Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Основы математики.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
12.47 Mб
Скачать

86. Упорядоченность м ножества положитель ных

рациональных чисел

Если рациональные числа представлены равными д робями,

т о они равны. Нап ример, если рациона льно е чис ло а пред ставлено

3

3

дробью — (а=-^-). а р ациональное число b представлено д р о бью

6 / , 6 \

,

3 6

1 Ь = ) ' т0 а = Ь, поскол ьк у = .

Но как узнать, како е из рациональных чисел а и b меньше

( бо льш е ) ?

О п р е д е л е н и е . Пуст ь а н Ь — по ложител ьные рациональ

ные числа. Тогда а ме ньше b ( а < Ь ) , если сущ е ствует такое поло

жите льно е р ациональное ч исло с, что а -\-с = Ь.

В этом же случае говорят , ч то Ь бол ьше а ( Ь > а ) .

Данное о пре деление по зво ляет сф ормулировать необход имое и

д о ст аточное ус ловия сущ ествования р азности в множест ве поло

ж ительных рациональных чисел.

Д ля того чтобы разность полож ительных р ациональных ч исел

а и Ь сущест вовала, необходим о и достаточно, чтобы Ь < а .

Д оказател ьст во эт о го условия аналогично доказательству т е о

ремы о сущес твова нии разно сти в множестве натуральны х чи

сел.

Из вве денного опре деления отнош ения « меньш е» мож но вы

вести практические приемы установления этого от ношения.

1. Если а = , ! > = — , т о а < Ь тогда и тольк о тогда , к огда

П П

т < р

3

9

Например, если а = — , Ь= — , т о а < Ь , т ак как 3 < 9 .

227

2. Если а = — , Ь = , то а < тогда и только тогд а, когда

mq < пр.

п

q

Дей ст вительно , приведем д роби ■— и -^-зк общему знаме нателю:

т mq р рп п

,

“ резуль тате сра внение данных д робен све

лось к сра вн ению их числителей: если m q > p n , то а > Ь \ если

mq < рп, то а < & .

Нап ример, если а = ~ , 6 = -j-^-, то Ь < а , по ск ольку 7 - 1 3 = 91,

8 - 1 1 = 8 8 и 8-11 < 7 - 1 3 .

М о ж но пок азать, что так опреде ле нно е о тношение « меньше»

т ранзитивно и а нт исим метрич но, т. е. является отнош ением п оряд

ка на мн ожестве по ложите льны х рациональных чисел, а са мо

это м ножество является упор ядо ченным м нож еством.

З аметим, что отно шение пор ядк а в мн ожестве положительны х

рациональны х чисел о бладает св ойства ми, котор ые отлича ют

его от отношения порядка в множестве натуральны х чисел.

Как извес тно, в м нож естве N есть наименьшее ч исло — единица

и м нож е ство N дискретно — м ежд у натуральны ми числами нет

д ругих натураль ных чисел. В множ естве пол ожительных р а цио

нальн ы х чисел:

1 ) нет на именьшего числа ;

2 ) меж ду лю быми дву мя различными положительными ра

циональны ми числами заключен о беск он еч но м ного ч исел мно

жества Q + .

Д о каж ем, ч то в множестве Q + нет наименьшего числа. Пред-

m

положим , что число — наименьшее в мн ожестве полож ительных

п

р ациональных чисел. Обр азуем ч исло — - . Л егко убедиться в

том, что

П-f- 1 Л

( т л < т л + ш), т. е. нашлось такое положи-

т ельно е рац ио нальное чис ло, которое мень ше — . Следовательно,

наше предположение неверное. В м нож е ст ве по ло жительных ра

ционал ьных чисел наименьшего числа нет.

Втор о е сво йство про иллюстрируе м на примере. В озьмем два

рациональных числа у - и

1

С уществует ли такое рациональное

2

число, которое больш е -т- и меньш е - « - ? Существует. Для эт ого

/ I

достаточно найти ср еднее ар ифме тическ ое данных чисел ( ——(-

2 \

|

1 1 2

+ ) :2 = — . Таким о бр азом,

228

. Е сть ли еще число,

I

2

которое наход илось бы межд у у и — ? Есть. Чт обы его найти,

д оста точ но найти среднее арифметическое чисел у - и

4 - у ) : 2 = А - . Таким о бр а зом

Ясно, что о писан

ный пр оцесс можн о пр одолжать: меж ду лю бы ми двумя различ

ными числами из Q + зак лючено беск оне чн о много чисел того

же множества. Это свой ст во множества Q + называю т сво йством

плотности.

Упражнения

1. 'Уста новите различными сп особа ми, како е из чисел бо льше:

. . 1 9

28 . п\ 39

26 .

37 „ 3737

1) 3<) ИЛИ 5) , 2) 8513 ИЛИ S ( j 7 5 , 3) g 0 ИЛИ g g g g .

2. Что больш е и на сколько: сум ма чисел 2 0 4 2

5 ъ

или р азность чисел 125 и 51 -^-?

и 2 20.

3. Сравните, не выполняя умножения, значения выражений:

1) 3 ! 5 - ~ и 317*4-: 2 ) — 124 -й

12-i-

'

7

4

3

7

4

7

4. Не выполняя вычислений, сравните выражения :

‘ > 34т ( 8 т + 2 т ) к 34 т ( 8 т + 2 г ) ;

2) 8 2 l i ( l 3 § + l 7 f ) и ( l 3 | + 1 7 f ) 8 2 i f .

5. Не выполняя вычислений, распол ожите в пор ядке возра

I .3 о I О

t> о ^

стания значении выраж ения: 7 — ; 8 - — — ; у 7 — ;

я 1 5

2 6 '

6. Назовите три р ациональных числа, заключ енных м ежду

3

4

числами — и — .

7. Докажите, что если а, Ь, с, d — натуральные чис ла и

а . с

а _ а + с - с

Ь d ' Т° Ь b + d ^ d '

8. Решите нижеприведе нные задач и различными спо собам и:

1) В го роде три средние школы. Число учащ ихся первой

составляет

всех уча щихся этих трех школ, jso второй школе

уч ащихся в 1 -у- раза больше, чем в пер вой, а в тре тьей школе на

420 учащ ихся меньше, чем во втор ой. Ско лько всего уча щихся

в тре х школах?

2) Из двух пунктов , р ассто яние м ежду ко торыми 25 км,

вышли о дновр еменно навстречу друг другу два пешеход а. Один

229

з

из них проходил в час на — км больш е д ругого. С какой ск о

р о ст ью шел ка ждый, если через 2 ч посл е вы хода р асстоян ие

м ежду ними стало 7 -5- км?

-