69. Вычитание многозначных чисел

в десятичной системе счисления

Выч ит ание од но знач но го ч исла b из однозна чного или д вузнач

ного ч ис ла а, не прев ышаю щего 18, сводится к поиск у тако го

числа с, что а = 6 + с, и пр оис ходит с опорой на таблицу с ло жени я

однозначных чисел.

Если числ а а и Ь многозначны е и Ь < а , то смысл действия

вычита ния ост ается тем же, ч то и д ля вычитания в пределах 20,

но тех ника нах ождения р азности ста новится иной.

К ак известно, мно гозна чные числа вы читают «столбиком». Вы яс

ним, ка ковы теоретические основы это го алгоритма.

Рас смотрим р азно сть 769 — 547. П редставим д анные числа в виде

сумм степеней д есяти с ко эфф ициент ами: 769 — 547 = (7  Ю2+

4 -6 -10 + 9) — (5 - 102+ 4 -1 0 + 7). Чтобы вычесть из ч ис ла 7 -102+

+ 6 -1 0 + 9 сумму 5 - 102+ 4 - 10 + 7, дос тато чно вычесть из нее каж дое

с лагаем ое одно за дру гим, поэтому можно запис ать : (7 -102+ 6-10 +

+ 91 — 5 - 102— 4 -10 — 7.

Бу дем теп ерь выч ит ать из сум мы 7 -1 0 2+ 6-10 + 9 ч ис ла 5* 102,

4 -10, 7. Что бы вычесть чис ло из су ммы, д ост аточно вычесть его из

какого-н ибудь одного с лагаемого. Поэтому число 5*1О2 вычтем

из с лагаем ого 7 - 102, чис ло 4 -10 — из слагаем ого 6 -1 0, а число 7 —

из слаг аемого 9:

(7- Ю 2— 5 - 103) + (6 - 10 — 4-10) + ( 9 - 7 ) .

Н а основа нии р аспреде лительного с войства умножения отно си

т ель но вычитания выносим за ско бки 102 и 10 :

( 7 - 5 ) - 1 02+ (6 — 4)  10 + (9 — 7).

Видим, что вычита ние д анных чисел 769 и 547 с ве лось к вычи

тан ию однозначных чисел, изо браж енных ци фрами соответ ствующи х

р азрядов . Р азности 7 — 5, 6 — 4, 9 — 7 находим по таб лице сл ожени я:

2 - 102+ 2 - 10 + 2.

П олученное вы раж ение ес ть десятичная за пись числа 222. Сле

дова тельно, 769 — 547 = 222.

Вообще пр авило вы читания « столб иком» о сновывае тся на:

спо собе запи си чисел в десятично й с ист еме счисления;

пр авилах вычитания числ а из суммы и суммы из чис ла;

р аспре дел ит ель ном зак оне ум но жен ия относител ьно вы читания;

т а блице сложени я о днозначны х чисел.

П о кажем , что и в том с лучае, ко гд а в каком-н иб уд ь р азряде

у мень шаемого с тоит одн означное число, м еньшее числа в том ж е

р а зряде вы читаем ого , в основ е правила вычит ания л е ж а т т е же

теоретические ф акты. Р ассмотр им, напри мер, р азность 5 4 0 — 126.

П р едставим данны е числа в ви де сум м степеней 10 с к оэффици

е нт ами: ( 5 - 102+ 4 - 10 + 0) — (1  10 2+ 2 -10 + 6).

Так к ак из ч исла 0 не льзя вычесть 6, то вы пол нить вычит ание,

180

т а к же как и в первом случ ае, не во змож но. Поэтом у возьмем из чис ла

540 один десяток и пред ставим его в виде 10 единиц:

( 5 - 102+ 3 - 1 0 + 10) —(I  102+ 2 - 10 + 6).

Если теперь воспользуемся прав илами вычита ния суммы из ч исла

и числа из суммы, то придем к вы ражению

( 5 -102— 1 -102) + (3*10 — 2 - 1 0 ) + (1 0 —6).

