Глава I II

РА С ШИРЕН ИЕ П ОНЯТИЯ Ч И С Л А

Из курса математики восьмилетней школы известно, что, кр оме

чисел натуральных и нуля, сущ ествуют другие числа: д робны е,

целые, рациональные, иррациональные, дейст вительн ые . В за имо

свя зь между р азличными мн ожествами чисел можно представить

нагля дно при п омощи к руго в Эйлера (рис. 121).

Исх одным множеством в пр оцессе р асширени я понятия числа

я вляется множест во N натуральных чисел. Возникнув в гл убо

кой древности, понятие натурального ч исла на прот яжении м но

гих веков подвергалось расшир ению и обоб щению. Пот ребность

бо лее т очн о изме рят ь величины привела к понятию дробных по

ложительных чисел. С практикой ре шения уравнений и тео ретиче

скими исследованиями свя зано возникновение понятия о трица тель

ного числа. Нуль, к оторый вначале о боз начал о тсутствие чис ла,

по сле введения о трицатель ных чисел стал полноправным чис лом в

м ножестве Z целых чисел, а та кже в мн ожест ве Q рациональн ых

чисел.

В V веке д о и. э. в шко ле Пифаго ра был о устано вле но, ч то поло

жительных р ациональных чисел недос таточно для то чн ого измерения

длин о тре зков. Позднее в связи с решением эт ой проблемы по яви

лис ь числа иррациональные, а в X VI веке с введением десятичных

д робей был сделан ш аг к числам

д ействительн ым. С т рогое о пр еде

ление д ействите льног о чис ла, о бо

сн ование сво йств мн ожества д ей

ствите льны х чисел были даны

в XIX веке.

Понятие д ействит ельного чис

ла не по следнее в ряду чисел.

П роцесс расширения понятия чис

ла мож но продолж ить, и он п ро

должает ся — этого требуе т разв и

тие физики, других наук и са мой

мате матики.

Первое зн акомст во уч ащихся

с д робными числами происходит

в начальных классах. Затем по ня

тие д роби уто чняется и расши ряет

ся в средних к лассах школы.

Рис. 121

215

В свя зи с этим учителю начальных классов нео бходимо знать

опре деление д роби и р ационального числа, правила выполнения

действи й над рациональны ми чис лами, законы этих действий ,

а также уметь видеть взаимосвя зи множеств р ацио наль ных

и д ействительн ых чисел с мн ожест вом натурал ьных чисел. Это

в ажно для осуществлен ия пр еемственност и изучения мате матики

в началь ных и средних классах школы.

§ 12. Полож ительны е рац иональные чи сл а

82. Понятие дро би

Ист орическ и появление дробе й связа но с измерени ем величин.

Выясним, как, например, могу т появиться дро би при измерении

длины отр езка . При это м бу дем опира ться на те понят ия, кот орые

определен ы ранее в § 9, п. 62.

В озьмем отр ез ок а. Чт обы найти его длину, выбере м в ка честве

единицы длины о трезок е (рис. 1 22). При измерении о казалось,

ч то длина отр езка а больш е Зе, но меньше Ав. П оэт о м у ее нельзя

выразить натурал ьным числом (при единице длины е ) . Н о если

раз бить отрезок е на 4 равные части, каж дая из к оторых р авна е\,

то длина отр езка а о к ажется р авно й 14<?|. Если ж е вер нут ься к пер

воначаль ной единице длины е, то мы долж ны ска зать, что о трезок а

со ст оит из 14 отр езков, равных ч етвертой части о трезка е, т. е.,

го воря о длине отр езка а, мы вы нужде ны о перировать двумя нату

ральными числами 14 и 4. Условились в такой сит уа ции длину

14

14

*

отр езка записывать в виде — е, а си мвол — называть д робью.

В о бщ е м виде понятие д р оби о пред еляют так: пус ть даны отре

зок а и единичный о трезок е, причем о трезок е являе тся су ммой п

отрез ков, равных е\. Если о трезок а со стоит из т о тре зков, р авных

е\, то е го длина м ожет бы ть п ред ст авлена в виде — е. Симв ол — назы-

/1

Л

вают д робью, в нем т и п — натуральные числа. Читают эт от сим

вол « эм энных>.

Вернемся к рисунку 122. Выбр анный отр езок е\ ест ь четверт ая

часть о тре зка е. Очевидно , ч то эт о не единственный вар иант выбора

такой дол и отрезка е, к оторая укладывается целое число раз в отрез

ке а. М о ж н о взят ь восьм ую ч асть о тре зка е, тогда о тре зок а бу дет

28

со ст оять из 28 таких до ле й и е го длина бу дет равна - g- е. М ожно

а

взя ть шестнадц атую част ь о тре зка е,

t—L. . . I. > —. ........ . I . -I т огда отрез ок а буд ет со стоять

^

216

е

Рис. 122

из 56 таких до ле й и е го длина бу дет

р авна — е. Если п редста вить-этот

процесс пр одо лж енным неограни чен-

?, получим, что длина отр езка а может быт ь выр ажена беско нечным

- . 14 28 56

множеством различных д робей: — , — , f g V — 

В о о бщ е если при ед инице длины е длина о тре зка а вы раж ается

о бью то она может быть выр ажена любой д р обью

t— натуральное число.

