66. О возникновении и развитии способов записи

целых неотрицательных чисел

Как давно люди пользуются десятичной системой запи си чисел?

Историки считают, ч то десят ичная систе ма сложилась в Индии при

мерно в VI веке н. э. У индийцев ее за имствовал и арабы , а в Евро пе

десятичная система полу чила р аспростра нение в X— XIII века х.

А ка к записы вали люди чис ла до возн икновени я десятичной

с исте мы сч исления?

П онятие числ а возни кло в глубокой д ревн ости. Тогда же воз

никла необ ходимость в записи чисел. Е ще д о появ лени я пись мен

ности люди умели на зы вать числа, вести счет. В этом им помогал и

р азличны е приспос обления, и пре жде всего па льц ы рук и ног. У пот

р еблялся и такой вид ин стр умента льного счета, как д ере вянные

па лочки с за рубка м и, шнур ы и веревки с узлами. Конечно, способ

169

«запи си» чисел при помощи за рубок или узлов был не слишком удоб

ным, поскольку д л я за пи си боль ших чисел приход ил ось д ела ть

много за рубок или узло в, что за труднял о не только запи сь, но и

сравнение чисел друг с др угом, трудно было вып ол нять и дейс твия

над числами. П оэтому возникли иные, более экономн ые способы

зап ис и чисел: сч ет с тал и вести групп ами, с ост оящими из одинако

вого ч ис ла элементо в. Э тому способствовало разв итие с чета при

помощи пальцев рук и ног. П е рех од чело ве ка к па льцевом у счету

привел к с озданию р азл ичных систем счисления: пятери чно й, д е ся

тично й, двадцатерич но й и др .

Во обще с амой ст арой системой сч исл ения с чита етс я д во ичная.

Она возникла, когд а человек вел счет не по па льцам , а при помощи

рук, т. е. когда ед иницей низшего р а зряда явл ял ась одна рука ,

а единицей высшего — две руки. След ы этой систе мы сохр анил ис ь

и с егодня — они выражаю т ся в стремл ении счи тат ь па рам и.

П ост епенно под вл иянием растущ их экономически х по требност ей

ч еловеч ест во с оздав ало методы счета . П роцесс этот был стихийным

и долгим. Н ачинался он в д але кие време на, когда люд и вы рабаты

вали пер вые м атематичес кие понятия, и в частности поня тия нату

ральн ого числа и счета.

И х д аль не йшее разви т ие происходило в эпоху ф ор мирова ния

древне йш их гос ударс тв — Вавилона, Ег ипта, Кит ая и др., т. е. около

пяти тысяч лет то му на за д . В этот период были созданы новые

спос обы записи чисел.

В Древнем Вавилон е с читали групп ами по ш естьде сят, т. е. сис

тем а с числения зд есь была шестидесят ерична я. Н апр им ер, число 137

вавилонс кий м ате мат ик представ лял се бе так : 137 = 2 -6 0 + 1 7 .

Конечно, записы ва лос ь это число другими зна ками — треу гол ьными

кл иньями . Д ело в том, что записи древние ва вило нян е произв одили

на глиня ных табличк ах путем выдавливания из них т реуголь ных

кл иньев. Потом эти т аблички суш или и обжигали.

Д л я записи чисел ис пользовали сь поло жени я клина : вертикаль

ное — острием вниз и горизонт альное — острием влево. При этом

зн ак * о зн ачал единиц у и шест ьде сят , знак « — дес яток.

Другие числа изо бражались при помощ и этих зна ко в и д ействи я

сложения. Н апример, число 5 изо браж а лось т ак: V /

а число 137 так: »»чт|5 . П оследняя запи сь есть за пис ь чис ла

в шест ид есяте рич но й системе: 60 + 6 0 + 1 0 + 7 = 2 * 6 0 + 1 7 .

О д нако из обре тенн ая в Д рев не м Ва вил оне за пись чисел имел а

недос татк и: в ней тру дно был о изо б раж ать бол ьшие чис ла, не было

специ ального зна ка для о снова ния систе мы счисления — числа 60,

что привод ил о к разночтени ю отдельных записей.

