79. Признаки делимости на составные числа

Призн аки делимо сти, дока занные ранее, по зво ляют устанавли

вать делимость чисел на 2, 3, 4, 5, 9 и 25. А как узнать, не

произво дя деления, делится ли число на 6? на 12? на 30? М о ж н о

предположить, например, что число будет делиться на 6, если оно

делит ся на 2 и на 3, но это пр едлож ение нуж дается в д ока

зате льс тве.

П р и з н а к д е л и м о с т и н а 6. Д ля того чтобы число х д е

лил ось на б, необходим о и достаточно, чтобы оно де лилось на

2 и на 3.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть -число х делится на 6. Тогда

из того , что х \ 6 и 6 -2 , сл едует, что х\ 2, а из т ого, что дг-6 и 6 - 3 ,

208

*-.

. .

следует, что jc- 3. М ы по казали, что, для того чтобы число д ели

л о с ь на б, необход имо, ч тобы он о делило сь на 2 и на 3.

>!, Докажем достаточност ь эт о го усл овия. Так как х\ 2 и х-З ,

f т о х — о бщее к ратно е чисел 2 и 3. Но лю бо е о бщ ее кратное

чисел делится на их наименьшее кратное, значит, х : К ( 2, 3). П о

ск о л ь к у 0 ( 2 , 3) = 1, т о К ( 2, 3) = 2 - 3 = 6. Следовательно, х - 6 .

П р и з н а к д е л и м о с т и н а 12. Д ля того чтобы число х

де лилось на 12, необхо ди м о и достаточно, чтобы оно де лилось на

3 и на 4.

' ■

Д ока зател ьст во эт о го признака аналогично пре дыдущем у.

П р и з н а к д е л и м о с т и н а 15. Д ля того чтобы число х

де лилось на 15, н ео бхо дим о и достаточно, чтобы он о де лилось на

3 и на 5.

Список признаков д елимости на со ст авн ые числа м ожно п ро

долж ить. Их о бобщением являе тся сле дующая тео рема:

Т е о р е м а . Д ля того чтобы нат уральное число де ли лось на

составное ч исло п — Ьс, гд е числа b и с таковы, что D (Ь, с ) = 1 ,

необходим о и достаточно, чтобы о но дел ил о сь на Ь и на с.

Доказ ате льст во этой тео рем ы пр оводится аналогично д оказа

тельс тву признака делимо сти на 6.

За ме тим, что д анн ую т еорем у можно примен ять мно го крат но.

Ра ссм отрим , напри мер, признак дел имости на 60.

Для т о го чтобы число д елилось на 60, н еобх одимо и д ост ато чн о,

чт обы оно д елилось на 4 и на 15.

Но, в свою очер едь, число де лит ся на 15 т огда и толь ко тогд а,

когда он о делится на 3 и на 5. Поэт ому признак делимости на 60

может бы ть сф ормулирован иначе:

Для т ого что бы число д елилось на 60, н еобходимо и д ост а точ

но, ч тобы оно делилось на 4, на 3 и на 5.

З а д а ч а . Установить, делят ся ли числа 1548 и 942 на 18.

Р е ш е н и е . Сфор мулируем сн ачала признак делимо сти на 18:

Д ля того чт обы число делило сь на 18, необходимо и д о ст аточ

но, что бы он о делило сь на 2 и на 9.

По чему выбраны числа 2 и 9? Во-первы х, 2 - 9 = 1 8 , а во -вторых,

D (2, 9) = 1, т. е. числа 2 и 9 удовлетворяю т теореме о дел им ости

на составн ое число.

Пред ст авление 18 в виде произведе ния 3 - 6 не годится, потому

что D (3, 6)=^ 1.

По льзуясь призн аком делимо сти на 2 и на 9, ус танавливаем ,

ч то 1 54 8-2 и 1 54 8-9 . След овате льн о, 1548; 18.

Числ о 942- 2, но оно не де лится на 9. С ледовате льно, ч исло 942

на 18 не делится.

Упражнения

+ ^

_ +

1. Определите, какие из чисел 1032, 2964, 5604, 8910 и 7008

являются кратными числа 12.

2. Напишите три четырехзначных числа, которые деля тся на 15.

209

3. Сфор мулируйте признак делимост и на 20 и нап ишите 3 пяти

значных числа, кот орые д елят ся на 20.

4. Установит е, какое из чисел мож но представи ть в виде 30<7, где

q — натуральное число (деление на 30 не пр оизво д ите):

1) 22 530; 2 ) 53 420.

3

5. Пуст ь А — мн ожест во нат уральных чисел, кратных 7 и крат

ных 3. В — м нож еств о натуральных чис ел, кратных 21. Д окажите,

чт о А = В.

6. Какие из чисел 14, 35, 70 являются де лителям и числа 840?

(Деле ния на данные числа не произв одит е.)

7. Верно ли, ч то при л юбо м натуральн ом значении п значение

выражения 11л:

1) к ратно 11; 2) не к ратно 7?

8. Не пр ои зво дя ум но жения и деления уголком, установите,

какие из произв едений делятся на 70:

1) 1 05-2 0; 2) 4 2 - 1 2 -5; 3) 8 5 - 3 3 -4.

9. К числу 15 припишите сл ева и справа по одн ой цифре так,

чт обы полу ченное ч исло д елилось на 15.

10. Докажите, что р азност ь меж ду кубо м лю бо го н атурального

числа и самим чис лом делится на 6.