72. Запись чисел в позиционных системах счисления,

отличных от десятичной

В пред ыду щих пункта х мы изучали особенности системы сч ис

ления, о снова нием которой являе тся число 10. Вы помните, что

любое число в этой системе за писывается в ви де многочлена

а„* 10л + а п_ |  10'*- 1 + ... + aj  10 + ао, где коэффициенты а„, ап- i,

..., ао прин има ют зн ачения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а „ Ф 0.

Дес ятичная с ис тема счисления пози ционная — зн аче ние одного

и того ж е знака (ц иф ры) зависит от места (п озиции), которое

этот зн а к за нимает в записи числа.

Как известно, в истории чел овече ства существовали и д ругие пози

ционные системы счисления. И р азличия между ними с ост оят не

то лько в том, что в этих с ис тем ах ис по льзова лись раз личные

с имвол ы д л я об озна чен ия чисел, но и в том, ч то эти системы

имели разные основания. Напр имер, ва вилонская система сч ис ления

была шестидес яте ричной. Известны и другие позици онны е системы

с чис ления: двенадцатеричная, котор ую мы исп ользуем в настоящее

время, ведя счет предметов дюжинами и р а зд еляя сутки на 2 поло

вины, по 12 час ов к а ждая, а год на 12 месяц ев; д ва дцатеричная,

которой пользовали сь индейцы племени ма йя.

Во общ е, основан ием поз ици онной системы счислен ия м ожет быть

любо е нату рал ь но е число р, больше е или р авное 2. Есл и р — 2, то

система называется двоичной , если р = 3 — тр оичной , если р = 8 —

вось меричной, если р = 10 — десятичной (ин огда говорят десяте

ри чной по аналогии с др угими систе мам и) и т. д.

Как записать число в системе с ос новани ем р?

В десятичн ой системе д ля запи си чисел используе тся 10 зн аков

(с имво лов): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Очеви дно, в двоичной сист еме

это м ожно сделать с помощью д вух зн аков, на приме р 0, I; в т ро ич

ной на до 3 зна ка, ими могут быть 0, 1 и 2 ; в вос ьмеричн ой —

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Воо бщ е д ля запи си чис ел в системе

192

счисления с о сновани ем р необ ходимо р символов: 0, 1 , 2 , р — 1 .

Заметим , что для запи си чисел в системе счислени я с о снова

нием р мы пр едлагаем т е же символы , которы е исп ользую тся в

Десятично й с ис теме счисления, хотя м ожно ис пользо вать и дру гие

Знаки — важно, чтобы их количе ство равнялось р.

О п р е д е л е н и е . Записью на тур ального числ а х в систе ме

счисления с о снование м р называется его пред ста вление в ви де

x = a n-p n+ a n- i р п~ х + ... + а ( -p + a 0, где а„, а „ _ ,, а 0 принимают

значения О, I, 2, 3, р — 1 и апФ 0.

Тот факт, что л юбое натурал ьное число х мо жно за пис а ть

в таком виде единственным о бра зо м, мы примем без д о каза т ельства.

Вм есто представления числа х в виде x = a„*p', + a „ _ i р"- 1 +

+ ... + a i " p 4- a 0 пр иня то пи сат ь короче: х — а пап- i...aiao.

‘ Н апример, в т роичной системе, т. е. при р = 3, сумма 2 -3 3+

+ 1 32+ 0 *3 + 1 представл яе т собой за пись не ко торого чис ла х, ко

то рое можно за пис ать короче: x = 2 1 0 i 3.

Заметим, что данное число сл едуе т чит ать так: « Два, один, нуль,

один в троичной с ист еме счисления».

Н аибол ее экономной в пл ане ис пользования разли чных зн аков

д ля запи си чисел является дво ичная система счислен ия — в ней д ля

этих целен нужно всего два зна ка 0 и 1. В этой сист еме к ратка я

за пись числа предста вляет собой конечную по следователь ность из

нулей и единиц. Н апример: 1011г = I -2 3+ 0 - 2 2+ 1  1 0 + 1, 100012 =

= 1 - 24+ 0 - 2 3 + 0 - 22+ 0 - 2 + 1.