Примени м рас пр еде лительный закон ум ножения относитель но

вы читани я и, воспользовавшись таб лицей с ложения , по лучим:

( 5 - 1) -1 02+ (3 — 2) -10 + (10 — 6) = 4 -1 02+ 1-10 + 4 = 414.

В общем виде а лгоритм вы читания многозн ачны х чисел, за пи

санных в д есятичной сист еме сч исления, форму лируется так. П уст ь

зада ны ч ис ла

х = оП' 10я+ . .. + fli  10 + ао,

у = bk  10*+ . .. + fci  10+ fco-

1. Записываем вы читае мое под умень шаемым так, чтобы соответ

ствую щие разряды на ходил ис ь д руг под д ругом.

2. Если цифра в разр яде единиц вы читаемого не превосход ит

с оответс тву юще й цифры уме нь шаемого, вы читаем ее из цифры

уменьша емого, после чего переходим к сл едующему разряду .

3. Если ци фра един иц вычита емого б ольш е цифры единиц умень

ша емого, т. е. а о<Ь о , а цифр а д есятков умень шаемого отл ична

от нуля, то ум еньша ем цифры д есятков умень шаемого на 1 , одн о

временн о у величи в цифр у ед ини ц у мень шаемого на 10, после чего

вычитаем из числа 10 + а о число b о и записываем рез ульта т в разр яде

е диниц разно сти, д алее переходим к следующ ему разр яд у.

4. Если ци фра единиц вычитаемо го б ольше цифры единиц умень

шаемого и цифры , стоящие в разряде д есятков, сотен и т. д.

уменьшаем ого, равны нулю, то берем первую, отличную от нуля

цифр у в у меньша емом (пос ле разряда е диниц), у меньша ем ее на 1,

все циф ры в младших-разрядах до р а зр яда десятков включи тельно

увеличиваем на 9, а ци фру в р а зр яд е единиц — на 10, вычитаем

Ьо из 10 + ао, за писываем рез ульта т в р азряде ед иниц разности и

переходи м к следующ ему разр яду.

5. В следующем разряде повт оряе м опи санный процесс.

6. П роцесс вычита ния за канч ивает ся, когда произво дится вы

читание из старшег о р азряда ум ень шаемого.

В начальном курсе ма тематик и прав ило вычита ния многознач

ных чисел фор мулиру етс я при изучении письм енног о выч ит ания трех

знач ных чисел. Э тому пр авилу и запис и вычитания «столбиком»

пред шеству ет объяснени е конкретного с лучая:

485 - 231 = (400 + 80 + 5) - (200 + 30 + 1 )= (4 0 0 - 200) + (80 - 30) +

+ ( 5 - 1) = 200 + 50 + 4 = 254.

Об оснуем кажд ый шаг вы полня емых преобразов аний.

181

Снач ала числа 485 и 231 представ ляются в виде сумм р а зр яд

ных слага емых (т. е. использу етс я представле ние числ а в десятич ной

системе счисления). Зат ем из сотен первог о числа вычи таются

сотни второго, из д есятков — д есятки, из единиц — единиц ы, что

во зм ожно на основан ии правил вы читани я иззчисла суммы и чис ла

из суммы. Действи тельно:

а) на основани и прав ила вычита ния из чис ла суммы:

(400 + 8 0 + 5 ) - 2 0 0 — 3 — 1;

б) на основ ании пр авила выч ит ания числа из суммы:

(400 - 200) + (80 - 30) + (5 - 1).

Разн ост и в скобка х на ход ят ся с опорой на таблицу с ложения

од но значных чисел.

Выр ажение 200 + 50 + 4 есть .с умма разр яд ны х слагаем ых, поэ

тому его можно за пис ать в виде 254.

