
- •§ 1. Математические поняти я
- •1. Введение
- •2. О бъем и содерж ание понятия
- •3. Опред еление понятий
- •4. Требования к определ ению понятий
- •§ 2. Математичес ки е предложени я
- •5. Элем ентарные и составные предлож ения
- •6. Высказывания. Смы сл слов «и», «или», «не»
- •7. Высказывательны е форм ы
- •8. Смысл слов «все» и «некоторые»
- •9. Правила построения отрицаний высказываний,
- •2) Квантор общ ности (сущ ествования) заменяется квантором
- •10. Отнош ения следования и равносильности меж ду
- •11. Необходим ые и достаточные условия
- •12. Струк тура теоремы . Виды теорем
- •§ 3. Математичес ки е д о казательс тва
- •14. Простей шие схемы дедуктивных рассуждений
- •15. Неполная индукция
- •16. С пособы доказательства истинности высказываний
- •§ 4. Те ксто вые за д ачи и их реш ени е
- •18. Способы решения текстовых задач
- •19. Этапы решения задач арифметическими способами.
- •20. Приемы поиска плана решения задачи и его выполнение
- •21. Приемы проверки реш ения задачи
- •22. Решение задач алгебраическими способами
- •§ 5. Множества и операции над ни ми
- •23. Понятия множества и элемента множества
- •24. Способы задания множеств
- •25. Отношения меж ду множествами
- •26. Множества и понятия
- •27. Пересечен ие множеств
- •28. Объединение множеств
- •29. Законы пересечения и объединения множеств
- •30. Дополнение подмножества
- •31. Понятие разбиения множества на классы
- •32. Некоторые задачи, связанные с операциями
- •33. Декарто во умно жение множеств
- •34. Изображе ни е декартова произведения двух числовых
- •35. Некоторые задачи, связанные с декартовым умножением
- •§ 6. Отн ош ен ия и соотве тствия
- •36. Понятие отношения
- •37. Способы задания отношений
- •38. Свойства отношений
- •39. Отношение эквивалентности
- •40. Отношение порядка
- •41. Понятие соответствия
- •42. Соответствие, обратное данному
- •43. Взаимно однозначные соответствия
- •44. Равномощные множества
- •§ 7. Понятие числа
- •45. Об истории возникновения понятий
- •46. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет
- •47. Теоретико-множественный смысл количественного
- •§ 8. Понятие действий над целыми
- •48. Сложение
- •49. Законы сложения
- •50. Отношения «равно» и «меньше»
- •51. Вычитание
- •52. Отношения «больше нал и «меньш е на»
- •53. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа
- •54. Умно жение
- •55. Законы умноже ния
- •56. Деление
- •57. Отнош ения «больше в» и «меньше в»
- •58. Правила деления суммы на число и числа
- •59. Дел ение с остатком
- •60. Свойства множества целых неотрицательных чисел
- •§ 9. Смы сл натурального числа и действий
- •61. Сравнение отрезков. Действия над отрезкам и
- •63. Смысл сложения и вычитания чисел,
- •64. Смысл ум ножения н деления чисел,
- •§ 10. Запись целых неотрицательных чисел
- •66. О возникновении и развитии способов записи
- •67. О записи чисел в Древней Руси
- •68. Сло жение многозначных чисел
- •69. Вычитание многозначных чисел
- •70. У множени е многозначных чисел
- •72. Запись чисел в позиционных системах счисления,
- •73. Действия над числами в позиционн ых системах счисления,
- •§ 11. Д ел им ость ц елы х нео трицательных чисел
- •74. Понятие отно шени я делим ости
- •75. Свойства отно шения делим ости
- •76. Делимость сумм ы, разно сти и про изведения
- •77. Признаки делимости чисел
- •78. Наибольш ий об щий делитель
- •79. Признаки делимости на составные числа
- •80. Н ахож дение наиб ольш его общего делителя
- •81. Алгоритм Евклида
- •Глава I II
- •§ 12. Полож ительны е рац иональные чи сл а
- •82. Понятие дро би
- •83. Понятие по ложительного раци онал ьно го числа
- •85. Умно жение и деление
- •86. Упорядоченность м ножества положитель ных
- •87. Запись положите льных рациональных чисел
- •8 8. Б е с кон ечны е д е с ятичн ы е п е р и о д и ческ ие д р о б и
- •§ 13. Действительн ые числ а
- •89. Понятие положительно го иррационального числа
- •Глава IV
- •§ 14. Ч исловые р авен ства и нера венства
- •§ 15. Ура вне ния и неравенств а
- •§ 16. Функции
- •Глава V
- •§ 17. П о н я ти е величи ны и ее и з м ер ен и я
- •§ 18. Длина, п л о щ а д ь, м асса, вр емя
- •Глава I. Общие понятия математики
- •§ I. Математические п о н я ти я ......................................................................—
- •§ 2. Математические предло жения................................................................
