§ 10. Запись целых неотрицательных чисел

И АЛГОРИ ТМЫ ДЕЙСТВИЙ НАД НИМИ

65. Запись чисел в десятичной системе счисления

Со вре менном у ч еловеку бук ва льно на ка ждом шагу приходится

иметь дело с числами. Поэтому мы дол жны уметь пр авильно на

зы ва ть и записы вать л юбое число, а т акже пр оизв одить на д чис

лами дейст вия . И как пр авило, мы успешно с правл яем ся с этим.

П омога ет нам тот способ запи си чисел, который в настоя щее время

ис пол ьзует ся повсеместно и который носит название дес ят ичной

систе мы счисления .

Воо бще системой счисления называю т язы к для наиме но вания,

записи чисел и выполнения действ ий над ними.

Как извес тно, в десят ичной с ист еме счисления д л я запи си чисел

исполь зу етс я 10 зн аков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, из них

образую тся конечные по след овате льности, которые явл яю тся кр ат

кими записями чисел. Напр имер, по след овате льнос ть 5457 явл яе тся

краткой запи сью чис ла 5 ты с .+ 4 с от.+ 5 дес. + 7 ед. Эту сумму

принят о записывать в т аком виде: 5 - 103+ 4  102+ 5* 10-(-7;

О п р е д е л е н и е . Де сятич но й за писью натурального числа х

на зы вается его представлени е в виде х = а „  10n+ a,,_t 

+ . .. +

+ <Ji-10 + a o, где коэфф ици енты ап, ап- \ , ..., а\, ао при нимаю т

значения 0, 1 ,2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9 и а„Ф 0.

Сумму ап 10" + a „ _ i  10" ~ 1 + ... + a i  10 + a o при нято записыва ть

кратко: апа п-\.. .а\ао.

Числа 1, 10, 10 2, 103, ..., 10" называют при так ом пр едстав

лении р азрядны ми единиц ами соответ ственн о первого , втор ого,

.... n + i-ro разряда, причем 10 единиц од ного р азряда со ста вляю т

1 ед иницу с лед ующего высшего р азряда , т. е. отношение соседних

разрядов равн о 10 — основанию системы сч исления.

Тр и первых разряда в запис и чис ла соедин яют в о дну группу

и называют первым классом или кла ссом единиц. В первый класс

входят ед иницы, дес ят ки, сотни.

Четве ртый, пятый и шестой разр яды в за писи числ а о бра зу ют

второй класс — класс тыся ч. В него входят единиц ы тысяч, десят

ки тысяч и сотни тысяч.

Зате м идет третий клас с — класс миллионов , со стоящ ий тоже

из трех разряд ов: седьмог о, вось мого, девя того, т. е. из единиц

миллионов, дес ятков миллион ов и сотен миллионов.

Пос ледующ ие три р а зр яда т а кже об разу ют новый класс и т. д.

Выде ление клас сов единиц, тысяч, ми ллионов и т. д. со зд а ет удоб ства

д ля записи и прочте ния чисел.

В д есяти чной сист еме с числени я все числа м ожно не только

пре дст авить в ви де а „ -Ю^ + а ,,- !  10"- 1 + ... + ai  10 + a o, где ап,

а „ _ | , ..., в |, а 0 принима ют значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а пФ 0,

но и всем им д ать на зва ние , имя. Это д ост игает ся следующи м

обр азом: имеются назван ия первых десяти чисел, за тем из них в со-

166

от вет ствии с о пред елением десятичной за пис и и пр иб авления е ще

немногих слов о бразуются наим енования пос ледующих чисел. Так,

числ а второ го д есятк а (они пред ставляютс я в виде Ь Ю -f-ao) о б

разую тся из со единения первых д есяти на зв аний и несколь ко из

мененно го слова «д есят ь* (« дцать»):

о д инна дцать — один на д есять ;

д ве надцать — д ва на д есят ь и т. д.

Может быть, ес тественнее было гово рит ь «два и де сять», но наши

предки пред по чит али говорит ь «д ва на десять», это и сох рани лось

в на шей речи.

Слово «двадцать» обо значает д ва д есят ка.