П очему в основу своей сис темы счисления ва вилоняне положили

число 60? О днозначн о о тветить на этот воп рос трудно. Отметим

то лько , что древн ие ва вил оняне р асполагали д ост аточ но боль шим

за па сом зн аний в р азличных областя х: мат ем атике , ас трономии.

Сущес твует предположение, что основой д ля с озда ния шест ид есяте

ричной системы счисления послужило д елени е окружност и на 360

170

l - i . 1 0 - Л , ю о - С , юоо i

Рис. 118

равны х ча стей, которое, в свою очередь, б ыл о произвед ено ими

в со ответ ствии с разделением год а на 360 дней.

О ста тки этой системы сч исления с охра нились и по сей день:

к делению о кружности на 360° мож но добавить ещ е изм ерени е

углов гра дус ами, мин утами и се кундами.

Древние египтя не сч итали д есятками. Но спе циальные знаки у них

были тол ько для разрядов : единиц, д есятко в, сотен, тысяч "и т. д.

Числ а от одного д о дев ят и записы валис ь с помощью палочек

(рис. 118).

'■

Н апример, чис ло 122 е гиптяне записы ва ли так: (°f|f ||| . а число

1314 имело вид 1 С*(?^П ИП 

Записи произво дились преимуще ственно кр асками на папирусе.

И ногда же материа лом для записи с лужили камень, дер ево, кож а,

холст , черепки. Текст записывал с я строками спра ва налево или

с толб ца ми свер ху вниз.

Некоторые из египет ских па пирусов с охранил ись до наших дней.

Один из них, т ак на зыва емый «Московский ма тематич еский па

пирус», хранит ся в Г осударственном муз ее изобр азит ельных ис

кусств им. А. С. П уш кина в Мос кве и дат иру ется 2000 — 1800 годами

до н. э.

И нтерес но зам етить, что дейст вие умноже ни я вы полнялось егип

т яна ми путем удвоения. Напр им ер, чтобы ум но жить 15 на 17, над о

б ыло пр оизвести с лед ующие д ейс твия:

15-(1 + 2 * 2 - 2 -2 ) = 15* 1 + 1 5 - 2 .2 - 2 - 2 = 1 5 - 1 + 3 0 - 2 - 2 -2 =

= 15 + 6 0 -2 -2 = 1 5 + 1 2 0 - 2 = 15 + 240 = 255.

Де йствие д елени я рас с матрива лось как дейс твие, обратн ое у м

нож ению , т. е. подб иралось так ое число, которо е при умно же нии

на д елитель д а вало бы дел имое.

Воо бще древние египтя не и вавилоняне вл аде ли д остаточ но

большим объемом ма тема тичес ких знаний, но все они были преим у

щест ве нно опытного характера. По существу, о тсутствовали обо бще

ния и д оказа тельст ва , т. е. математическая наука т олько склады

валась.

Бол ьшой вклад в ее дальн ейш ее раз вит ие внесли ученые Древн ей

Греции: Ф але с (6 24—547 гг. до н. э .), Пифагор (ок. 5 80—500 гг.

до н. э .), Д емокрит (ок. 4 60—370 гг. д о н. э .), П лат он (42 7—347 гг.

до н. э.), Евкли д (ок. 300 г. до п. э.), А рхимед (ок. 2 87—212 гг.

до н. э.), Эра то сфе н (ок. 27 6— 194 гг. до н. э.) и др. Это це лая

эпоха в истории и развитии учения о числе 1

Мы отметим т олько, что в Дрогшей Гре ции родилась е ще од на

1 См. ли тер атуру: Б о л г а р с к и й Б. В. Очер ки по истории математики.—

Минск , 1974; Б е р м а н Г. Н. Число и наук а о нем .— М.. I960; Д е п м а и И. Я. Мир

чи сел.— М., 1975.

