8 8. Б е с кон ечны е д е с ятичн ы е п е р и о д и ческ ие д р о б и

В озьмем д р обь Так как ее знаменателем является число 7, то

эту д р обь нельзя записать в виде десятичной. При этом имеется в

виду конечная десятичная дробь . Значит, процесс деления числа

6 на 7 долж ен бы ть беско нечным, в прот ивном сл учае число -у - м о ж

но было бы записать в виде конечной десятич ной дро би. Поэт ому

с

сч итают, что д р обь — р авна беско нечной д есятичной дро би. Кроме

того, при делении числа 6 на 7 о бнаруживае т ся , что в частном

g

группа цифр по вторяе тся: -—=0 ,8 571 428571428 57142.... Такая по

следо вательно повтор яющаяся группа цифр посл е запят ой в д е ся

тичной записи числа называе тся перио дом, а беско нечная д е ся

тичная дробь, имеющая период в свое й зап иси, назыв ается пери оди

ческой. Пе риод принято записывать один раз в кр углых скобках:

| - = 0,(857142).

Ра злич ают чисто период ические дроби — в них период начина

ется сра зу после запятой, и смеш анно периодиче ские д роби —

в них между запято й и периодо м есть д ругие десятичные знаки.

Нап ример, 0 ,(8 57 142) — чисто периодическая д робь, а 3,27(346 )

см ешанно периодическая д робь.

Но вс егда ли в случаях , когда знаме натель несо кратимой дро би

имеет в своем р азложе нии пр остой множит ель, отличный от 2 и 5,

дробь у - представляет ся перио дической деся тичной д робью? Ответ

на эт от во прос да ет следую щая т е о р е м а :

Если др о б ь несократима и в р азлож ении знаменат еля есть

простой множитель, отличный от 2 и 5, то др о б ь представляется

беск онечн ой десятичн ой пер иоди ч еской др о бью .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как в разлож ении знаменат еля есть

просто й множитель, от личный о т 2 и 5, то пр оцесс деления m на п

бес конеч ен. Кро ме того , при делении m на п получа ются о ста тки,

меньшие п, т. е. числа 1,2, ... , п — 1. По ск ольку мн ожество различ

ных о ст атк ов конечно, то, начиная с нек ото рого шага, како й-то

о ст аток повто рится, что повлечет за со бой повторение знаков ч аст

ного. Следовате льно , бесконечная д еся тичная дро бь, пр едставляю

щая число - ^ -, буд ет обязательно пе риодической.

Доказа нная теорема позволяет сде лать вывод: л ю б ое положи

тельное рациональное число предст авимо либо конечной десятичной

др о б ью, либо беско неч ной десят ичной пери одическо й др обью .

Э тот вывод может бы ть боле е коротким, если усло виться сч и

т ать коне чную десят ичную д р обь бескон ечно й с пе риодом, рав-

233

ным 0. Например, 7,82 = 7,82(0). Такое соглаше ние позволя ет гово

рить, что л ю б ое полож ит ельное рацион альное число предст авимо

беск онечной десят ичной п ер иодической др о бь ю . С праведливо и о б

ра тное утверждение : любая полож ительная беск онечн ая десятич

ная пер иоди ч еск ая др о б ь выралсает некот орое положительное р а

цион альное число.

Чтобы записать положительно е рациональное ч исло — в виде

бе сконечной д есятичной период ич еской д роби, нужно числитель

m делить на знаме натель п. Ра ссмотр им теперь обратную задачу:

как записать бе ск онечную десятичную перио дическую д р обь в виде

обык новенно й.

Пу ст ь дана бес коне чная деся тичная перио дическая д робь 0 ,(28),

т. е. 0,28282828... . Обо значим со о тв етствую щее ей р ацио нально е

число через а, т огда а = 0,282828... . Умно жив обе ч аст и эт ого ра

венства на 100, получим:

100а = 28,2828... или

100а = 28 + 0,2828... = 28 + а.

28

Ре шив уравнен ие 100а = 28 + п, получаем , что а — —- . Эта дробь

несокр атимая.

В о о бщ е чисто пери одичес кая бес конеч ная десят ич ная др о бь

равн а такой обыкновенно й дроби , числитель кот орой равен перио

ду , а знаменатель состоит из стольких девят ок, ск ол ьк о цифр в

п ер и оде дроби.

Пусть дана смешанно периодическая дробь 0,8(6 1), т. е. 0,86161... .

Обозначим со о тветствующ ее ей рациональное число через а, тогд а

а = 0 ,8 6161 .... У множив о бе части этого ра ве нства на 10, получим

10а = 8,6161 ...— чисто периодич ескую дробь. Да льне йшие преобра

зования провод ятся аналогично выполненным выше. По ложим

х = 8, 6161... . У множим обе части этого равенства на 100: I00_jc=

= 8 61 ,6 161..., или 100.г = 8 6 1 +0,6 1 61... . Приба вим к обеим час

тям по 8: 100 + 8 = 8 6 1 + 8 ,6 1 6 1 .... Но т ак как 8, 6161... = х, полу-

861 —8

чаем уравнение 100 + 8 = 8 6 1 + х , о ткуда х = — —— . По дставим

эт о значе ние х в р авенство 10а = 8,6161...:

8 6 1 - 8

10а = ——— , откуда а -

867 - 8 853

99 ’

990

990 *

В о о бщ е см еш анно пер иодич еская др о бь с нуле м в цело й час

ти р авна такой об ыкно венной др оби, числитель которой р авен

разности меж ду числом, за пис анны м цифрами, стоящими до нача

ла вт орого периода, и числом, записанным цифрами, стоящими

до начала первого периода, а знаменатель состоит из такого числа

девяток, ско лько циф р в пер иоде, и такого числа нулей, скол ько

цифр стоит д о нача ла пер во го периода.

234

Следует замет ить, что сф ормулированные прав ила обращения

бе ск онеч ной десятичной периодической д роби в обыкнове нную не

совсем корректны; при их вывод е де йст вия над бесконечными д р о

бями выполнялись по правилам, определенным для конечных д е

сятичных дробей.

Упражнения

1. Объя сните, почему дро би

конечной десятичной дроби.

и

1У оо

нельзя записа ть в виде

2. Пред ставьте число jy- в виде беско нечно й десятичной дро би

и объяснит е, поч ему эта д робь являет ся период ической.

3. Запишите в виде бескон ечных десятичных дро бей сле дующи е

обык новенные дроби:

l ) i _ ; 2) — ' 3 ) ^ 1 .

4 33 ’ 1 18  ' 28

4. Запишите в виде обыкновенной дро би:

1) 0,(43); 2) 0,(301); 3) 5,7(27); 4) 6,31(8); 5) 15,43(29).

5. Док аж ите, что 0,27(9) = 0,28(0).

6. Установите, какие из сле дующих равенств истинные:

1) § = 2 , ( 6 ) ; 2) “ =5,(0 9 ); 3) 20,8 + - ^ = 20,8(63).

7. Располо жите числа в порядке во зрастания:

1) 0,125; 2 ,( 7 ) ; 0,1 (2 5 ) ; 2,78; 2) 1, ( 5 ) ; 0. (12 ); 2,778; 2, (7 78).