77. Признаки делимости чисел

в десятичной систем е счисления

Вам известны признаки делимости на 2, 3, 4, 5 и др. Все они пред

назначены для чисел, записанных в д есятич ной си стеме счисления.

На ша задача — о бос новать эти признаки, о пирая сь на введенное

опреде ление отношения д елимост и и сп о со б записи чисел в д е ся

тичной системе счисления.

203

П р и з н а к д е л и м о с т и н а 2. Д ля того чтобы ч исл о х д е

лил ось на 2, необходи мо и достаточно, чтобы его десят ичная за

пись оканч ива лась о дно й из цифр О, 2, 4, б, 8.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть число х з аписано в десятичной

системе счисления, т. е. х = а „  10л+ а,,_|  ЬО"- 1 + ... + a i 10 + ao (1),

где а„, a „ _ i , ..., а |, ао принимаю т значения 0, 1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и

апФ 0 и ао принимает значения 0, 2, 4, 6, 8. Д о к ажем , ч то т огда

X; 2

Так как 1 0-2 , то 102 2, 103; 2, .... 10" 2, и, значит, (а„-1 0 л+

+ a „ - i  10л_| -f -.- + ai 10): 2. П о усл овию ао т о ж е делится на 2,

и по эт ому число х мож но р ассм атривать как сумму д вух сл агаемых,

к аждое из ко торы х делит ся на 2. Следовательно, сог ласно тео реме

о делимости су ммы и само ч исло х де лится на 2.

Д окаж е м теперь о бра тное: если число х делится на 2, т о его д е

ся тичная запись оканч ива ется одно й из цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Запишем раве нст во (1) в тако м виде: а0— х — ( а „ - 10" +

+ а „ _ | 10л~' + ... + a i  10). Но тогд а по теореме о д елимости раз

но сти а 0- 2, по ск ольку х\ 2 и ( а „ - 10n+ а „ —i  Ю "-1 + ... + а г 10); 2.

Чт обы однозн ачно е ч исло ао д елилось на 2, оно д о лжн о принимать

значения 0, 2, 4, 6, 8.

П р и з н а к д е л и м о с т и на 5. Д л я того чтобы число х

дел илось на 5, необ ходим о и достаточно, чтобы его десятичная

запись окан чивалась циф рой 0 или 5.

Д оказательст во этого признака аналогичн о док аз ате льству приз

нака делимо сти на 2.

П р и з н а к д е л и м о с т и н а 4. Д ля того чтобы числ о х

де ли лось на 4, необходим о и достаточно, чтобы на 4 дел илось

дву значное число, обр а зова нное посл едн ими дву мя цифрами д е

сятичной записи числа х.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть ч исло * записано в десятичной

системе счисления , т. е. * = а „ - 10" + a „_ i  10л_| + ... + а 2- 103+

+ a i - I 0 + ao, где а„, а п-\ , ..., ао принимают значен ия 0, 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8, 9 и две последние цифры образую т число,

которое де лится на 4. Д окаж е м , что тогда х \А.

Так как 10 0:4, то (a„- 10" + a „ _ i  10л~ ' + ... + а 2-1 02)- 4. По

условию a i - 1 0 + ao (это и есть запись двузн ачн ого числа) т акж е

дел ит ся на 4. Поэтому ч исло х м ожно расс ма тривать как сум му

д вух сл агаемых, к аждое из к ото рых де лит ся на 4. С ле дова

те льн о, согл асно тео рем е о д елимости су ммы и само ч исло х д е

лится на 4.

Докажем о бр атное, т. е. если число х делится на 4, то дву знач

ное чис ло, образованное последними цифрами его деся тичной за

писи, т о ж е делится на 4.

За пиш ем раве нство (1) в таком виде: ai 10 + ao = JC— ( a „ - 10" +

+ а л_ г Ю "- 1 + .. . + 02* 102). Так как х \А и ( а „ 10л+ ап~ i  10л“ 1+

+ . .. + 02 * 102)  4, т о по т еореме о де лимо ст и р азности (ai -1 0 +

+ a o ) ;4 . Но выражение a i -10 + ao есть за пись д вузначного числа,

о бразован ного после дними циф рами записи числа х .

204

П р и з н а к д е л и м о с т и н а 9. Дл я того чтобы число х д е

лил ось на 9, необхо дим о и достаточно, чтобы сум ма цифр его

десяти чной записи дели лась на 9.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем сначала, ч то числа вида 1 0"— 1

делятся на 9. Д ействительн о, 10 "— 1 = ( 9 - Ю "- ' + 10я - 1) — 1 =

( 9 - 1 0 " - ' + 9 - 1 0 n- 2+ 1 0 " - 2) - 1 = (9.1 0',- , + 9 - 1 0 " - 2+ . . . + 10) —

/

1 = 9 - 10я - 1 + 9 * IO'1 - 2 ... -j-9 . Каждое слагаемо е полученной

суммы дели тся на 9, значит, и число 10я— 1 де лит ся на 9.

Пусть число х записано в десятичной сист еме счисления ,

ST. е. х = ал- 10л+ а я_ 1  10я-1 + .. . + а,  Ю + а 0, где ап,ал_ i,

а,,

во принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и (ап+ О п - л + .. . +

4 - a o ) ;9 . Д о каж ем, что тогд а дг-9.

