной прямой; число а больше числа

b ( а > Ь ) , если оно расположено правее на координатной прямой.

Из этого определения вытекает, что любое положительное число

больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля. Кроме

того, исходя из определении «меньше» и «больше» можно получить

утверждение: а <.Ь тогда и только тогда, когда разность а — Ь есть

отрицательное число; а > Ь тогда и только тогда, когда разность

а — b есть положительное число.

Для любых заданных действительных чисел а и b истинно одно

и только одно из положений: a <.b, a > b , a = h.

Действия над действительными числами выполняются по сле

дующим правилам.

Суммой двух действительных чисел называется число, которое

удовлетворяет условиям:

1) сумма двух положительных чисел есть число положитель

ное и находится по правилам, определенным в множестве положи

тельных действительных чисел;

2) сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное;

чтобы найти модуль суммы, надо сложить модули слагаемых;

3) сумма двух чисел, имеющих разные знаки, есть число, ко

торое имеет тот же знак, что и слагаемое с большим модулем; что

бы найти модуль суммы, надо из большего модуля вычесть меиь-

шии.

Произведением двух действительных чисел называется число,

которое удовлетворяет условиям:

1) произведение двух положительных чисел есть число поло

жительное и находится по правилам, определенным в множестве

положительных действительных чисел;

2) произведение двух отрицательных чисел есть число поло

жительное; произведение двух чисел, имеющих разные знаки, есть

число отрицательное; чтобы найти модуль произведения, надо пе

ремножить модули этих чисел.

Вычитание и деление действительных чисел определяются как

действия, обратные соответственно сложению и умножению. Вы чи

241

тание в множестве действительных чисел выполняется всегда, так

же как и деление, за исключением случая деления на нуль.

Упражнени я

1. Изобразите на луче (рис. 134) числа а + 3 и а — 5.

а-1 а о+1

Рис. 134

2. Докажите или опровергните высказывания:

1) Всякое число, большее числа 35, положительно.

2) Всякое число, меньшее 19, положительно.

3) Существует положительное число, меньшее 19.

4) Всегда можно указать целое положительное число, меньшее

любого положительного числа.

5) Любое число, меньшее какого-либо отрицательного числа,

является числом отрицательным.

6) Всякое число, не большее нуля, есть число отрицательное.

3. При каких условиях предложение «Если модуль числа а боль

ше модуля числа Ь, то число а больше числа 6» является истин

ным высказыванием?

4. Где на координатной прямой лежит точка с координатой х,

если:

1) х = 2: 2) \х— 11= 2; 3) U | < 5 ; 4) U | > 2 ; 5) U - l | < 3 ?

5. Используя геометрическое понятие модуля, решите:

1) уравнение |х — 31= 2;

2) неравенство'U — 2I < 3 ;

3) неравенство \х— 1 |>3.