171

сист ема за писи чисел — а лфавитная. В ней числ а изо бражались

буква ми греческого а лфавита. Первые девят ь б укв алфавит а изо

б р а жали ч ис ла от 1 д о 9, следующ ие девять — деся тки (10, 20,

30, ..., 90) и последние д ев ят ь — сотни (100, 200 ........ 900). Д ля

того, чтобы отличит ь чис ла от записи с л о в,Л а д чис лами ставилась

черт а. Например, в этой с ис теме число 543 записы ва лос ь так:

<рцу (ф — 500, ц — 40, у — 3). Д л я изображ ения чисел, больших

тысячи, употр еблял ис ь д ополнительные символы.

Д ве с небольшим тысячи лет тому н азад почти все страны

З ападной Европы и многие страны Азин были покорены древн ими

римлянами. О риентация на зах ватни чес кие войны пр иве ла к тому,

что в Римской империи м атематика не развивалась, она ис по льзо

ва л ась только д ля практических целей. И з того немногого, что о с та

вил Др евний Рим, это е ще од ин способ запи си чисел. В римской

системе счисле ния так же, как и в д ревн ееги пе тской, есть узловые

числа:

ед ини ца — I

пять — V

десять — X

пя тьдесят — L

сто — С

пят ьсот — D

т ысяча — М

Все дру гие числа пол учаются из узловых при пом ощи дву х

арифме тических дейс твий: сложения и вычитани я. Вычита ние пр о

изв одитс я то гда, когда зн ак, с оответ ствующий меньше му узловому

числу, стоит пе ред зна ком б ольшего узлового числа. Нап ример,

IV — че тыре ( 5 — 1 = 4 ), ХС — девяносто (1 0 0 — 10 = 90), XL —

сор ок (50 — 10 = 40).

Запиш ем не сколько чисел в ри мской нумера ции.

165 — это сто (С) плюс шест ьде сят, т. е. пятьдесят плюс

дес ят ь (L X ), плюс пять (V), сл едо вате льн о, число 165 записывается

как CLXV.

374 — это тристд . (СС С) плюс семьдесят, т. е. пятьдесят плюс

2 р а за по д есять (LX X), плюс ч етыре (IV), сле доват ель но,

374 записы вается так : CCCLXX1V.

Ч исла четырех-, пяти- и шест изн ачны е записы ваются с помощью

бу квы m (от лат. сло ва mil 1е — т ысяча), слева от которой за пис ы

ва ются тысяч и; а с п р а в а — сотни, д есятки, ед иницы. Так, запи сь

X X IX ^C X X X V есть

за пис ь числа 29 635, а за пись

CXXXVIImDCC XLV явл яе т ся записью чис ла 137 745.

В V —XII веках зн ачит ель ное развит ие м ате матики проис ходило

в с транах Востока: в Индии и на Б лижнем Востоке.

В И нд ии и Ки тае м атема тика зародилась примерно пя ть тысяч

лет назад, т. е. т огда же, ко гд а и в Египте. Ученые- истор ики о тме

чают так же, что ин дийс кая наука и нау ка греческая был и взаим о

связаны. Но если у греков преимуществе нное развит ие получила

ге ометрия , то в Индии бо лее существе нны е резул ьтаты были полу

чены в об лас ти арифме тики, алгебры и тригономет рии. Особ енно

ценен вк лад индийских ученых в арифме тик у — они изобр ели

172

‘ . \

десятичн ую сист ему счисления, т. е. тот спосо б за писи и чтения

ч йсел , которым тепе рь польз ует ся все че лове чест во . Датируется

это с обытие VI в. н. э. В чем с ост оялб это открытие? Ве дь люди

с д ревних времен вели запись чисел.

Дело в том, что при так ом спосо бе за пи си чисел, кото рый при

д ум али индийски е математики, зна чени е кажд ой цифры в записи

чис ла зависи т от ее ме ста, позиции. Например, од на и та ж е ци фра

' 7 в ч исле 703 обозначает 7 сотен, в числе 72 — семь десятков,

а в числе 7230 — с емь *гысяч. О к азалось, что при пом ощи д есяти

цифр мо жно за писа ть любое число. П оэтому десятичную систему

счисле ния на зы вают поз иционной. Кром е того, в Индии "впервые

ста л упо треблять с я нуль для обозна чен ия от сутс твующ их р а зр я д

ных едини ц, что тож е сыгра ло бо льшую ро ль в усовершенств ова нии

за писи числа и упрощени и вычислен ий.

