87. Запись положите льных рациональных чисел

в виде десятичных дробей

Как мы увидели ранее, о дним из ис точников появления дро

бей является измерение величин, а точнее, пере ход от одной еди

ницы величины к другой, причем знаменатель д роби показывает,

на сколь ко до лей де лится исх одная единица величины.

В св язи с тем что в практической деятельн ости человек поль

зуе тся д есятичной си стемой счи сления, т о новые единицы величин

по луч ают из ис ходных, уме ньшая данные в 10, 100, 1000 и т. д. раз.

Наприме р, 1 дм = 10 см = 100 мм; 1 км = 1000 м = 10 000 дм; 1 кг =

= 1000 г и т. д. Поэтому для практики о со бую ва жность имеют те

дроб и, знаменатели кот орых я вля ются степенями 10. Всякую так ую

д р о бь мож но з аписа ть в виде десятичной дроби. Напр имер ,

Ж = 3'41' т г = ( Ш 4 -

В отличие от десят ич ных д р обен дроби вида — наз ыва ют ся

обы кнове нными.

В ыясним смысл записи числа в виде десятичной д роби . Возь-

, 4362

,

мем дробь ■ г - и выполним следу ющие пр еобразова ния:

4362 _ 4-103+ 3-105+ 6-10 + 2 _ „ 1Л , 0 , 6 , 2

“ io*- -

io3

— lu + J -r |0 + 1 о * --

6 9

Сумма 4 - 1 0 + 3 является записью целого чис^та 43, а сумма f^‘ + -j^r

\ / ППЛ^ШПЛ 1ЮЛ1

есть запись дробно й части числа -Ш г~- . Эту д робную часть при

10*

нято записывать бе з знаменат еля, отделяя от целой части числа

4'362

за пя той: - + ^ -= 4 3 , 6 2 .

Как вы знаете, сравн ение десятичных дробей и выполнение

де йствий над ними св одится, по сущес тву, к ср авнению и дейст

виям над натурал ьны ми числами. Например, 0,3472 <0,3 4 8 0 , так

как при р аве нстве числа деся тых и сот ых долей число тысяч ных

долей у перво го числа меньше, чем у втор ого ( 7 < 8 ) .

Простота сравнения и выполнения де йствий над десятичными

д робя ми приводит к вопросу: л юбую ли д р о бь вида у - (m, n Ј N )

мож но записать в виде десятичной дроби?

230

8

3

8

32

Возьмем , например , дроби — и — . Д р о бь

8 3

равна д роби

— , значит, 25- =0,3 2. Но для дроби — нельзя найти равную ей

д р обь со знаме нателем, пред ст авляющим степень 10. По чему? О т

вет на этот воп рос дает следующая т еор ем а (ее мы примем бе з

д о к азательства):

Дл я того чтобы несократ имая др о б ь — бы ла р авна десятичной

др оби, необходим о и достаточно, чтобы в разложение е<? знам ена

теля на простые множители входили л ишь числа 2 или 5.

19

Так, д робь — можно записать в виде де сятичной, по ск ольку

она не со крат им ая и в разложен ии знам енателя на простые мно

жители со д ержатся тол ько числа 2 и 5: 80 = 21-5.

Д р о бь

IО

нельзя записать в виде десятич ной д роби , в разло-

женин се знаме нателя на просты е множител и со дер жит ся число

3: 15 = 3 -5 .

Среди д есятичных д робей вы деля ют и часто испо льзую т д р о бь

0,01. Ее называ ют процентом и о бо зн ачают 1% . На практике в пр о

центах выражаю т части величины. Так, го ворят, что цепы на т о

вары сниже ны на 2 0% , сахарный тро стник со держит 15 % са ха

ра. Зная это, мож но найти, например, ск олько сахара со д ержит

ся в 10 т тростника. Для этого н ужно д р о бь 0,15 умнож ить

на 10: 0 ,15 -1 0 т = 1,5 т. Следо вательно , 1 5% от 10 т со ст авля

ет 1,5 т.

Упра жнения

1. Учащем уся бы ло пр едло жено установи ть, мож но ли дробь

195

2^- записать в виде десятичной. Разл ожив знаме нат ель этой

д роби на пр остые множ ители, он получил, что 260 = 22-5-13, и

195

сде лал вывод, чт о д р обь ^ нельзя записать в виде десятич

ной д роби. Учитель оценил о твет уча щегося как неправильный.

Поче му?

21 192 15 13

2. Каки е из дробен — , — м ожно записа ть в виде

десятичной д роби?

3. Даны записи чисел: 0,40; щ - ; 0,4; - | -; 5;

0,6; .

Ско лько различных чисел написано? Ско лько сред и этих чисел

д робн ых?

4 . Найдите и обосн уйте наиболее рациональный спосо б нахож

дения значения выр ажения:

231

1) 8,3 + 3,85 + 9,7 + 5,15 + 2,25 + 0.125;

2) 8 ,7 -7 + 7-7,3.

5. Вычислите наиболее рациональны м сп особом:

.4

6.75J+ 0.125-67,5

.

-2

' 5.9* - (1,03 + 1,8972 6:0,618)г ’

______________ 3,05а— 2.55г_______________.

' 0.35 388 - 28,8 (20,56 - 14,501:0.85) ’

о\ (8 1,624:4 .8 - 4.505)* + 125 0.75

' ((0.445:0,88 + 3,53)а- 2,752) :0,52 ‘

6. Найд ит е значение выра жения :

1) (60,3 - 53, 235:3,9) 1,4 + 10,2  12;

2) 15,85 - 3,4 (50 - (1,530 + 0.4)) + 3,57 :1 ,7 .

7. Реш ите урав нение, использ уя зависимость меж д у компонен

тами и резуль татами дейст вий:

1) {х  100 - 0,7357): 0,01 - 15,88 = 0,55;

2) 14; ((0,4* + 0,16): д:) + 5 = 12.

8. Как ой смысл имеют пре дложе ния:

1) Членские взнос ы члена п рофсоюза со ста вляют 1% его з а

р або тной платы.

2) Производительность т руда возросла на 7 % .

3) Цена на рад иоаппар атуру снизилас ь rta 18%.

9. Реши те сл едующи е зад ачи:

1) В цистерне бы ло 936 л бензина . Когда перекачали 1 2,5%

эт ого бензи на в пустую бо чку, т о она о казалась наполненной на

3 2,5% свое го объема. Найдите о бъе м бочки.

2) На окраску 7 2 % пло щади пола пошло 4,5 кг краски. Сколь

ко по йдет краски на оставшуюся площ адь пола?

3) З авод выполнил план 1 к ва ртала, выплавив 225 т металла,

во II кварта ле план был перевыполнен на 3,2%, а в III — заво д

дал металла на 6,3 т больше, чем во II. На ск олько пр оценто в з а

во д перевыполнил план в III квартале , если план на к аждый к вар

тал оставался одним и тем ж е?

4) Длину прямоугольной пластины уменьшили на 2 0 % , а ши

рину увеличили на 2 0 %. Изменила сь ли пло щадь пластины? Если

изменилась, то как?

10. Выполните действия:

1) 17-1— 8 .2 5 . -| i.(ll i - : 2 | - + 3 , 5 ) ;

2) ((1,7 2: 0,8 + 0,7) -0,8) : ( ( 7 — 3.5 1 : 3 ^ -) — 0,152;

232

3) ( ₆

- 3,₅₈.

5 ^-)-₇- 12,₅₀₅:_4,1 + 1,25 ₀,32 (₃₆,₀₉₆:₁,2 - 29,₈8)-