81. Алгоритм Евклида

Нахожд ение н аибольшего общего делителя чисел сп особом р аз

ложения их на просты е множители иногда со пряжено с ря дом т р уд

ностей. Например, р аскладывая число 6815 на пр остые множители

и найдя первый делитель 5, мы получае м число 1363, наименьшим

простым делителем к ото рого являет ся число 29, но, чтобы е го найти,

надо проверить делимост ь числа 1363 на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,

23, 29— лиш ь на 29 число 1373 д елится нацело.

С ущ еству ет спо соб, ко торы й позволяет с меньшими труднос тями

нахо дить наибольший общий делитель данных чисел.

Но прежде обра тим внимание на о дн о ва жное сво йство общих

делителей д вух чисел. В озьмем, например, числа 525 и 231 и раз

делим с остатком 525 на 231. Получим: 525 = 2 3 1-2 + 63.

О бо значим через А мн ожест во общих делителей чисел 525 и

231, а через В мн ожест во о бщ их делителей чисел 231 и 63 и д ока

жем, ч то .4 = В.

Д о каж ем сн ачала, что любо й общий де литель чисел 525 и

231 являе тся общ им делителем чисел 231 и 63. Действ ительно,

если 5 2 5 \d и 231 ■ d, т о согла сн о т еор еме о дел имости разности по

лучае м, что и 6 3 - d . В этом ле гк о убедитьс я, если р авенство 525 =

= 2 31-2 + 63 за писать в т аком виде: 63 = 525 — 2 31-2. Таким о бр а

зом, любо й общий делитель чисел 525 и 231 являе тся общим д е

лителем чисел 231 и 63, т. е. А с . В.

О бр атно: если t — о бщ ий делитель чисел 231 и 63, т. е. 231

и 6 3 - /, то согласн о тео реме о д елимост и сум мы 525W . Сле д ов а

тельно, л юбой о бщий д елитель чисел 231 и 63 являет ся и о бщим

делителем чисел 525 и 231, т. е. B cz A .

На осн овании опред еления равных мн ожеств имеем, что А = В. Но

если м нож е ст ва общих делителей данных пар чисел совпада ют,

то равны их наибольшие общ ие делители, т. е.

D (525, 231) = D ( 231 , 63).

В о обще если а и b — натуральные числа и a = bq-\-r, где г < .Ь ,

т о D (a, b) = D (Ь, г).

Д о казател ьст во этой теоре мы пр оводится т ак же, как и д о к а

за тел ьство частного случая, провед енного выше.

В чем важн ость этого свой ст ва? Он о да ет возм ожность при

2Ю

нахождении наибольш его о бщ е го делителя чисел а и Ь заме нит ь эти

числа меньшими, что, конечно, упрощает вычисления. При чем т акую

замену м ожн о произво дить не одно кратно. Так, разделив с о ст а т

ком 525 на 231, получаем в о ст атке 63. Значит, О (525, 231) =

= 0 ( 2 3 1 , 63). Ра зделим с оста тком 231 на 63:3231 = 6 3 - 3 + 42, т. е.

О (231, 63) = 0 ( 6 3 , 42). Разделим с остат ком 63 на 42: 63 = 42* 1 + 21,

значит, 0 ( 6 3 , 42) = О (42, 21). При делении с оста тком 42 на 21 в

остатке полу чаем 0, т. е. 0 ( 4 2 , 21) = О (21, 0). Наибольший общий

делитель чисел 21 и 0 равен 21. След овате льн о, число 21 являет ся

и на ибольшим о бщ им де лителем чисел 525 и 231, так как мы уста

новили, что 0 ( 5 2 5 , 231) = О (231, 63) = 0 ( 6 3 , 42) = 0 ( 4 2 , 21) =

= О (21,0) = 21.

Вычисл ения, проведенные нами, часто р аспол агают так:

525 1 И .

462

_ 231 1 6 3

189 3

63 1_ 42

42 1

42 |_21

42 2

О

0 ( 5 2 5 , 2 3 1 )= 2 1

525 = 231 -2 + 63

2 3 1 = 6 3 - 3 + 42

63 = 4 2 - 1 + 2 1

42 = 21 -2 + 0

Ра ссмо тре нный спосо б нахож дения наибольшего о бщ его делителя

основан на делении с о ст атком. Он впервые был описан д ревнегре

ческим математико м Евклидом ( III в. д о н. э. ) и поэто му носи т

назва ние алгоритм а Евклида.

В общ ем виде алгоритм Евклида мож но сфо р мулировать так:

Пуст ь а и Ь — натураль ные числа и а > Ь . Если разделить с

о статком ч исло а на число Ь, зат ем разделить с о статком число

Ь на полученный о статок, а затем разделить с остатком первый

оста ток на вт оро й ост ато к и т. д., т о последний, от личный о т нуля

остаток , есть наибольш ий о бщий делитель чисел а и Ь.

Упражнения

1. Докаж ите , ч то 0 (5 7 6 , 252) = 0 ( 2 5 2 , 72).

2. Найд ите с п омощью алгор итма Евклида наибо льший о бщ ий

делитель чисел:

1) 375 и 645;

2) 960 и 1200;

3) 12 345 и 7565;

4) 36 354 и 30 295.

3. Д о каж ите , ч то 0 ( 6 0 2 5 , 1 7 2 8 ) = 1.

I**.

4. Во ск олько раз D (6855, 10 005) бо льше, чем D(1679, 2231)?

5. Найдите наимен ьшее о бщ ее кр атное чисел 4565 и 960, вы

числив наибол ьший о бщ ий делитель этих чисел с помощ ью алгор итма

Евклида.