Н азвания чисел т ретьего д е сятка (это числа ви да 2*1 0 + ао)

получаю тся путем приб авления к слову « двадцать» назва ний чисел

перв ого десятка: д вадц ать один, д вад цать д ва и т. д.

П р одолж а я счет д алее, мы получим названия чисел четвертого,

пятого, шестого, седьмог о, вось мого, девятого и д есятого десят ков.

Н а зв ан ия этих чисел обра зу ются т а кж е, к ак и в пр еде лах т р еть

его десятка , то лько в трех случаях по явл яю тся новые сл ова:

сорок (дл я о бозначения четыр ех десятков), девяносто (дл я о б озна

чения девяти д есят ков) и сто (для обозн ачения дес яти де

с ятков).

Н а зва ния чисел, боль ших ста (т. е. чисел вид а 1  102-)-ai  10 + ao),

с оставляютс я из с лова «сто» и названий чисел первог о и пос леду ю

щего десятк ов. Таким путем по лучают ся наименов ания: сто один, сто

д ва, ..., сто д вад цать и т. д. О тсчитав новую сотню, мы будем

иметь д ве сотни, кот орые кр атко на зы ваю тся двести. Д л я пол уче

ния чисел, больших двухсот, мы снова воспол ьзуемс я названия ми ч и

сел первого и последующих д есятков, присоединяя их к слову « двес

ти». З а тем бу дем о тсч итывать последующие сотни и после кажд ой

новой сотни будем полу чать ос обое на зва ние: триста, четы реста,

пят ьсо т и т. д. д о тех пор, пока не отсчи таем десять сотен, кот орые

нося т ос обое название «тысяча» .

Счет за пред елами тысячи вед ется т ак: пр иб а вляя к т ысяче "

по единиц е (тысяч а один, тысяча д ва и т. д .) , получим две тыся чи,

три тысячи и т. д. Когда же мы от считае м т ыс ячу тысяч, то это

число по ручит особ ое назван ие «милли он». Д алее сч итаем миллио

нами д о тех пор, пок а дойдем до т ыс ячи миллионов . Полученно е

новое число — ты с яча ми ллионов — имеет особое на зва ние «мил

л иа рд». Милли он миллионов называется б иллионо м. В вычисле ниях

миллион прин ят о за писы ва т ь в виде 10е, м иллиард— 109, б ил

лион — 10 . П о а налогии можно получ ит ь записи еще б ольш их

чисел.

Таким о бразом, д ля того, чтобы назва ть все на тураль ны е

чис ла в пределах миллиа рда, по требова ло сь толь ко 16 различны х

слов: один, два, три, четыре, пять, шесть , семь, восемь, дев ят ь,

д есять , сорок, дев яносто, сто, тысяч а, миллион , м ил лиа рд. О с т аль

ные на зван ия чисел (в пре дел ах миллиарда) по лучают ся из

этих основных.

167

Д есятичная запись натур ального числа д ает еще один способ

с равне ния чисел.

Если числа х и у — на туральные числ а, запись которых вы по л

нена в д есяти чно й системе сч ис ления, т. е.

<з

У—= Ьт 1(Г + 6т —, 10т 1 + ... + 6 |  10 + Ьо,

то число х меньше числа у , если вып олнено одно из условий:

1 ) п < т (число разрядов в записи ч исла х ме ньше, чем в за

писи числа у );

2 ) п — т, но ап< Ь т\

3) п = т, ап= Ьт.......а к= Ьк, нЬ а * _ , < & * _ ,.

Это утве рждение мы при нимае м без д о каза тел ь ства. П оль зу ясь

им, ле гко вести сравне ние чисел. Н а пример: а) 3 4 5 6 < 1 2 349, потому

что в записи ч ис ла 3456 цифр меньше, чем в запи си числа

12 349; б) ^3456 < 4 5 7 9 , т ак к ак при одинаковом количес тве цифр

в за писи чисел цифр а с тарш его р а зр яда в числе 3456 мень ше циф

ры того ж е р а зряда в числе 4579; в) 3 4 5 6 < 3 4 7 6 , так ка к прн

о дина ковом количестве цифр в запи с и чисел и од ина ковых цифрах,

обозначаю щих тысяч и и сотни, циф ра д есятков в ч ис ле 3456 меньше

цифры того ж е р азряда в числе 3476.

