76. Делимость сумм ы, разно сти и про изведения

целых неотрицательных чисел

Часто в практике во зник ает вопрос: как, не пр оизвод я вычис

лений, опре делить, де лится сум ма (ра зн ость, произведе ние) на дан

ное число или нет? Ответ на него предполагает знание след ующих

те орем .

200

Т е о р е м а о д е л и м о с т и с у м м ы . Если каждое сл а га ем ое

делится на на туральное число п, то и их сумм а делится на это

Число.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть числа а и b де лятся на п. Дока ж ем,

ч то тог да число а-\-Ь т о ж е делится на п. Та к как а\ п, то существует

т акое целое неотр ицательное число q, Что a = nq. Так как Ь\п,

т о сущ е ствует так о е целое неотрицательное число р, что Ь= пр .

По дстави м в сумм у а-\-Ь вместо а пр оизвед ение nq и вм ест о Ь

произведение пр. Получим a + b = nq-\-n p. Вынесем за скобки о бщ ий

м нож итель п и по луч ивш ееся в ск о бк ах целое не отрицательное число

?<7+ Р обозн ачим бук вой /. Получи м a + b = nq-\-np = n (q -{-p ) = nt.

На м уд алось сумм у а-\-Ь пр едставить в виде произведения числа п

"й некоторого целого неотрицате льно го числа t. А это значит, что

>число а-\-Ь делится на п.

Мы провели д оказа тельство те оре мы для случа я двух сл агаемых.

Ан алогично мож но док азать ее для су ммы, состоящ ей из m сла

гаемых.

П р и м е р. Не произво дя вычислений, м о ж но сказать, что сумма

114 + 348 + 908 дели тся на 2, так как на 2 д елится каждое сла гае

мое этой суммы.

Т е о р е м а о д е л и м о с т и р а з н о с т и . Если числа а и b

делятся на п и а ^ Ь , то а — Ь делится на п.

Доказательство эт ой т еор емы аналогично д оказательст ву т еоре

мы о д елимости суммы.

Т е о р е м а о д е л и м о с т и п р о и з в е д е н и я . Если один

из множителей п роизведени я делится на нат уральное число п, то и

все прои зведе ние делится на п.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Его мы про ведем для произв едения, с о

стоя щ его из д вух целых не отрицатель ных множите лей а и Ь. Пусть

один из них, например а, делится на п. Гак как а\ п, то сущ ест вует

т акое целое неотрицате льное число q, ч то a = nq. Умнож им о бе

части эт ого равенства на b: a - b = ( n q ) - b , о ткуд а a 'b = n ( q - b ) ,

но q -b — целое неот рицательное чис ло, сле довательно, ab \п.

Аналогично проводи тся док аза тельст во и для про изведения, в ко

т оро м m множ ителей.

Например, произведен ие 24 -97 6-3 05 разделится на 12, так как на

12 де лится множ итель 24.

Расс мотрим е ще д ве теоремы , связа нные с д елимостью пр оизве

дения и суммы , которые часто испо льзуются в решении зад ач на

дел нмость .

Т е о р е м а . Если в п роиз ведении ab множитель а делит ся на

натур альное числ о т , а множитель Ь делится на натуральное

число п, то про изведен ие ab делится на п роизведе ни е тп.

Доказательство этой тео ремы аналогично доказательству теоремы

о д елимости про изведения.

Например , пр оизве дение 2 4 -36 раз делится на 1 0 8 = 1 2 -9 , по

скол ьк у 24 делится на 12, а 36 делится на 9.

201

Т е о р е м а . Есл и в сумм е о дно сл агаем ое не делит ся на число

т , а все остальные сл а га емые делятся па число ш, то вся сумма

на число m не делится.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пу ст ь s = a\ + a;; + ... + q,, + c и извест

но, ч то ai  т , а г\т , .... а„\т , но с\ т . -з

Д окаж ем, что тогд а s\ m .

Предположим противное, т. е. пус ть s\m . Прео бр азуем сумму s

к виду c = s — ( a i + a 2+ ... + a „ ) . Так как s\m по пред по ложению,

(ai + a 2+ ... + an) :m на о сновани и т еорем ы о делимо ст и суммы,

т о со гла сно т еор еме о делимости разности s'-т . Пришли к пр о

т иворечию с тем, что дано. Та ким о бр аз ом, s| m.

Например, су мма 34 + 125 + 3 7 6 + 1 0 2 4 на 2 не д елится, т ак как

3 4 ;2 , 376| 2, 102412, но 125; 2.

Рассм отр енные тео ремы я вляются осново й решения задач, св я

занных с делимост ью чисел.

З а д а ч а . Д о казать, ч то про изведение любы х д вух по сле до

вательных натуральных чисел д елится на 2.