Преобразуе м су мму а „- 10я+ а„ _ i  10'|“ , + ...- (-ао, приба вив и

вычтя из нее вы ражение a„ + a „_ i-{-... + ao и записав резул ьтат

в тако м виде: х = (а п- 10я— a „)-|-(a„ _ i  10я-1 — a n_ t) + ... + (ai  10 —

— Qi) + (flo — a 0) -f- (fln ■+■On- 1 -{-... 4~ a i -)- ao) = a n ( IO'1 — i ) -j- a „ _ i X

В последней су мме каж дое сла гаем ое делится на 9:

ап- 1 (10я_| — 1); 9, так как (10 я— 1); 9,

а| (10 — I ): 9, так как ( 1 0 — 1)* 9,

( a„ + a n_ i + ... + ao); 9 по ус ловию. Следовательно, х - 9 .

Д о кажем обра тное, т. е. если число х д елится на 9, то су мма цифр

его деся тичной записи дел ится на 9.

З апишем р авен ство (1) в тако м виде: ап-\-ап- i + ... + ao =

= х — [аП■(10я— 1) + а я_ |(10я_| — 1) + ... + a t (10 — 1)). Та к как х ; 9 п

(а„(10я— 1) + ая_|(10я-1 — 1) + ... + a t( 1 0 — 1))- 9, т о по тео реме о д е

лимо ст и р азности (a „ + a n- i + . .. + ао)  9. Но выражение a „-\ -an~i +

+

ao е ст ь сум ма цифр деся тич ной записи числа х .

П р и з н а к д е л и м о с т и н а 3. Д ля того чтобы ч исл о х

де ли лось на 3, необхо дим о и достаточно, чтобы сумма цифр ег о

десятичной записи делил ась на 3.

Д о казательство этого признака аналогично док аза тельст ву

признака делимо ст и на 9.

Делимость.ц елых неотрицательных чисел в начальном курсе ма

тематики спе циально не изучает ся. Но исп ользование правил д е

ления суммы на число и числа на произведе ние требует п ред ва

рительного ответа на во прос: де лится одно число на д ругое или

нет? Отвеча я на эт от во прос, уч ащиеся начальных классо в руко

во дству ют ся таблице й умно жения, а не признаками делимости.

Поэ тому и задания в учебн иках математики со держ атся такие, ко

т орые позволяют обход иться тольк о т аблицей. Например, что бы из

выраж ений ( 6 2 + 1 8 ) : 8 , ( 3 6 - f 2 7 ): 9 , ( 4 0 + 1 б ) : 7 выбра ть то, в к ото

ром каж д ое слага емое суммы де лится на ук азанное число, уч а

щийся долж ен х орош о знать, что на 9 делится и 36, и 27, а,

205

иапр имер, числа 62 и 18 на 8 не дел ятся. Аналогично,

что бы найти значение вы ражения 7 2 0 :( 9 - 5 ) таким спосо бо м:

( 7 2 0 :9 ) :5 , уча щийся д олжен знать, ч то 720 делится на 9, а 80

делится на 5, т. е. знать е ще и о тдельн ые случаи вне таблич ного

деления.

У пр ажнения

1. Напиш ите:

,а

1) пят изнач ное число, кото рое делится и на 5, и на 9;

2 ) тре хзначное число, кото рое де лится на 3, но не де лится на 9;

3 ) четырех значное число, к о торое д елится на 2, но не делится

на 4;

4 ) пятизначное число, к отор ое де лится и на 4, и на 5.

2. Д о к ажите признаки д елимости на 5, 25 и 3.

3. Известно, что за пись чис ла не оканчивается цифрой 5.

Делится ли это число на 5?

4. Делится ли на 9 число IО26 8?

5. Как ие из следующ их чисел можно представить в виде 9 q:

1) 333; 2) 8021; 3) 10 800?

6. Не выполняя де йстви я сло жения, ус тановите , д елится ли зна

чение выр ажения на 4:

1) 284 + 1 440+ 1 1 3 ;

3) 284 + 1441 + 113;

2) 284 + 1440 + 792 224; 4) 2 8 4 +1441 + 1 1 3 +164.

7. Не вы полняя вычитания, установите, делится ли разно сть

на 9:

1) 3 6 0 - 1 4 4 ; 2) 9 4 6 - 5 4 0 ; 3) 30 2 4 0 - 9 7 2 0 ; 4) 3 2 1 - 2 4 8 .

8. В каком из сл учаев (см. упр. 7) разность делится на 4?

на 5?

9. Д окажите, что число 9 является делителем произв едения

2043-4 02.

10. Д окажите, что р азность л юбого четырехзна чного числа и

четырех значно го числа, зап иса нного теми ж е цифрами, но в о бр ат

ном по рядке, делится на 9.

11. Докажите , что если число а при делении на 5 да ет в остат ке 3,

то число а 2+ 1 де лится на 5.

12. Приведите примеры зад аний из учебник ов по математике

для начальн ых к лассо в, выполнение кот орых тре бует проверки д е

лимости чисел на да нное чис ло.