Вопрос ы наименования и запис и чисел р ассматри ваются в на

чальных кл ассах по концентрам в т емах, нос ящих на зв ание «Ну

мер ация». Го во ря о нуме рации, зд есь обращ аю тся только к спо

с обам наименования и записи чисел. Поэт ому терм ины « нумера

ция» и «система с числени я» не тождественны — изуче ние систем

с числени я пр едпо лага ет ещ е и расс мотрение д ействи й на д мног о

зн ачными числа ми.

В на чально м кур се математики (и в курсе матем атики средних

кл ассов) десятичной за пис ью натурального ч ис ла считают его пр ед

ставление в виде суммы т ак на зы ваемых разрядных сла га емых .

Например, сумма 5 0 0 0 + 400-{ -5 0 + 7 пр едста вляет соб ой десятич

ную запись ч исла 5457. П редставление чис ла в виде таких сумм

удобно д л я его на им еновани я: пят ь тысяч чет ыреста пять десят

семь.

У пра жне ни я

1. Как а я сумма явл яе т ся д есяти чной за писью чис ла.

1) 7452; 2) 772; 3) 20 308; 4) 245 300?

2. Как ие чис ла представлены след ующими с уммами:

1) 2 - 103+ Ы 0 2+ 8-1 0 + 9; 3) 3-10* + 103 4 - 1 0 + 6;

2) 7 - 103+ 2 - 10;

3. Реш ите задачи:

' 4) 10’ + Ю2?

1) Ка кое число сод ержит 3 сотни тысяч 2 д е сятка тысяч и 5 ты

сяч? 6 д есятков тысяч и 8 тысяч? 5 сотен тысяч и 9 тысяч?

8 т ысяч 7 соТен и 5 десятко в? 4 сотни и 6 единиц?

2) Н а зови и напи ши числа , в которы х: 356 е дини ц клас са

168

. . ■

. <г.

тысяч; 300 е дини ц первого к лас са; 25 еди ниц второ го к лас са и

180 един иц первого кл асса; единиц втор ого класса и 6 единиц

^Первого кл асса; 50 е дини ц второго кл асса и 50 е диниц первого

класса.

3) Н апиши ци фрам и и назови, ед иницы каких клас сов и р а з

р яд ов отсутс твуют в этих числ ах: три ста д вадц ать пять миллио но в;

пя тьсот м иллионов двести пят ь тыс яч; пятьд есят миллионов сто

шес тьдесят д евять; тридцать миллион ов сорок.

4) Представь чис ла 6952, 5200, 7805, 9036 в виде суммы р а з

ряд ных с лага емых.

5) Сравни числа: х

325 174 и 32 500 184;

418 000 035 и 418 035;

3001 257 и 3 100 257.;

8 060 060 и 8 006 006.

6) З апиши все д ву зн ачны е чис ла, в которых ч исл о д есятк ов

в 3 раза ме нь ше числа единиц.

4. Н апишите 'наи мень шее т рех зна чно е число, кратное 3, т ак,

чтобы первая ци фра его б ыл а 8 и все цифры были бы разли чны .

Сущес твует ли на ибо льшее т рех зна чное число, у довл етво ряющее

данн ым условиям?

5. Найдите пятиз нач ное число, к а ж д а я цифр а кот орого на еди

ницу больше пре дыдущей, а с умма его цифр р ав на 30.

6. Ка кую цифр у нуж но приписа ть к числу 10 с права и слева ,

ч тобы получ ил ось число, д елящееся на 9?

7. Су мма циф р двузначно го ч исл а р авна 9, причем цифр а десят

ков вд вое б ольше цифры единиц. Н айдите это число.

8. Сумма двух чисел 715. Одно из них оканч ивается нулем.

Если это т нуль зачеркнуть, то получится втор ое число. Найдите

эти ч исла .

9. Су мма двух на туральных чисел 352. Есл и к ме нь шему из

них с права пр ипи сать нуль, то получ ится большее число. Н а йдите

эти числа.