Таким обр азом, вы читание из числа 485 числа 231 свелос ь к

пор азрядному вы чит анию ед иниц, десятков и сотен, что удобно

д ела ть, за пис ав данн ые ч ис ла «столбиком»:

_ 4 8 5

231

254

Упражнения

1. Н а примере вы читания чисел 875 и 528 покажите, какие

теорет ически е факты л е ж а т в основе агоритм а вы читани я много

зн ачных чисел.

2. При изучении а лгоритма вычитания тр ехзначны х чисел в н а

ч альной школе по следователь но р ассма три ваются с луча и выч ита

ния: 5 6 3 - 3 2 1 , 5 4 0 - 2 3 6 , 8 7 5 - 5 2 8 , 8 2 6 - 3 5 1 , 7 2 5 - 2 5 6 . Каковы

особенно сти вычитания в кажд ом из этих сл учаев?

3. Объясните, почему ни жеприведе нные за дач и решаю тся вы чи

танием, и решите их:

1) И з двух городов, на ходящихся один от д ругого на рас стоя

нии 986 км, вы шли на вс тречу друг другу два поезд а. Од ин из них

прошел до встречи 425 км. Скол ько километ ров прошел до встречи

второй поез д?

2) С первого уч астка полу чили 380 т пшеницы, со второго

на 127 т меньше, чем с первого. Ско лько тони пшен ицы получили

со вто рого участка ?

4. Выч ислите устно значен ие выражен ия, использо ва нны й прием

обоснуйте:

1) 7 5 4 9 - ( 1 0 2 0 + 2549);

2) ( 9 5 4 7 + 2 3 9 5 )- 7 5 4 7 ;

3) ( 3949+502 7 + 4843) - (2027 + 384 3).

5. Найдите на иб олее р ационал ьный способ вы числ ения:

182

1) 8 0 3 4 + 4 7 2 - ( 3 4 + 472);

2) 1 7 4 3 - 2 9 5 + ( 2 5 7 + 295).

6. Срав ните выр аж ени я:

1) 6 3 8 7 - 1 4 8 6 - 8 2 1 и 6387 —(1486 + 821);

2) 5 2 4 7 - ( 4 5 2 4 -2 8 0 5 ) и 5 2 4 7 - 4 5 2 4 - 2 8 0 5 .

7. Решение за д а чи запишит е в ви де числового выра жения , а

за тем на йд ите его значение:

1) В цветочный магазин при ве зли 465 кустов цветочн ой р а с

сады. Утром прода ли 43 кус тика, а днем 122 куст ика. Сколь ко

куст иков рассады о сталось продать?

2) П очтальон р азнес утром 350 писем, днем на 35 писем меньше,

а вечером на 112 писем меньше, чем днем. Ско лько писем почта льон

разнес вечером?

3) На э лева тор доста вили в перв ый день 897 т пшеницы, во второй

д ень на 135 т больше , чем в первый, а в тр етий день на 76 т меньше,

чем во второй день. Сколько тон н пшен ицы доста вили на э лева тор

в третий день?

4) С одного поля с об рали 9000 кг карт офеля, с д ругого — на

1320 кг меньше. Ко гда с каждо го пол я часть ка рто феля увезли ,

на первом поле о стало сь 2360 кг, на втором 2100 кг. С каког о

пол я увезли кар тоф еля бол ьше и на с колько ?

5) И з двух город ов, рас тоян ие межд у кото рыми 846 км, выш ли

навс тречу д руг д ругу дв а поезд а. Ка кое рас сто яни е будет м ежду

поезда ми, когд а один пройдет 324 км, а д ругой 286 км?

8. Решите арифм етиче ским способ ом задачи:

1) В первой биб лиоте ке 6844 книги, что на 959 книг мень ше, чем

во второй, а в т ретьей на 2348 книг меньше , чем в первой и второй

б иб лиоте ках вместе. Сколько книг в трех б иблиотеках?

2) Н а одном зав оде 7216 раб очих — это на 1867 человек б оль

ше, чем на втором, а на тре тье м на 874 ч еловека больше, чем на

первом и втором за во д ах вместе. Сколько раб очих на трех заво д ах?