85. Умно жение и деление

На рисунке 128 приведены так ие от резки а, е и е\, что а = - ^ - е ;

e = -|-ei. Над о узна ть, каким бу дет значение длины да нного о т

резка а при единице длины в\. Так как З а = \ \ е , а 5е = 6е\, то,

ум нож ив пер вое р авенство на 5, а втор ое на 11, получим 5 *3а =

= 1 1-5 е и 11 - 5е = 6 - 1l ei, о ткуда 5- З а = 6 - 1 1 ei нли 15а = 66в|.

66

По сле днее р авенств о о значает, чт о о = у5 е\, т. е. длина от рез-

66

ка а при единице длины е\ выр ажает ся числом — , которое

IЭ

ц елесоо бра зно р ассматрив ать как произве дение и

224

*5 5

О п р е д е л е н и е . Если положительны е рациональны е числа

„

представлен ы д робями ~ и , то их пр оизведе ние е сть число,

представляемое д р о бью —— :

nq

т Р_ __ т р

п Ч nq

(3)

Умножение по ложите льных рациональны х чисел подчиняется

пе реместительному, соч ета тел ьн ому и распред елитель ному о тно

сительно сло жения за кона м. Д о к азы ва ются они аналогично тому,

как были доказаны зако ны сложения.

О п р е д е л е н и е . Частным д вух по ло жительн ых рац ио

нальных чисел а и b называется такое число с, что а = Ьс.

Мы определили частное чисел а и Ь, но как найти его, если

известно, что а = — , Ь— - —? Пок аже м, что ч исло с = ^ ~ и есть

п q пр

эт о частное. По опре деле нию ча стного

я пр

Приме -

‘

нив правило ( 3) умножения по ложител ьных рациональны х чи

сел и зако ны умно жения, выполним п рео бразования:

Г> mg __р ( т д ) ___[рд) т

Я nV Я («Я) ~ <РЧ)"

С окра тим получ енную дроб ь на натуральное ч исло pq\

Ipq) т _ /л

{рд)п ~ п

Таким о бр а зом , частное д вух по ло жите льных рациональ ных

чисел находят по фо рмуле

п q пр

.

/4)

' f

Полученная формула показывает , что для люб ых п оло ж и

тельных рациональных чисел частное существуе т, т. е. в мно

жестве Q + стало всегда выполнимым деление, к ото рое не всегда

мож но бы ло выполнить в мн оже стве натураль ных чисел.

8 Закал 147

225

Заме тим, что знак черты в записи дроби

мож но рассм ат

р ивать как знак действия де ления. Дейст вительно , возьмем два

н атуральных числа т и п и найдем их частн ое по правилу ( 4 ) :

. _ т . п _ т 1 __т

I ‘ I л - 1 п '

гл .,

g. т

т

т ■I т я

Обратн о : если дана д р о бь — , то — = ------ 7= — : — = т .п.

г г я я я 1 1 1

Так как = т : п , то любое по ложит ельное рациональное

ч исло мож но расс ма трива ть как частное двух натуральн ых чисел.

Кстати, термин « раци ональн ое число» произо шел от латинского

сло ва ra tio, ч то в пере воде на русский язык о значает « отноше

ние» (частное).

Упражнения

1. Запишите, исп ользуя си мволы, закон ы ум ножения поло жи

тельных рациональных чисел и д окажите их.

3 j 5

2. Вычи слите , применяя зак оны умножения: 1) — -З-^—

О Ј о

о\ 4 с 1  7 . „ . 5 1 7 . 3 6 . .. / . 2 , , 3 \ 5

) 7 3 ’ 2 ‘ 8 ’ ^ 8 ' 18 5 ’ 7 ’ Н 3

3. Выполните указанные действия : 1 ) 8 ^ - :1 2 - ^ - ; 2) ^ 4 у - Х

X 5 f ) : 6 f ; 3 ) 4 i - : ( l l f . 5 f ) .

4. Ре шите уравнен ие, использу я зависимость между к омпо

нентами и р езультат ом действия : 1) 5-^- ^-х — 20^ = 8 ; 2 )^ 4 - ^ —

- 2* ) '3 т = т Ь 3) ( 10T + * ) ; 14- = 9 f - 4) f < 3 f - 5' ) -

— 6 

5. Ре шите арифметиче ским способом:

1) Дево чка проч ита ла книгу в 324 ст раницы за четыре дня.

2

В первый день она прочитала — всей книги, во второй и третий

дни — по -5- т ого, что о сталось после перво го дня. Сколько стра

ниц про читала д евоч ка в четверт ый день?

2) В квартире две ко мнаты. Длина одной равна 5 м, длина

2

втор ой сост авляет — это й длины. Ширина к аждой комна ты 3 — м.

7

Пл ощадь этих к омнат со став ляе т — пло щади всей квар тиры.

Чему р авна площад ь к вартир ы?

226

3)

Гр уппа т ур истов наметила пройти путь от турбазы д о о зера

за четыре дня. В первый день они наметили пройти все го пути,

. 3

„

во втор он — о ста вшегося, а в третий и четвертый проход ить по

12 км. Как ова длина всего пути от турбазы д о о зера?

6. Нижепр иве денные зада чи ре шите различны ми сп особами:

1) Путь от го рода А д о гор ода В состо ит из д вух равны х по

д лине участков. На первом уч астке а втобус шел со ск орост ью

55 к м/ч, а на вт оро м — со скоростью 65 к м /ч , затра тив *иа ве сь

путь 6 ч. С кольк о времени затратил а вт обус на пр охож дение

каж дого уч аст ка пути?

2) В есь путь между город ами А к В гр узовая машина про

ход ит за 4 ч 15 мин при средней ск орости 48 к м/ч. За ско лько

времени про йде т это т же путь легко вая машина, если ее ср едняя

ск орость 84 к м /ч ?