- •§ 3. Математические доказательства.......................................................... 32
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение................................................................ 43
- •§ 5. Множества и операции над н и м и .......................................................... 61
- •§ 6 Отношения и соот ветствии...............................................
- •Глава II. Целые неотрицательные ч и с л а .......................................................... 123
- •§ 7 Понятие ч и с л а ........................................................................................—
- •§ 8. Понятие действий над целыми неотрицательными числами . . . .
- •§ 9. Смысл натурального числа и действий над числами — результатами из
- •§ 10. Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действии над
- •Глава III . Расширение понятия ч и с л а ...................................
- •§ 12. Положительные рациональные числа . . .
- •Глава V. Величины и их изм ерения...................................................................... 277
- •§ 17. Понятие величины и ее и змер ения..........................................................278
- •§ 18. Длина, площадь, масса, в р е м я .......................................................... ....287
86. Упорядоченность м ножества положитель ных
рациональных чисел
Если рациональные числа представлены равными д робями,
т о они равны. Нап ример, если рациона льно е чис ло а пред ставлено
3
3
дробью — (а=-^-). а р ациональное число b представлено д р о бью
6 / , 6 \
,
3 6
— 1 Ь = — ) ' т0 а = Ь, поскол ьк у — = — .
Но как узнать, како е из рациональных чисел а и b меньше
( бо льш е ) ?
О п р е д е л е н и е . Пуст ь а н Ь — по ложител ьные рациональ
ные числа. Тогда а ме ньше b ( а < Ь ) , если сущ е ствует такое поло
жите льно е р ациональное ч исло с, что а -\-с = Ь.
В этом же случае говорят , ч то Ь бол ьше а ( Ь > а ) .
Данное о пре деление по зво ляет сф ормулировать необход имое и
д о ст аточное ус ловия сущ ествования р азности в множест ве поло
ж ительных рациональных чисел.
Д ля того чтобы разность полож ительных р ациональных ч исел
а и Ь сущест вовала, необходим о и достаточно, чтобы Ь < а .
Д оказател ьст во эт о го условия аналогично доказательству т е о
ремы о сущес твова нии разно сти в множестве натуральны х чи
сел.
Из вве денного опре деления отнош ения « меньш е» мож но вы
вести практические приемы установления этого от ношения.
1. Если а = — , ! > = — , т о а < Ь тогда и тольк о тогда , к огда
П П
т < р
3
9
Например, если а = — , Ь= — , т о а < Ь , т ак как 3 < 9 .
227
2. Если а = — , Ь = — , то а < .Ь тогда и только тогд а, когда
mq < пр.
п
q
Дей ст вительно , приведем д роби ■— и -^-зк общему знаме нателю:
т mq р рп п
, „
“ резуль тате сра внение данных д робен све
лось к сра вн ению их числителей: если m q > p n , то а > Ь \ если
mq < рп, то а < & .
Нап ример, если а = ~ , 6 = -j-^-, то Ь < а , по ск ольку 7 - 1 3 = 91,
8 - 1 1 = 8 8 и 8-11 < 7 - 1 3 .
М о ж но пок азать, что так опреде ле нно е о тношение « меньше»
т ранзитивно и а нт исим метрич но, т. е. является отнош ением п оряд
ка на мн ожестве по ложите льны х рациональных чисел, а са мо
это м ножество является упор ядо ченным м нож еством.