где

Ц: О п р е д е л е н и е . Дроби, выр ажающ ие длину о дного и того

о тре зка при единице длины е, называют равны ми д робями .

Если дроби ~ и ~ равны, то пишут: =

Щ4 28

Например , дроби

- - - и — выражают длину о дно го и того ж е о тре зка при единице

7"'

14 28

длины е, сле дова тельно , — = — .

v. 1 4 “

С уществует признак, по льзуя сь кото рым определяют, равны ли

данные д роби:

Д ля того чтобы др об и ■— и — были р авны, нео бхо дим о и доста

точно, чтобы mq = np.

1. По кажем, что — = — => та = пр. Так как —

п q ’ ' п nq

для лю-

бо го на турального q, а

для любого н атурального п, то из

- - т

равен ства д робей — и

р

сле дует равенство

mq рп

из к ото

рого, в свою о чередь , вытекает, что mq = np.

2. Покажем , что mq = пр => -^- = -^-. Если разделить о бе части ис

тинного равенства mq — n p на натуральное число nq, т о получим ис-

т о пр г т юа /л

тинное р авенство —L= - L- . Но —г- = — , а

Г nq nq nq п

m p

тел ьно, — = — .

n q

пр р

nq q

17 23

следова -

П р и м е р . Опр еде лим, равны ли д роби — и

. Для этого

сравним произведения 17-27 и 19-2 3; 17-27 = 459, 19-23 = 437.

Так как 459=^ 437, т о

Из рассмотренных вы ше фак тов вытекает о сн овное свойство

д роби: есл и числитель и знаменатель данно й др оби умножить или

разделить на одн о и то ж е натура льное число, то получится др о бь,

р авная данной. На этом сво йстве осн ова но сок ра щен ие дробей и

приведение дро бей к общему знаменателю.

Сокращение д робе й — это заме на данной д роби дру го й, рав

ной данной, но с меньшим числителем и знаменателе м.

Если числитель и знаменатель дроби о дн овре менно де лятся толь-

217

ко на единицу, т о д р обь на зыва ют не со крат им ой. Наприме р, -jy —

не сократимая дробь.

В результате со кращен ия д роби, к а к,правило, долж на по лу

читься равная ей не со кратимая д робь.

48

П р и м е р . С окр атим д робь эд-. Чтобы получить равн ую ей

несократимую дробь, н еобх одимо числитель и зна менатель данной

д роби разделить на их наибольший о бщ ий делитель. Найдем его;.

D (48, 8 0 ) = 16. Разделив 48 на 16 и 80 на 16, полу чаем, что

48 3

3

g ^ -=— . Д р о бь у несокр атимая.

Приведение д робе й к о бщ ему знаменат елю — это замена дро

бен равными им дробям и, имеющими о динаковые знаменатели.

Общ им знаменателем двух дробей ~ и

я вля ется общ ее

крат ное чисел п и q, а наименьшим о бщим знаменателем — их наи

меньшее о бщ е е кр атное К (п, q).

П р и м е р . Приведем к наименьшему о бщ ему знаменателю

* 8 4

д Р°би 7 Г и 35 '

Раз лож им числа 15 и 35 на прост ые множители: 15 = 3 - 5,

35 = 5 -7. Тогда /((15, 35) = 3 - 5 - 7 = 105. Поскольку 1 0 5 = 1 5 - 7 =

— ОС о

8 _ 8-7 _ 56 4 _ 4-3

12

’ Т° 15 — 15-7 — 105 * 35 — 35-3 — 105 *

Упражнения

1. По каж ите, как в процесс е измерения длины о трезка мож ет

7

13

2

бы ть получена д р обь: 1) — ; 2) — ; 3)

О 4

О

2. Определите длину о трезк о в ОХ и OY, привед енных на рисун

ке 123.

О Х 1

У

I____I_i—.—i—.—■—J—

Рис. 123

5

11

3. Назов ит е три дроби, равные: 1) -g-; 2) —

. ~

< 275 45469

4. С ократит е дроби —— и

980 41033

5, Известно, ч то при лю бо м натуральном k справедли во р авен

ст во = —■. М о ж н о ли по аналогии утверждать, что -° -] Ц = - ^ - ?

218

6. При ведите дроби ^ - , у |г и

к общему знаменат елю.