§ 11. Д ел им ость ц елы х нео трицательных чисел

74. Понятие отно шени я делим ости

Как известно, вычитание и деление целых неот рицате льны х чисел

выпо лняе тся не вс егда. Например, не существует таких целых не

отри цат ельных чисел, которы е были бы разностью и частным чисел

3 и 7. Од нако во прос о сущес твован ии разности целых н еотриц а

тельных чисел а и b решается пр осто — доста точ но устан овить

(по записи ч исел), что а ^ Ь . Для деления т акого о бщ его и п ростого

признака нет. Поэтом у математики с давних пор пы тались найти

так ие правила, к ото рые позволяли бы по записи числа а узнавать,

делится о но на число b или нет, не вы по лняя непосре дственно го

деления а на Ь. В резуль тате этих поисков были открыты не только не

которые признаки делимо сти, но и д ругие важные свойст ва чисел.

197

Чт обы рассмотреть эти признаки делимости, необходимо уточнить

понятие отнош ения де лимости.

О п р е д е л е н и е . Пусть да ны целое неотрицательное число а

и нат ур альное число Ь. Если при делении с о ста тком а на 6 оста

ток равен нулю, т о ч исло Ь н азывают делителем числа а.

Из определения следует, что если Ь — делитель а, то сущ ествует

т ако е целое неотрицательное число q, ч то a — bq.

Например , число 8 являе тся делителем числа 32, т ак как сущ е ст

вует та кое целое неотрица тельное ч исло <7= 4, что 32 = 8 -4 .

Термин «делитель д анно го числа» сл едуе т о тличать о т термина

« делитель», о бо значающ е го то число, на к оторое делят. Например ,

если 18 д елят на 5, то число 5 — делитель, но 5 не является

делителем числа 18. Если 18 д елят на 6, т о в это м случа е понятия

«делите ль» и «д елитель данного ч исла» со впадают.

В т ом случае, когда число b являе тся делителем числа а, говорят

также , что а к ратно b или а д елится на Ь, и, используя символы,

пишут: а - Ь.

З апись а\Ь есть запись отношения делимости, она не о значает

д ействие, к ото рое надо пр оизвести над числами а и Ь, т. е. нельзя

писать а- й = с.

Так как делитель д анн ого ч исла не пре выша ет этого числа,

т о множеств о его делителей конечно. Назо вем, например, все дели

тели числа 36. Они о бр азуют конечное мн ожест во (1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,

18, 36).

В за висим ости о т числа делителей среди нат ураль ных чисел

раз личают пр остые и со ставны е числа.

О п р е д е л е н и е . Пр остым ч ислом называе тся т акое натураль

ное число, к ото р ое имеет только два делителя — единицу и са мо это

число.

Наприме р, число 17 простое, поскольк у у него только два д е

лителя: 1 и 17.

О п р е д е л е н н е . Сост авным числом н азывает ся т ако е нату

ральное число, к ото рое имеет бо лее двух делителей.

Та к, ч исло 4 со ст авное, у него три делителя: 1, 2 и 4.

Число 1 не явля ется ни простым , ни соста вн ым числ ом в связи

с тем, ч то он о имеет все го один делитель.

Чисел, кратных д анном у ч ислу, мож но назвать как угодно мно

г о — их мн ожество беско нечно. Та к, числа, кратные 4, образуют

беско нечный ряд: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ... . Поскольку все числа

эт о го ряда кратны 4, т о они могут быт ь получены по фо рмуле

х = 4<7, где q принимает значения 0, 1, 2, 3, ... .

Упраж нения

1. Объясните, почему число 15 является: 1) де лителем числа

60; 2 ) кратным числа 3.

2. Какие из чисел 2, 3, 5 являются делителями чис ла: 1) 230;

2) 225; 3) 450?

3. Какие из чисел 804, 75,,144, 150 кратны: 1) 2; 2 ) 3; 3) 5; 4) 9?

198

'

.

4. Назов ите пять чисел, кратных 3. П о какой формуле мож но

по лучить д ругие числа, кратные 3?

5. З апишите мн ожество делителей чисел: а) 24; б) 38; в) 13; г) 1.

6. Док ажите , что мн ожество делителей л юбого натура льно го

числа а есть конечно е множество .

7 . М нож е ств о целых неотрицатель ных чисел в зависимо ст и от

остатка при делении на 2 р азбива ется на 2 класса. Из каких чисел

состои т к аждый из этих классо в? Напишите по д ва пр едставителя

к а ждого класса. По ка кой формуле мож но получать четные

ч исл а? А по ка кой нечетные?

8. Объясните, почем у число 19 является про стым, а число 12 —

соста вн ым .

9. При каких значе ниях q значения выр ажения 11<7 являются

просты ми числами?

10. Перечислите вс е про стые делители числа 60.

11. Среди следую щих высказываний ука жите истинные: 1) М н о

ж е ст во натуральн ых чисел раз бивается на к ласс простых чисел и

класс со ст авных. 2) М н ожество натуральных чисел состоит из

пр остых чисел, со ста вных чисел и числа 1.

I