75. Свойства отно шения делим ости

Отнош ение делимости о бла дает ря дом сво йств: оно рефлексивно,

антисиммет рично и транзитивно. Докажем эти сво йства. При эт ом и

в дальнейшем бу дем считать известными опре деления и зако ны

арифм етических дей ствий над целыми не отрицатель ными числами.

Т е о р е м а . Отношение делимости р еф лек сивно , т. е. лю б ое на

туральное число делит ся салю на себя .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для любого натурального числа а спра

ведливо р авенств о а = а - 1. Э то значит, ч то сущ ествует тако е <7=1,

что а = а - 1, откуда по определению отношения д елимости а\а.

Из док азанной теор емы вытекает, что л юбое целое нео трица

т ельное число д елится на 1.

Т е о р е м а . От ношение делимости антисимметрично, т. е. для

р азличны х чисел а и Ь из того, что а \Ь, следует, что Ь\ а.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пр едположим, ч то Ь\ а. Но чтоб ы Ь

дел ило сь на а, необходимо, чт обы Ь ^ а . По условию а \ Ь, и, значит,

а ^ Ь . Не равенст ва Ь ^ а и а ^ Ь истинны толь ко в том сл учае,

когда а — Ь. Пришли к пр отивор ечию с условием. С ледо вательно,

наше предпо ложе ние неверное, т. е. о тнош ение делимости анти

симметрично.

Т е о р е м а . Отношение делимости транзитивно, т. е. из того,

что а\Ъ и Ь\ с, следует , что а с.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как а\Ь, т о су ществует т ако е целое

неотр ицательное число q, что a = b -q. А так как Ь\ с, то сущ е ствует

та кое целое неотр ицательное число /, что b = c - t . По дставим в пер

вое р авенств о вместо Ь про изведение c - t . По лучим а = ( с /)</,

откуда a = { c ' t ) - q = c - ( t - q ) = c 'p . Поскольку р — целое неотрица

199

тельное число, то раве нство а = с - р означает,

что а - с . Теорема доказана.

Д ля да льне йшего изучения вопросов дел и

мо сти и решения зада ч необхо димо уточнит ь

следующее.

J

Рис. 120

Если, например , число делится на 4, т о

о но имеет вид 4q , где q — цело е н еотр ица

тельное ч исло, а если число не делит ся на 4,

т о каков е го вид?

Известн о, что если число не д елится на 4

нацело, т о е го мож но разде лит ь на 4 с о с

татком, причем остато к долж ен бы ть мень

ше 4, т. е. это число 1, 2 или 3. И тогда числа, кото рые

при делении на 4 д а ют о ста т ок 1, есть числа вида 4 ^ + 1 ; числа,

которые при делении на 4 даю т о ста ток 2, есть числа вида Aq-\-2,

а числа, к ото рые при делении на 4 д ают ост ато к 3 ,— это числа

вида 4</ + 3.

Числ а вида \q, 4 ^ + 1 , 4«/ + 2, 4^ + 3 о бр азуют множест ва,

которые попарно не пересекаю тся и их объединение совпадае т с

мн ожест вом целых нео трицательны х чисел (рис. 120).

Упражнения

1. З апиш ите , используя симво лы, свойства отнош ения делимости.

2. Постройте гр аф о тношения « ч исло х — де литель ч исла у »

на множестве Х = {12, 9, 6, 3, 18}. Каков ы особе нност и этого гра фа?

Чем о т него будет о тличатьс я граф отношения « х кратно у » ,

если отношение з ада но на том ж е множ естве?

3. Известно, что а |6 и 6 * 2. Како й вывод мож но сде лать о д е

лимости числа а на 2?

4. Какие о ста тки мог ут бы т ь получе ны при делении а на 3?

Как ов вид чисел, которые на 3 не делят ся ?

5. А — м нож е ство целых неотрицатель ных чисел вида 3q, В —

м нож еств о целых неотрица тельных чисел вида 3q + 1, С — множест

во целых неотриц ательны х чисел вида 3^ + 2. М о ж н о ли утверж дать,

ч то A \]B \]C = Zo>

6. Из мн ожества целых неотрицательн ых чисел выделили под

м нож еств о чисел, кратных 7. Разбе йте каким-либо обра зом на к лас

сы под множест во чисел, не к ратных 7. Скольк о к лассов разбиения

множества Zo получилось?