З аметим, что отно шение пор ядк а в мн ожестве положительны х
рациональны х чисел о бладает св ойства ми, котор ые отлича ют
его от отношения порядка в множестве натуральны х чисел.
Как извес тно, в м нож естве N есть наименьшее ч исло — единица
и м нож е ство N дискретно — м ежд у натуральны ми числами нет
д ругих натураль ных чисел. В множ естве пол ожительных р а цио
нальн ы х чисел:
1 ) нет на именьшего числа ;
2 ) меж ду лю быми дву мя различными положительными ра
циональны ми числами заключен о беск он еч но м ного ч исел мно
жества Q + .
Д о каж ем, ч то в множестве Q + нет наименьшего числа. Пред-
m
положим , что число — наименьшее в мн ожестве полож ительных
п
р ациональных чисел. Обр азуем ч исло — - . Л егко убедиться в
том, что
П-f- 1 Л
( т л < т л + ш), т. е. нашлось такое положи-
т ельно е рац ио нальное чис ло, которое мень ше — . Следовательно,
наше предположение неверное. В м нож е ст ве по ло жительных ра
ционал ьных чисел наименьшего числа нет.
Втор о е сво йство про иллюстрируе м на примере. В озьмем два
рациональных числа у - и
1
С уществует ли такое рациональное
2
число, которое больш е -т- и меньш е - « - ? Существует. Для эт ого
/ I
достаточно найти ср еднее ар ифме тическ ое данных чисел ( ——(-
2 \
|
1 1 2
+ — ) :2 = — . Таким о бр азом,
228
. Е сть ли еще число,
I
2
которое наход илось бы межд у у и — ? Есть. Чт обы его найти,
д оста точ но найти среднее арифметическое чисел у - и
4 - у ) : 2 = А - . Таким о бр а зом
Ясно, что о писан
ный пр оцесс можн о пр одолжать: меж ду лю бы ми двумя различ
ными числами из Q + зак лючено беск оне чн о много чисел того
же множества. Это свой ст во множества Q + называю т сво йством
плотности.
Упражнения
1. 'Уста новите различными сп особа ми, како е из чисел бо льше:
. . 1 9
28 . п\ 39
26 .
37 „ 3737
1) 3<) ИЛИ 5) , 2) 8513 ИЛИ S ( j 7 5 , 3) g 0 ИЛИ g g g g .
2. Что больш е и на сколько: сум ма чисел 2 0 4 2
5 ъ
или р азность чисел 125 и 51 -^-?
и 2 20.
3. Сравните, не выполняя умножения, значения выражений:
1) 3 ! 5 - ~ и 317*4-: 2 ) — 124 -й
12-i-
'
7
4
3
7
4
7
4. Не выполняя вычислений, сравните выражения :
‘ > 34т ( 8 т + 2 т ) к 34 т ( 8 т + 2 г ) ;
2) 8 2 l i ( l 3 § + l 7 f ) и ( l 3 | + 1 7 f ) 8 2 i f .
5. Не выполняя вычислений, распол ожите в пор ядке возра
I .3 о I О
t> о ^
стания значении выраж ения: 7 — ■— ; 8 - — — ; у 7 — ; —
я 1 5
2 6 '
6. Назовите три р ациональных числа, заключ енных м ежду
3
4
числами — и — .
7. Докажите, что если а, Ь, с, d — натуральные чис ла и
а . с
а _ а + с - с
Ь d ' Т° Ь b + d ^ d '
8. Решите нижеприведе нные задач и различными спо собам и:
1) В го роде три средние школы. Число учащ ихся первой
составляет
всех уча щихся этих трех школ, jso второй школе
уч ащихся в 1 -у- раза больше, чем в пер вой, а в тре тьей школе на
420 учащ ихся меньше, чем во втор ой. Ско лько всего уча щихся
в тре х школах?
2) Из двух пунктов , р ассто яние м ежду ко торыми 25 км,
вышли о дновр еменно навстречу друг другу два пешеход а. Один
229
з
из них проходил в час на — км больш е д ругого. С какой ск о
р о ст ью шел ка ждый, если через 2 ч посл е вы хода р асстоян ие
м ежду ними стало 7 -5- км?
-