64. Смысл ум ножения н деления чисел,

являющихся значениями величин

Рассмотрим за д а ч у для у чащихся II к ласса: «В столовой было

4 банки сока, по 3 л в ка жд ой б анке. Скол ько всего сока б ыло

в этих б анках?»

Почему эту за д ачу реш ают умножением: 3-4 = 12 (л )?

Рисунок, приведенн ый к за д аче , дает подска зку: чтобы узн ать ,

сколь ко всег о было с ока в 4 банк ах, достаточно найти сумму

3 л + 3 л + 3 л + 3 л. Так как за пись 3 л ес ть за пис ь произв еде ния

3-1 л, то полу ченное вы ражен ие можно преобраз оват ь к виду

(3 + 3 + 3 + 3)  1 . Заменив су мму четырех од инако вых слагаемых

прои зведением 3 -4, получаем (3 + 3 -( -3 -f 3)-1 л=(3-4}*1 л = 1 2Х

X I л = 12 л.

Возможен другой подх од к решению д анно й за дачи. П режде

всего отметим, что в ней речь идет о д вух е диниц ах объема, за нима

ем ого соком,— банках и лит рах. Снач а ла он измерен б анкам и,

а за тем его надо из мерить новой единицей — литром, причем из ве ст

но, что в старо й единиц е (ба нке ) содержится 3 новые (3 л итр а ).

Знач ит, 4-1 б. = 4 - ( 3 л ) = 4 - ( 3 ‘ 1 л) = М *3)-1 л = 1 2 л . О писываем ая

ситуация предст авл ена на ри сунке 115.

Таким обра зо м, умножение на туральных чисел о т раж ает пе ре

ход к новой, бо лее мелкой единице величины.

Докаж ем это утвер ждени е в о бщем виде применим о к чис лам —

значениям длин от резков, т. е. если о т

резок а состоит из т от резков, р а в н ы х ...........................

е, а от резок е состоит из п отрезков,

равных е\, то чис ленное значение дли- , . н .

ны от резка а при ед ини це длины е\ 1п

бу дет равно т>п.

Действительно, число частей отрез-

6*

1Лпцка = 1

Рис. 115

163

%

ка а, равн ых от резку е \, в ыр а жается так: л + я + .. . + л — и по тому

т слагаемых

р авно л т. З начит а = (ш - л )е |.

И так, умнож ение натуральных чисел отражае т переход к новой

единице длины: если натурал ьное число я) — значение длины от

резк а а при единице длины е, а натуральное число п — значение

длины отрезка е при единице длины е\, то произведен ие т - п

есть значение длины отрезка а при единице длины е\.

Выясним , какой смысл имеет деление.натуральных чисел, явля

ющихся значениями величин.

Ра ссмотрим за дачу: «Вмести мость одной банки 3 л. Сколько

потребуется банок, чтобы разлить 12 л фру ктового сока ?»

Чт обы решить зада чу, изо бра зи м 12 л в виде о трезка и выясним

(рис. 1 16), сколь ко раз в нем уклад ыва ется отрезок, изо бра жающий

3 л. П олучаем, что 12 л : 3 л = 4 (б .).

М ожн о обос но вать реш ение этой за дачи иначе. В задач е рас-

'сматрива ются д ве единиц ы об ъема, за нимаемого соком, литр и

б а нка. Та к как в задаче т ребуется результат из мере ния выра зить

в б а нках, т. е. новой единице (в условии объе м с ока измерен в

л ит рах), и известн о, что в новой единице (банке ) содерж атся

3 с тарые (3 л ), т о 1 л = 1 б.:3 .

12 л = 12-(1 б .: 3 ) = (1 2 : 3 ) ; 1 б. = 4 -1 б. = 4 б.

Видим, что дел ение натуральных чисел св язано с переходом к

новой единице величины. Покажем это в общем виде.

П уст ь отрезок а состоит из т отре зков, р авных е, а отре зо к е\

состо ит из л отре зков, равных е. Выясним, как найти число, которым

буде т выра жат ь ся дли на отре зка а при единице длины е\.

Так как е\ — пе, то е = е\ :п. То гд а а = т е = т - (е \ :п ) = ( т :п) et.

Та ким обр азом, деление натуральных чисел , рассматриваемых

как значения длин отр езков, отраж ает переход к новой (бол ее

крупной) единице длины: если натуральное число т — значение

длины отрезка а при единице длины е, а натур альн ое число п —

зн ачение длины отр езка е\ при единице длины е, то частное т : п

есть значение длины отрезка а при единице длины е\.

Н апример, если а = \ 2 е и e i = 2 e , то зн а чение длин ы о трезка а

при единиц е длины е\ бу дет р авно 6е»:

а = 12е = 1 2 >(е| : 2) = ( 1 2 : 2) ei = 6ei.

Э та ситу ация нагляд но пр едставлена на рису нке 117.

В учебника х математ ик и для начальны х кл асс ов много простых

зада ч, в которых рассматриваются различные величины и которые

ре шаю тся пр и'по мощ и умно жения или д елени я. П роисход ит это,

как правило , с прив лечение м на гляд но сти. П ри этом умножени е

трактуют ка к с ложение одинаковы х слагаемы х, а дел ение р ассмат

рива ют как операцию, обратн ую умножени ю.

У пр ажнени я

1. Ка к изме нится зн аче ние д лины отре зка:

1) при уменьшении единицы длины в 4 раза;

2) при увеличен ии единицы длин ы в 5 раз?

2. Объясните, по чему ни жеприведенн ые за д ачи реша ются у мно

жением:

J) В буфе т прив езли 3 ящик а а пе льс инов, по 9 кг в каж дом .

Сколько килограммов апел ьсин ов привезли?

2) Сколько стоят 3 м т ка ни по цене 4 р. за метр?

3) Сыну 8 лет. О тец в 4 раза с тарше сын а. Скол ько лет отц у?

4 ) Сес тре 8 ле т, она в 2 р аза мо ложе брата. Скол ько л ет

б рат у?

3. Объясните, почему каж д а я из ниже пр ивед енных за д ач р е

шает ся дел ением:

1) На 10 к. купили 2 од инаковы х конвер та. Ско лько стоит

конверт?

2) Ш е рст яное пл атье стоит 27 р., а туфли — в 3 р аза дешевле .

Ско лько сто ят туфли?

3) На детское па льт о ра сходуют 2 м д рапа . Сколько таких -

пал ьто можно сшить из 12 м драпа?

4) В столовой из расх одо вали 80 кг картоф еля и 8 кг моркови.

Во сколь ко р аз б ольше изр асх одовали ка рто феля, чем морков и?

5) Кухонный стол стоит 24 р., в 6 раз д ороже, чем табуретка.

Скол ько ст оит т а буретк а?

я

4. Ре шите задач и различными спосо бами и обоснуйте выбор

способа:

1) Д л я уроков т руда купили 4 ка тушки белых ниток, по 10 к.

з а штуку, и 6 катушек черн ых ниток по Такой же цене. Сколько

д енег упла тил и за эти нитки?

2) У одной зак ройщицы был о 15 м ткани, а у другой 12 м.

И з всей этой ткани они скроили пла тья, рас ходу я па каждое по

3 м ткани. Сколько всего платьев они с кроили?

3) О дна ко рова дает в сутки в среднем 14 кг мо лока . Сколь

ко кило гр аммо в молока можно получи ть от 10 таких коров за

7 суток?