С помощью этих двух циф р, используемых при за писи любого

числ а в двоичной с ист еме сч исления, можно охарактеризоват ь д ва

устойчивых состояния рад иоэлектронных э лементов. Напр им ер,

элект ронна я л ампа мож ет про пуск ать ток или не проп ускать . Это

свойст во рад ио элект ронных эле ментов и явл яется причиной того, что

имен но двоич на я сист ема сч ис ления о казал а сь наибол ее удобной для

вычи слитель ных ма шин. Друго й причиной ис пользования этой систе

мы, ка к мы скоро увидим, явл яется простот а выполнения на машине

а риф метиче ских действ ий на д чис лами, за пис анными в д воично й

системе.

—

Сравне ние чисел, запи с анных в системе счисления с основан ием р

(р=тИ0), вы по лняет ся так же, ка к и в дес ят ич но й системе. Так,

210 1 з < 1 2 1 02з, поскол ьку при о динаковом количеств е разряд ов и со в

па дении т рех ци фр с тар ших р азрядо в циф ра младшего разряда

первого ч ис ла мень ше цифры т ак ого же р а зряда второго числа.

В с вяз и с использов анием ЭВМ, вып олняющих вычисления в

двоичной и д ругих сист емах, возн ика ет за д а ч а перехода от з а

писи чис ла в д есятичн ой систе ме к записи в другой и наоборо т:

вед ь математ ик, использующий ЭВМ для реш ения той или иной

задачи, ведет вы числени я в десятичной сист еме сч исления.

I.

П е р е х о д о т з а п и с и ч и с л а в с и с т е м е с

о с н о в а н и е м р к з а п и с и в д е с я т и ч н о й с и с т е м е .

П усть число х за писано в сист еме с числени я с основ анием р:

x — a„an~\...aiao. Его мо жно за пис ать в виде мн огочле на а „-р" +

7 З а каз 147

193

+ a „ - l - p n + ... + a ,- p + ao, где числа a„, an- 1, .... a ,, a 0 и p пред

ставл ены десятичным и записям и. Выполн ив действия на д этими чис-.

лами по пр авилам, принятым в д есяти чной системе, получим

десятичную за пись ч ис ла х. Напр имер, ч^обы найти д есятичн ую

запись числа 346g, пр едс тави м его в виде суммы 3 - 8 2+ 4-8 + 6

и на йд ем ее знач ение: 3 - 8 2+ 4 - 8 + 6 = 226. Следовательно, 346 =

= 226,о.

2. П е р е х о д о т з а п и с и ч и с л а в д е с я т и ч н о й с и с

т е м е к з а п и с и в с и с т е м е с о с н о в а н и е м р. Пусть

чис ло х за писано в дес ят ичной системе. П ред с тавит ь его в системе

с основани ем р — это зн ачит найти такие зн ачения a„, ................ао,

что x = an- pn+ a n- \ - p n~' + ... + а , -р + а 0, при чем 1 < а „ < р ,

0 < а „ _ , < р .......0 < а о < р .

О бра тим вн им ание на одну зак оном ерность. Числ о х = а п- рп+

+ а „ _ | р '1 -1 + ... + а | -р + ао м ожно з аписат ь в виде х = р- (а п- рп~ х +

+ a n- i  рп_2 + ... + а,) + ао. Так к ак 0 < а о - < р , то последнее пр ед

ста влен ие чис ла л: можно р ассматривать ка к запис ь деления с остат

ком ч ис ла х на р, где а0 — о ста ток, ап-р п~ 1 + a „ - t рп~ 2+ ... + а, —

не полное частное. Точно так же можно найти, ч то о , — это

оста ток, кото рый получает ся при де лении получен ного час тного на р,

и т. д.

Эта за кономерность и л е жит в основе про це сса пе рехода от

д есятичн ой запис и ч исла к записи в с ист еме с о снова нием р.

Д елим с остатком число х на р по правилам д ел ения в д е с я

тичной системе. Остат ок, который получае тся при делении, есть по

следняя цифра в за пис и числа х в с ист еме с основанием р.

Полу ченн ое ч аст ное снова де лим с остат ком на р. Новый

оста ток есть предпоследняя циф ра в записи числа х в системе

с основанием р. П род олж ая процесс д еления , на йд ем все цифры

в зап иси числа х в системе с основанием р.

