8. Смысл слов «все» и «некоторые»

Про чис ла 0, 1 ,2 , 3. 4, 5, G, 7, 8, 9 можно с каза ть:

а) псе д анные числа однозн ачные ;

б) некоторы е из д анных чисел четные.

20

Так как отно сит ельно этих пре дложе ний мо жно ск азать, что

они истинны или л ожны, то полученные предл ожения — в ыска зы

вания.

Выясним, как ус троены т акие пред ложени я.

Если из пр едл ожения «а» у брать сл ово «все», то получим

предложени е «Данны е числа однозначные». Это выска зы ватель

на я ф орма (хотя переменной в явном виде предложен ие не содер

ж и т), так как вопрос «И стинно это предложен ие или л ожно?»

с мысла не имеет. З начит , с лово «все», пост авленн ое перед д анно й

высказы вател ьной формой, обр ащает ее в вы сказывание.

П редл ожение «б» уст роено а на логично, толь ко высказыват ель-

ную фо рму «Д анные ч исла четные» о бращ ает в выск азывание

слово «н екоторые».

Сл ова «все» и «некот орые» называют кванторам и. Сл ово

«квантор» л атинского происх ождения и о зна ч ает «сколько»,

т. е. кванто р показывает, о скольки х (всех или некоторы х)

о бъектах говоритс я в том или ином пред ложении.

Различаю т кванто ры об щности и сущ ествован ия.

Квант оры общ ности — это слова «любой», «всякий », « каж-

д ый», «все».

Ква нторы сущ е ство вания — это с лова «су ществуе т», «неко

торые», « на йд етс я» , «хотя бы один».

Та ким образ ом, если перед одноместной высказ ыва тельнон

ф ормой пос тави ть какой-либо квантор (т. е. слово «любой», «в ся

кий», « сущес твует» и т. д .), то получае м вы сказывание. Значит ,

получить из одномес тной выс казывательной ф ормы высказыва

ние можно не то льк о по дставляя в нее конкр етные зн ачения

переменной, но и постав ив перед высказыва тел ьной фо рмой кван

тор (об щно сти или с уществования ).

Ф орму выск азывания с квант ором имеют многие м ате мати

ческие предложени я, наприм ер:

все квадр аты являют ся прямо угольника ми;

некоторые че тные чис ла делятся на 4;

в любом прямоугольнике с умма вну тренних углов р а в

на 360°.

Ч а сто в выс казываниях квантор опускаетс я; например , пере

ме ститель ный закон сложени я чисел за пис ываю т в виде равенства

а - \ - b - b - f a , кото рое озна чае т, что д ля любых чисел а и b

спр авед ливо раве нство а -\-Ь = Ь + а, т. е. пе реместительный за кон

сложени я е сть выс казывание с квантором общности.

Как уст анавливают знач ение истинности выс казыва ни й с кв ан

тором?

Ра ссм отрим выс казыван ия:

1. Любое число 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 является решением

не раве нс тва х - \ - 2 > х .

2. Сумма любых трех послед овате льны х нату ральн ых чисел

дел ится на 3.

3. Люб ой пря моуго льни к яв ляется ква дратом .

21

Как устроены данн ые высказыва ния? Все они с одержат кван

тор об щно сти, вы раженный словом «любой». Истин ны или ло жны

эти выска зы вания?

О братимся к пер вому предл ожени ю. Чтобы убед ит ься в том,

что л юбое из чисел 0, 1 , 2 .......9 явл яе т с я решением не равен ства

* + 2>>л:, рас смот рим с лучаи:

П ри * = 0 имеем 0 + 2 ;> 0 , т. е. истинное числовое не равенст во.

П ри х = \ имеем 1 - + -2> 1 , т. е. истинное чис ловое не равенст во.

П ри х = 2 имеем 2 - | - 2 > 2 , т. е. истинное числовое нер аве нс тво.

При х = 9 имеем 9 + 2 > 9 , т. е. истинное числовое не равенство.

Дейс твител ьно, люб ое число из сово купнос ти 0, 1, 2, ..., 9

являе тся решением не раве нс тва х - \ - 2 > х , т. е. выс казывание

« Любое число 0, 1, 2, ..., 9 являе тся решением неравенства

х - \ - 2 > х ъ — истинное вы с казывание . Каким обр азом мы у стано

вили это? Д оказали, рас см отре в все час тные и во зм ожные сл учаи.

Способ д оказательства, который был использова н нами, на зы вает

ся полной индукцией.

О б ратимся т еперь ко вт орому пр едложению. Доказа тельство,

аналогично е тому, что ис пользовалось д ля первого пре длож ения,

зд есь неп риемлемо , поскольку мы не имеем возможности р а с

смот реть все сл учаи. Н ужен другой способ доказа тел ьства .

