78. Наибольш ий об щий делитель

м наименьш ее общ ее кра тное

Возьме м два числа 12 и 8 и выпишем их делители.

Число 12 делится на 1 ,2 , 3, 4, 6, 12.

Число 8 делится на 1 ,2 , 4, 8.

У чисел 12 и 8 есть о бщ ие делители. Э то числа 1, 2 и 4. Среди

них есть наибольше е число 4. Его на зывают наибольшим о бщ им

делителем чисел 12 и 8.

206

Дадим опреде ления этим понятиям.

О п р е д е л е н и е . Общ им делителем натура льны х чисел а и Ь

называется всякое нат ур ально е число, к оторое я вляется делителем

к а ждого из данных чисел.

О п р е д е л е н и е . Наибол ьшим общим делителем натуральных

чисел а и b называется на ибо льш ее число из всех о бщ их делителей

данных чисел.

Наибольш ий общий делитель чисел а и Ь обозначаю т О (а, Ь).

Так, 0 ( 1 2 , 8) = 4.

Назо вем некоторые сво йства наибольш его о бщ е го делителя,

приняв их без доказательст ва.

1. Наибол ьш ий о бщий де литель натур альных чисел а и b всегда

существует и является единственным.

2. Наиб ольший о бщ ий делитель чисел а и b не прево сходит

ме ньшего из данных чисел, т. е. если a<Cb, то О (а, Ь )^.а .

3. Наибольший о бщ ий делитель натураль ных чисел а и Ь делится

на л юбой о бщ ий делитель этих чисел.

Например, общим и делителями чисел 12 и 8 я вляются 1, 2, 4.

Число 4 — наибольш ий о бщий делитель чисел 12 и 8. Видим, что

он делится и на 1, и на 2.

В озьмем о пять два числа 12 и 8 и выпишем неск олько ч и

сел кр атных 12 и 8. Числа, кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72,

84, ...; числа, кр атные 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 72, ... .

У чисел 12 и 8 есть о бщие кратные. Э то числа 24, 48, 72, ... .

Сре ди них е сть наименьшее число 24. Его на зыва ют наименьшим

общ им кратным чисел 12 и 8. Да дим определение этим понятиям.

О п р е д е л е н и е . Общи м кратным натуральных чисел а и Ь на

зыва ется вс яко е нат ур ально е ч исло, к оторое к ратно каж дому из

да нных чисел.

О п р е д е л е н и е . Наименьшим общ им кратным натураль ных

чисел а и & называется наимень шее число из всех о бщи х кр атных

да нных чисел.

Наим еньшее общее кр атное чисел а и b обоз начает ся К (а,.Ь ).

Так, К (12, 8) = 24.

Назовем некотор ые свойства наиме ньше го о бщ его к ратн ого двух

чисел, приняв их бе з д оказательст ва.

1. Наимен ьшее о бщ ее кратно е натуральны х чисел а и Ь всегда

сущ е ст вует и я вля ется единственным.

2. Наиме ньше е о бщ е е кратное чисел а и & не меньше бо льшего

из данных чисел, т. е. если а > Ь , то К (а, Ь ) ^ а .

3. Л юб о е о бщее кратное двух натуральных чисел а и Ь д елит

ся на наимен ьшее о бщ е е кратное этих чисел.

Например, о бщ ие кратные чисел 12 и 8 де лятся на их наименьш ее

о бщ ее к ратное 24: 4 8:24 , 7 2:24 и т. д.

Наименьшее о бщ е е кратное чисел а и Ь и их наибо льший

общий де литель взаи мосвяза ны.

Ранее мы установили, что /( (12, 8) = 24, а 0 ( 1 2 , 8) = 4.

У множ им наименьшее о бщ ее кр атное чисел 12 и 8 на их на ибо ль

207

ший общ ий делитель: /С (12. 8 ) -D ( 1 2 , 8) = 24-4 = 96. Най дем т еперь

произв еде ние данных чисел: 12 >8 = 96. Случайно ли со впадение

расс ма три ваем ых произведений?

Ока зывает ся , для любых натур альных чисел а и Ь сп равед ливо

утвер ждение: про изведение их наиме ньшего о бщ е г о кратного и

наи бо льш его о бщ е го делителя р авно про изве дению чисел а и Ь,

т. е. имеет мест о р авенство

К (a, b ) 'D (а, Ь) = аЬ.

Э то раве нство позволяет, зная наиб ольш ий общ ий делитель

чисел а и Ь, находить их наимень шее общее кратное:

В ч аст ности, если числа а и Ь т аковы, ч то их наибольший

общий делитель равен 1, т о наимен ьшее о бщ е е крат ное таких

чисел р авно пр оизве дению ab.

Напр имер, если а = 17, 6 = 5, т о д р угого о бщ е го дел ителя, к р о

ме 1, они не имеют, а значит, D (17, 5 ) = 1. Тогда К (17, 5 ) = 17*5 = 85.

Упраж нения

1. Выпи шите все делители к аждо го из чисел 36 и 24 и ук ажите

их о бщие делители. Че му равен наибольший о бщи й делитель

этих чисел?

2. Назовите 6 чисел, кратных числу 36, и 6 чисел, кратных

числу 24. Укажите ср еди них о бщие кратные. Чему р авно наименьшее

о бщее к ратное чисел 36 и 24?

3. Верн ы ли следую щие раве нст ва: 1) D (32, 8) = 8; 2) К ( 3 2 ,8 ) =

= 32?

4. У чащийся нашел, что D (13 6, 2 2 5 ) = 17, а /( ( 136, 225) = 2040.

Как провер ить правильно ст ь полученны х р езультат ов?

5. Найд ите наименьш ее общее кр атное чисел а и Ь, если из

вестно, что : 1) D ( 315, 385) = 35; 2) D (47, 1 0 5 ) = 1.