Найд ем, нап ример, запись ч ис ла 89 в троичной сист еме счисле

ния, т. е. предст авим число 89 в ви де a*-3 n+ a n_ i З л _ ‘ -(-...-[-а, -3 +

+ а 0, где а„, ................ я,, а 0 пр ини мают значен ия 0, 1 , 2 .

Разд елим 89 на 3: 89 = 29>3 + 2. В р езуль тате дел ения найдено,

что ао = 2 , но коэ ффиц иент перед числом 3 больш е 2 , поэтому

д елим 29 на 3: 29 = 9 -3 + 2, т. е. 89 = (9 -3 + 2)-3 + 2 = 9 - 3 2+ 2 - 3 + 2.

П ри этом делении мы нашл и, что а\ = 2, но коэ ффициент при степени

З 2 б ольше 2, и по этому дел им 9 на 3: 9 = 3 -3 + 0, т. е.

8 9 = ( 3 3 + 0) З2+ 2  3 + 2 = 3 З 3+ 0 З 2+ 2 3 + 2.

Н а этом этапе мы уст ановили, что «2 = 0, но коэфф иц ие нт при

степени З3 б ольше 2, поэтому делим 3 на 3: 3 = 1 - 3 + 0, т. е. 89 =

= ( 1 -3 + 0)-33+ 0 - 3 2+ 2 -3 + 2 = 1 -34+ 0 - 3 3+ 0 - 3 2+ 2 -3 + 2. Вы

полняя последнее деление, мы не только наш ли аз = 0, но и у ста

новили ци ф ру старш его р а зр яд а а « = 1 . Поэт ому процесс деления

окончен. Мн ого член 1  34+ 0 -3 3+ 0 -3 2+ 2 -3 + 2 ес ть запись ч исла

10022з. Знач ит, 89,о=100223.

Описанный проце сс м ожно вести, вып олняя деление уголком:

194

89 1_3_

6___ 29 l_3

_ 2 9 27 _ 9 1_3

27 2 _ 9 _ 3 1_3

2

Записывая результат тако го дел ения, надо по мнить, что ци фра

ста рш его разряда — это последнее ч астное в цеп очке последо

ва тельн ых делений.

В нач альном курсе мат емат ик и не рассм атривают позицион ные

системы с числ ения,'о тличны е от десятичной. Н о учителю начальных

клас сов зн ания об эт их система х д олжны по мо чь л учше осв оить

осо бенност и дес ят ичной системы . Выполняя дей стви я с числа ми в

системе, отличной от деся тич ной, мы ок азыв аемся в положе нии

млад шего школьника, ов лад е ваю щего новой д ля него десятичной

систе мой сч исления.

Упраж нения

1. Сколь ко и ка кие цифры мо жно ис пользовать д ля за писи

чисел: 1) в пяте рич ной сист еме счисления; 2 ) в восьмерично й

системе счисления?

2. П редставьте число в виде суммы ст епеней основания с коэф

ф ици ентами:

1) 12013; 2) 43020s ; 3) 706528.

3. Ка кие из след ующих запи сей чисел могут быть за писями

чисел в вос ьмер ичной сист еме сч исления:

1) 734; 2) 1109; 3) 1101; 4) 36 927?

4. Установите, ка кие чис ла пр едс тавле ны след ующими много- ^

члена ми:

1) 2 -3 3+ 0 -3 2 + 1 -3 + 0;

2) 4 - 5 ' + 1-5 3+ 2 -5 2+ 3 -5 + 2;

3) 1 8!,+ 4 -83+ 7 -8 + 6;

5. Почему число 2101 з нел ьзя пр очита ть так: « Две тысячи

с то один»?

6. З апишите в д есятичной системе с чис ления числа: 158, 24 78,

1023, 1102, 451s.

7. З апишите в д воичной системе числа: 9, 29, 129, 2.

8. З а пишите в троичн ой систе ме счисления числа : 168, 345, 12з, 3.

9. Ср авните ч исла:

1) 2 10123 и 2 1 1003; 2) 2103 и 3445; 3) 1410 и 1110 2-

10. Как запишется в систе ме счисления с о снованием р (р=?М0)

ч ис ло рю?

195