68. Сло жение многозначных чисел
в десятичной системе счисления
Выясним, как на пра ктике вып олняется с ложение на тура льны х
чисел.
Ес ли чис ла а и Ь од но знач ные , то, чтобы на йт и сумму, достато ч
но сосч итат ь число элемент ов в объединении таких м но жеств А й
В, что п (А) = а, п (В )= Ь и А П В = 0 . Но чтобы всякий раз, выполняя
с ло жение так их чисел, не обр ащаться к множест ва м и счету, все
су ммы, которые получаю тся при с ложени и д вух однозн ачны х чи
сел, за по мина ют.
Вс е таки е суммы запис ыва ют в осо бую таблицу, кото рая на зы
ва етс я таб лицей сложения о днозначных чисел.
Если числ а а и Ь мно го значные, то смысл дейс твия с лож е
ния сохраняется и здес ь, но техн ически найти с умму путем пере
счета элеме нто в в объе дине нии непе ресекающихся множеств А и В,
т аких, что п(А) = а, п(В) = Ь, ч ащ е всег о не пр едс тавл яется во з
можным.
Как известно, многозначны е числа склады вают «ст олбико м». Но
каковы
теорет ически е пол ожени я, которые
л е ж а т в основе этого
П р ави ла?
Ра ссм отрим су мму 273 + 3526. Предста вим слага емы е в виде сумм
степеней десяти с ко эфф ициент ами: 2 7 3 + 3 5 2 6 = (2 -102+ 7 - 10 + 3) +
+ (3 103+ 5 - 10 2+ 2 10 + 6). Рас кроем ск обки в полу ченном выра
же нии, поменяем ме стами сла гаемые так, чтобы единицы оказались
; рядо м с един ицами, десятки — с десятками и т. д., и за ключим
их в скобки. Все это можно с делат ь на основани и с оответств ующ их
законов с ложе ни я. Дейс твительно, с очет ате льны й закон р азрешает
записать выражение без скобок: 2 - 1 02+ 7 10 + 3 + 3 - 103+ 5 -1 02+
+ 2 -1 0 + 6. Н а основани и пер емес тит ельног о за ко на по меняем ме-
ста ми слагаемые: 3 - 103+ 2 -1 0 2+ 5 - 102+ 7 - 10 + 2-10 + 3 + 6. С оглас
но с очетательному закону пр оизвед ем гру ппи ровку: 3- 103+ ( 2 - 102+
+ 5 - 10^ + ( 7 - 10 + 2 - 10) + (3 + 6). Вынесем за скобки в первой вы
деленн ой группе чис ло 10 , а во второй — 10. Это мо жно с делать
в соответствии с рас пределительным за коно м ум но жения от носи
тельн о сложения: 3- 103+ (2 + 5)- 102+ (7 + 2 ) -1 0 + ( 3 + 6). Видим, что
с ложение данных чисел 273 и 3526 с ве лось к с ложению о днозна ч
ных чисел, изо браж енных цифрам и соот ветствующих р азрядов. Эти
суммы находим по т аблице слож ения: 3 -1 0 3+ 7 102+ 9-10 + 9.
Полученн ое выр а жение есть д е сятич ная за пи сь числа 3799.
Вообще, изв естное пр авило сложени я чисел «сто лбиком» осно вы
ва етс я на:
способе за писи чисел в дес ятичной системе сч исления;
перем еститель ном и со четательно м за ко нах сложения;
распределите льном закон е ум ножени я отно ситель но сло жени я;
табл ице с лож ения од нозн ачных чисел.
Покажем, что и в том случ ае, когда сум ма о дно значных чисел
с танови тся равной или боль ше 10, в основе правила с ло жени я л е
ж а т те же теорет ич еские ф акты. Р ассмотрим, напри мер, сумму
248 + 936.
П редставим слагаемые в виде сумм степе ней дес яти с ко эффици
ентами:
(2 102+ 4 10 + 8) + (9 102+ 3 10 + 6).
;
Воспольз уемс я зак онами сло жения, распре делит ель ным за коно м
умножени я относитель но сло жени я и пре обр азуем да нное выраж ение
к т акому виду: (2 + 9 )-1 02+ (4 + 3)- 10 + (8 + 6).
Видим, что и в этом случае с лож ение данн ых чисел свелось
к сл ожению од нозн ачны х чисел, но суммы 2 + 9,' 8 + 6 превыша ют
чис ло 10, и поэтому по лученное выра жение не яв ляе тся десятичн ой
за писью ка кого-то числа. Необходимо сделать так, чтобы к оэф
фициенты перед ст епенями 10 оказал ись м еньше 10. Д ля этого
выполним ряд пр еоб разований. Снач ала су мму 8 + 6 представим
в вид е 10 + 4:
(2 + 9 ) - 102+ (4 + 3)- 10 + П 0 + 4).
177
Тепер
ь, воспо льзо вавшись за конами с лож
ения и умножения, при
ведем по лученное выр ажение к виду
(2 + 9 ) - 102+ (4 + 3 + 1)-10 + 4.
Су ть посл еднего преобразо вания ясна: дес ято к, который по лучил
ся при с ложении ед иниц, мы прибав ил и к д есяткам д анных чисел.
И након ец, пре дст авив су мму 2 + 9 в виде 1 -1 0 + 1 , получаем:
(1 1 0 + !) 102+ 8 * 10 + 4, откуда
1 10 3+ 1 -102+ 8 -10 + 4.