Р е ш е I! и е. Запише м усло вие зада чи, исп ользуя символы . Если

одно натурально е число обозн ачи ть букво й п, то Мисло сле дующе е за

ним л + 1. Значит, нам над о доказат ь, что п (л + 1) - 2 для л юбого на

т урального п.

Как известно, м ножество целых неотр ицате льны х чисел м ожно

р азбить на 2 класса: четны е числа (т. е. числа вида 2 q) и

нечетные (т. е. числа вида 2<7+ 1).

Если n = 2q, то п ( л + 1) = 2^7 (2<7 + 1). Так как в произвед е

нии 2q (2<7+ 1) есть множитель, который делится на 2 , то и со гласно

теоре ме о делимости произведения все произве дение делится на 2 .

Значит, п ( « + 1)| 2.

Если л = 2 <7+ 1, то п (л + 1) = (2<7+ 1) ( 2<7 + 2 ). Та к как в получен

ном произв едении есть мно жите ль 2*7 + 2 , ко торый делится на 2

(каждое слагаемо е суммы д елится на 2 ) , то и все произведение

де лится на 2. Значит, л (л + 1)|2 и в этом случае .

Итак, утверждение л ( /г + 1 ) * 2 спр аведливо для всех четных и

нечетных натуральных чисел, следовательно, о но спра ве дли во для

л юбого натурального числа.

Конечно, док азательст во д анного утвер жде ния можно было бы

пр овести про ще, испо льзо вав т о т факт, что из двух последователь

ных натуральных чисел о дно обязательно четное, но приведенное

доказа тельство ценно тем, что он о являет ся иллюстр ацией одного

из сп о соб ов доказат ельства ут ве рждений о д елимост и чисел. Э тот

сп о со б — полная индукция, при кото ром истинность утверждения

выводится из истинности е го во вс ех частных случаях .

Упраж нения

1.

В док азательстве теоре мы о де лим ост и суммы есть та кое

пр еобразова ние: a + b = nq-\-np = n (q-\-p). О бъя сните: 1) на основ а

нии к ако го теоре тическ ого фак та оказалось возможным вынести

202

число п за ск обки; 2) почему су мма q + p являет ся целым

неотрицательным число м.

2. Д о каж ите т еорему о делимо сти суммы д ля : 1) трех сл агае

мы х; 2) т сл агаемых.

3. Д о каж ите теорем у о делимости разности целых нео трица

тельных чисел на натура льно е число.

4. Докажите, что: I) если а\т и Ь\п, т о ab\mn\ 2) если

а \т и Ь \ т ,. то ab \ т 2.

5. Известно , что а не кратно п и Ь не кратно п. В ерно ли,

ыто: 1) а + & не к ратно п\ 2) а -Ь не к ратно п?

6 . Не выполняя слож ения, ус тановите, делится ли значение

выраж ения на 3: 1) 1 8 0 + 1 4 4 ; 2) 720 + 308; 3) 103 + 370.

7. Не производ я вычитания, ук ажит е выр ажения, значения

ко тор ых делятся на 5: 1) 535 — 413; 2) 1215 — 470; 3) 20 1 47— 1307.

8. Не производя вычислений , уст ановите, бу дет произведение

7 5 - 32-2 7 делиться па 5, 8, 9, 10, 18, 45.

9. Если к д вузначн ому числу пр ибавить число, записанное теми

же цифрами, но в обра тном порядке, то сум ма бу дет кратна 11.

Д окаж и те это.

10. Д о каж ите или опро вергните следующие вы ска зывания:

1) Для т о го ч тобы сум ма двух натуральных чисел бы ла четным

числом, необход имо, что бы к ажд ое сла гаемое бы ло четным числом

2) Из того, что сумма д вух н атуральных чисел четна, следует,

что о ба слагаемые т о ж е четные. 3) Из того, ч то числа а и Ь нечет

ные, следуе т, ч то их сум ма а + 6 — число четное. 4) Для т о го

что бы сум ма дву х натуральных чисел была нечетным числ ом,

дост аточно, ч тобы о дн о из них бы ло четным, а д руго е — нечетным.

11. Известн о, ч то а — четное натуральное число, Ь — нечетное

и а > Ь . Каким числом буд ет разнос ть чисел а и Ь? Высказанное

предполож ение д окажите.

12. Кратна ли числу 4 су мма д вух по сле дова тельных: 1) четных

чисел; 2) нечетных чисел?

13. Д окажите сп о со бо м полной индукции, что про изведение

трех по следовате льны х натуральн ых чисел д елится на 3.

14. Д окажите, ч то к вадрат не четного нат урального числа при

делении на 8 дает о ста ток 1.

15. Докажите, что сум ма к ва дратов д вух последова тельных нату

ральных чисел при делении на 4 дает остаток 1.

16. Док ажите , что про изведен ие двух последо вательных четных

чисел делится на 8.

■'i