О б означим по сле довательные натуральны е числа через

х - \-1 и дс+ 2 и докажем, что при любо м х су мма j c (-кЧ- 1) + (* + 2)

делится на 3.

Выражение л: + (л:+ 1)-)-( л:+2) мож но пр еоб разо вать к виду

* + 1 + х + 2 = 3 л : + 3 = 3 (х-Ь 1). Та к как 3 делится на 3, то и

произве дени е 3 ( х + 1 ) д елитс я на 3. Следова тел ьно, и су мма любых

трех пос ледо ва тел ьных на тур аль ны х чисел делится на 3.

Расс мотрим третье пр едло жение. Это — ложно е высказывание.

Что бы убедит ься в этом, дос таточно нач ертить пря моугольни к,

не явл яю щ ий с я к вадратом . Мы опровергли д а нное вы с к а зы в а

ние, приведя кон трпри мер.

П одве дем итоги. Нами у ста но вл ено, что первое и второе пред

ложения — истинные выс казыв ания. Сделали мы это путем д о

казательства. Третье пред ло жени е ложное. Убед ились мы в этом,

прив едя контрпример.

Вообще, истинность высказываний с квантором общности

устанавл ивается путем доказательств а. Чтобы убедиться в лож

ности таких высказываний (опров ергнуть и х), достат очно при

вести контрпример.

Выяс ним, ка к устана вл иваю т зн аче ние истинности выск азыв а

ния с квантором существован ия. Рассмотрим высказы вания:

1. Существуют на ту рал ьные числа, кратные 3.

2. Суще ствуют пр ямо уголь ные ра вносторо нни е треугольники.

Первое высказывание истинное. Чтобы об осно ва ть этот вывод,

д оста точно пр ивести пример. Так, 9 — число нат уральное и

делится на 3.

22

Второе высказывание л ожное. Де йс твительно , в прямо уголь

ном треугол ьнике один угол обяз ательн о с одержит 90°, а в р авн о

стороннем треугольн ике величина всех углов 60°. Значит, среди

прям оугольных тр еугольн ико в равност оронних нет.

Таким образом, чтобы обос новать выв од во втором сл учае ,

нам пришло сь провести доказательство.

Вообще истинность высказывания с квантором сущ ествова

ния устанавлив ается при помощи конкретного примера. Чтобы

убедиться в ложности такого высказывания, необходим о провести

доказательство.

В начальном курсе мате матики вы ска зы ва ния с к ва нторам и

встреч аются часто. По существу, все в ысказывания общего х а р а к

т ера яв ляются выска зы ваниями с ква нт ором общности. Таким и

являют ся, например, выс казывания:

a -\-b = b -\-a

0 а = 0

0 + а = а

1 *а = а

ab = ba

о : 1 = о и др.

Действительно, для любы х на тура льных чисел b и а имеет

место пере мест ит ельное свойст во сло жени я и ум но жения; д ля лю

бого на тураль ного числ а а справедливы р авенс тва 0 + а = а,

0 - а = 0 и др.

У пражнения

1. П р о а на лизируйте стр уктуру с ледующ их предложений:

1) некоторые нечетн ые числа делятс я на 9; 2) во всяком пр ям о

уго льни ке диагонали равны; 3) хотя бы одно из чисел пе рвого

десят ка с оста вное; 4) произвед ение двух любых по следователь

ных натуральных чисел кра тно 2.

2. И стин ность ка ких предложе ний , данных в упраж не нии 1,

можно уст ановить , про ве дя д оказательство?

3. Док ажите или опровергнит е следую щие выск азывания :

1) в любом чет ыре хугольни ке д иаг онал и рав ны; 2) некоторые

нечетные чис ла д елятся на 4; 3) с уществуют че тные числа , крат

ные 7; 4) все прямоугольники явл яю тся многоуголь никами .

4. Д окаж ите, испол ьзуя по лную индукц ию, истинность выска

зыва ни я: 1) все одно знач ные натураль ны е числ а яв ляются реше

нием уравн ения 2* (* + 3) = 6-f -2 *; 2) кажд ое четное нат урально е

число, б ольшее 4, но меньшее 20, представимо в виде суммы

д вух простых чисел.

5. Ка кие из сл едующих высказываний истинны: 1) всякий

к вадрат является па ралл ело грамм ом ; 2) всяк ий ромб являе тся

квадрат ом ; 3) во всяком ромбе д иа гонали в точке пересечения

делятся поп олам?

6. В ка кие из ниж еприведенных предложени и мож но добавить

слово «всякий» или «сущ ествует», чтобы предложени е ста ло ис

тинным выс казывание м: 1) диагонал и д елят углы ромба поп олам;

23

2) противополож ные углы па ралле лог рамма в сумме состав

л яют 180°; 3) д иагонал и четыре хугольника взаимно пе рпе нд ику

л яр ны?