Пол ученное выр аж ение есть д есятичная запи сь числ а 1184. Сле
д овательно, 248 + 9 3 6 = 1 1 8 4 .
В об щем ви де а лго рит м с ложения многозначных чисел, за пи
санны х в десятичной системе сч ис ления, ф ормулиру етс я так:
1. Записываем второе слагаемое под первым так, чт обы соот ве т
с твующие разряды находили сь д руг под другом.
2. Скл адываем цифр ы р а зр яд а единиц. Ес ли сумм а меньше
д есяти , ее записываем в р а зр яд единиц отве та и перех одим к след ую
ще му р азряду (десят ков).
3. Если с умма цифр е диниц б ольше или р а в н а '10, то пр едстав
ляе м ее в виде 10 + со, где со — однозначное число; запи сыва ем
Со в р а зр яд единиц ответа и прибав ляем 1 к циф ре дес ятков
первого слагаем ого, после чего переходи м к р а зр яд у дес ятков.
4. П овт оряем те же д ействия с десят ками, потом с сот нями
и т. д. П роцес с заканчиваем, когда ок азываютс я слож енными цифры
с тарш их р азрядов.
В на чал ьном курсе мат ематики прав ил о с лож ения многознач
ных чисел, по с уществу , фор мулируется при изучении письменного
сложения тр ехзначны х чисел. Э тому правил у и за пис и сл ожени я
«столб иком» предшествует об ъяснение конкре тного с лучая:
246 + 123 = (200 + 40 + 6) + (100 + 20 + 3 )= (20 0 + 1 0 0)+ (4 0 + 2 0 )+
+ (6 + 3) = 30 0 + 60 + 9 = 369.
Обос нуе м каж дый шаг вып олняе мых пр еобразований .
Снач а ла чис ла 246 и 123 пр едста вляются в виде суммы р азряд
ных с лагаемых (т. е. использу етс я, по существу, способ за писи чисел
в дес ят ич но й системе с числения). Сле дующий этап — к сот ням при
б а вляю тся сотни, к десяткам — десятки , к е диниц ам — единицы, что
возможно, если говори ть школьны м языком, на основа нии прави ла
прибавлени я су ммы к сумме, которое явл яе тся сл едс твие м пере
м естительно го и сочетательного за конов сл ожени я. Затем на ходятся
су ммы в ско бках. П оскольку с лагаемые яв ляются т ак назы ваемыми
круглыми числам и, т. е. оканчива ются нулем, или одноз на чными
числ ами, к ак в последней скобке, т о их сл ожение происходит с опо
рой на таблицу сложе ния одно зна чных чисел. Выражен ие 300 + 60 +
+ 9 е сть су мма разр ядных с лагаемых (т. е. явл яется десятичной
за пи сью числ а), поэтому его можно за пис ать в виде 369.
Так
им об разом, с ложение данн ых чисел
2 46 и 123 све лось к по
разряд ном у сл ожени ю единиц, десятков и сотен, что удобно д е лать
«столбиком»:
, 246
+ 123
369
Упражнения
1 . Н а прим ере слож ения чисел 237 и 526 покаж ите , ка кие т ео
ретическ ие ф акты л е жат в ос нове а лгор итма сложения много
зн ачны х чисел.
' ■
2. Пр и изучении а лгоритма сложения трехзначных чисел в н а
ч альной школе посл едо вате льно р ассматриваются случаи сло жения
231 + 3 4 2 , 4 2 5 + 1 3 5 , 237 + 526, 529 + 299. Каковы особенности с ло
жения в каждом из них?
3. Объ яс ните , почему ни жеприведенные задачи решают ся слож е
нием, и ре шит е их:
1) В колх озе 115 лошадей, 327 свиней и 276 коров. Сколь ко
все го голов скота в колхозе?
2) И з двух городо в вышли навстречу друг д ругу д ва поезда. Один
из них прош ел до встр ечи 266 км, д ругой 187 км. Найти р асс тояние
межд у городам и.
3) М агазин продал 308 тетрадей в клет ку, что на 153 тетради
меньше, чем в линейку. Сколько тетрадей в лине йку продал м агазин ?
4. Выч ислите устно зн аче ние выра жения . Использо ва нн ый прием
обоснуйте:
1) 2746 + 7254 + 9876;
2) 7238 + 8978 + 2762;
3) (4 7 2 9 + 8 4 7 3 )+ 5271;
4) 4232 + 7419 + 5768 + 2591;
5) (357 + 768 + 589) + (332 + 2 1 1 + 643).
б. К а кая с умма боль ше: 4096 + 5267 + 2307 + 625 или 3805 +
+ 6341 + 1 9 1 1 + 2 16?
в. Реш ение задач и за пи шите в виде числового выражен ия, а
затем найдит е его зна чение:
1) В одну шк олу прив езл и 298 парт, а в другую — на 123 парты
больше. Сколь ко па рт при ве зли в обе школы ?
2) В июне в с анатории было 158 рыбаков с Д альнего Востока,
в июле — на 36 ч еловек больше , а в августе — на 217 человек
бо льше , чем в июле. Ско лько всего рыбако в отдохнуло за эти три
месяц а?
3) И з двух город ов выш ли навстречу дру г другу два по езда.
Один из них прошел д о встречи 227 км, это на 64 км меньше, чем
прошел д ругой. Н айти р ассто яни е межд у городами.