80. Н ахож дение наиб ольш его общего делителя

и наим еньшег о общег о к ратного чисел способом

ра зложения на простые м ножители

Пр едставле ние числа в виде произведения прос тых чисел на

зывается р азложе нием эт о го ч исла на просты е множ ители.

Напр им ер, запись 110 = 2 -5 -11 го во рит о т ом, что чи сло 110

разлож е но на просты е мно жители 2, 5 и 11.

В о о бщ е р азложить па прос тые множители мож но всяко е сост а в

ное число, причем при любом сп о соб е получается одно и то ж е раз

ложение, если не уч итывать по ряд ка множителей. Поэтому пре д

ставление числа 110 в виде пр оизве дения 2 - 5 -11 или пр оизведе

ния 5 - 2 - 1 1 есть, по сущ еству , о дно и то же разло жение числа 110

на просты е множители.

Ра ск лады вая числа на пр остые множители, используют призна

ки деления на 2, 3, 5 и др. Вспомним сп о соб записи разлож ения

чисел на просты е множители. Раз ложим, например , на простые

мно жители число 720. Ч исло 720 д елится на 2. Значит, 2 есть один

из простых множителей в разложении числа 720. Разд елим 720 на

2. Ч исло 2 пишем спр ава о т знака равенства, а ч астное 360— под

ч исл ом 720. Чис ло 360 делим на 2, получаем 180. Д елим 180 на 2,

полу чаем 90, делим 90 на 2, получаем 45, делим 45 на 3, получаем

15, делим 15 на 3, получае м 5. Число 5 простое, при делении его на 5

полу чаем 1. Разложение на мно жители зак ончено.

210

720 = 2 . 2 .2 . 2 .3 . 3 - 5

360

180

90

45

15

5

1

Произведение одинаковых множ ителей принят о замен ять сте

пенью: 720 = 24.3 2*5. Та кое представление числа 720 н азыва ют

каноническим видом эт ого числа.

Разло жение чисел на простые множите ли исп ользу ется при на

хождении их на ибо льшего о бщ е го делителя и наименьшего о бщ е

го кратно го.

Найдем, например, наибо льший общин делите ль и наименьшее

о бщ ее к ратное чисел 3600 и 288.

Представим каж дое из данных чисел в каноническом виде.

3600 = 2 2 2 ■2 3 3 5 5 = 2* З2 ■52;

1800

900

450

225

75

25

5

1

288 = 2 . 2 . 2 -2 . 2 . 3 -3 = 25. 3 2

144

72

36

18

9

3

1

В р азлож ен ие на просты е множители наи бо льшего о бщего де

лителя чисел 3600 и 288 д олжны войтн все о бщие просты е м нож и

тели, кот орые со д ержатся в р азлож ен иях д анных чисел, причем

кажд ый из них нужно взять с наименьшим показател ем, с каким

он вхо дит в о ба р азложе ния. Поэт ому в раз ло жение на ибо льш его

о бщ его делителя чисел 3600 и 288 вой дут множ ители 24 и З2. З на

чит, D (36 00, 288) = 24- 32= 144.

В р азложение на пр остые множ ители наименьшего о бщего крат

ного чисел 3600 и 288 д олжны пойти все пр остые множ ители, к ото

рые соде ржатся хо тя бы в о дном из разложений чисел 3600 и 288,

причем каждый из них нужн о взять с наибольш им показ ателем, вхо

дящим в о ба разложен ия да нных чисел. Поэт о му в р азложе ние

наименьшего о бщ его кратного чисел 3600 и 288 войд ут множители

25, З2, 5. Значит,

/( ( 3600 , 288) = 25З25 = 7200.

В о о бщ е чтоб ы найти наибольший общ ий де лите ль данных чисел:

1) пред ста вля ем к аждое д анное число в к аноническом виде;

211

2) обра зуем произведен ие о бщ их для всех д анных чисел про

сты х множ ит елей, причем к аждый из них берем с наименьшим

показателе м, с каким он вхо дит во все разлож ения да нных чисел;

3 ) находим значение этого про изведе ния — оно и буд ет наи

бо льш им общ им делителем данных чисел. ■з

Ч тобы найти наименьшее о бщ е е к ратное данных чисел:

1) представляем к аждое д анное число в канон ич еском виде;

2) образуем произведе ние из вс ех про стых множите лей, нахо

дящих ся в разлож ениях данных чисел, причем каждый бе рем с наи

большим показателем, с каким он вход ит во все разло жения дан

ных чисел;

3) наход им значение эт о го произведения — оно и буд ет наи

меньшим о бщ им кратным да нных чисел.

Ра ссм отрим нескол ько примеров.

П р и м е р К Найдем наибольший общий делитель и наиме ньшее

общее к ратно е чисел 60, 252 и 264.

Пред ставим каждое ч исло в каноническом виде: 60 = 22- 3-5,

252 = 22- 32'-7, 264 = 23 3  11.

Чт обы найти наибо льший о бщ ий д елитель данных чисел, о бр а

зуем произв едение о бщ их для всех данных разложений пр остых

множ ителей, причем ка ждый из них возь ме м с наи меньшим пок а

зателем, с каким он входит во все р азложения да нных чисел:

D (60, 252, 2 6 4 ) = 2 2 - 3 = 12.

Ч тобы найти наименьшее о бщ е е кратно е данных чисел, о бр а

зуем произведение из всех простых множителей, н аходящихся в

р азлож ен иях данных чисел, причем ка ждый из них возьме м с наи

бо льш им пок азателе м, с каким он вхо дит во все р азлож ен ия дан

ных чисел:

/((6 0 , 252, 264) = 23- З2- 5 - 7-11 = 27 720.

П р и м е р 2. Найдем наибольший общий де литель и наиме ньшее

о бщ ее кратно е чисел 48 и 245. Представим к аждое число в кано

ническом виде: 48 = 2 ’ -3, 245 = 5 - 7 2.

Так как разложе ния да нных чисел не со держат общих просты х

множителей, то D (48, 2 4 5 )= 1, а К (48, 245) = 4 3 - 2 4 5 = 10 760.

Упражнения

1.

3780.

Разлож ите на простые мно жители числа: 124, 588, 2700,

Т. Какое число имеет р азложение:

1) 23- 3 2-7-1 3 ; 2) 22 3 - 5 3?

3. Найдите наибольший о бщ ий д елитель и наимен ьше е о бщее

крат ное чисел:

1) 175 и 245; 2) 540 и 558; 3) 120, 80 и 280; 4) 675 и 154.

4. Найдите наимень шее о бщ е е кр атное вс ех однозначных ч ет

ных чисел.

'

*

5. Наиб ольший о бщ ий де литель д вух чисел, одно нз к оторы х

600, равен 120. Наименьшее о бщ ее к ратно е этих ж е чисел равно

4800. Най дите другое число.

6. М имо станции ж елезной дороги проходят один за другим

три пое зда: в первом — 418 па ссаж иров, во вт оро м — 494 и в т рет ь

ем — 456. С колько пассажирских ваго нов в каж дом поезде , если

известно, что в к аждом вагоне находится по о динак овому чис лу

па сса жиров и их число наибольшее из вс ех возм ожных?