Конечно , пр ивы чная для нас за пись нуля появи лась не с разу.

Снач ала, если в числе не было ка кого-нибудь разряда, индийцы

вмес то названия цифр ы говор или сло во «пусто», а при записи на мес

те «пустого» р азряда ставили точку. П озднее вм есто т очки стали ри

с овать кр ужок, кот орый называл ся «сунья» , что на язык е хинди

зн а чит «пусто».

П ри пе реводе на ар абский яз ык слово «сунь я» превратило сь в

сло во «сифр», кот орое на русс ком языке звучит ка к « циф ра».

Ц ифрами мы называем все десять зна ков, используе мых д ля

за писи чисел: 0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Но еще двести лет на зад

цифрой на зы ва лся только один зна к — 0.

Ц иф ры, с помо щью которы х за писываютс я числа в десятичн ой

сист еме счисления, т ож е были придум аны матема тиками Др евней

Индии. Хотя, конечно, их пе рвоначальное на писание зн ачительно

отлича етс я от современн ого. Нынеш няя ф о рм а цифр уста новил ась

то лько после из обре тения книгоп еча тани я — в XV веке.

Поче му же циф ры, изобре тенн ые в И нд ии, часто на зы вают

ара бскими? Дело в том, что возн икш ее в VII веке на А рави йс ком

ро луос трове го суд арство а раб ов за двести лет подч инило с ебе

Значительное число госуд арств, с тоящ их на более высокой ступени

развит ия. В с ост ав А раб ского хал иф ата входили, наприм ер, С евер

ная И ндия , Ег ипет, Ср едняя А зия, Месопот амия , Персия, З а к а в

казье, Се ве рная Аф рик а и другие госуд арс тва. Стол ицей этого огром

ного гос ударст ва б ыл город Б агдад, которы й с тал центром а рабской

культуры'. А раб ы пон има ли значени е науки и тщ атель но со бирали,

из учали и пере во дили на свой язы к труды ученых завоеванных стран,

в то м ч исле Греции, И нд ии, Средней Азии.

О днако арабски е мат емат ики не то лько сохранили труды вы

дающихся ученых дре внос ти, но и внесли бо льш ой в клад в р азвит ие

математики.

Вы дающимся ученым IX ве ка был узб екский (хоре змс кий)

м атематик Му хам мед бен Муса аль-Х орезми. Его кн ига «Китаб

а л ь-Д жеб р», где изложены пр авил а реше ния ариф метиче ских за д ач

и у равнений, д а л а имя науке алгебре.

173

В д ругой своей книге а ль-Х орезми описал индийскую а рифме

тику , т. е. д есяти чну ю систему счислений, изобре тенную в Индии.

Трис та лет спустя, т. е. в XII веке, ее перевели на л атин ский язык

и она с тала первым учебником арифметики д ля всех европейски х

на родов.

-з

Вс лед стви е того что д есятич ную систе му счисления в с транах

Европы изучали по книге, на писа нной автором, ж ившим в Арабском

государст ве , индийские цифры д есяти чной систе мы ста ли непра

вил ьно на зы ваться ар абс кими ци ф рами.

Н ачиная с XII ве ка в З а падной Европе пос ле до лго го

застоя заро ждается интерес к мат емат ике , чему с пос обствует

рас ширени е торговли , кото рое повлекло за собой зна чител ьное

усложнение счета.

Ра спространению дес ят ич ной системы с числения в Европ е

с посо бствовала « Кни га а б ака» Ле о нардо Фибонач чи, изд анная

в 1202 году. С X III века на чина етс я вн едрение деся тич ной системы,

и к XVI веку она с тала повс емест но использовать с я в с транах

Западной Европы .

У пр ажнения

!. Запиши те в дес ятичной системе счисления: XXV II, XXI, XLIV,

LXII, LXXVIII, XCV, CDXXIII, M CD V II, MCDXIX, MDCCCLX XI.

2. Запиши те в ри мской сист еме счисления: 24, 49, 117, 204, 468,

1243, 1905, 1941, 1986, 2000.