63. Смысл сложения и вычитания чисел,
являющихся значения ми величин
,
Выясн им, ка кой см ысл прио бре тают сло жен ие и вычитан ие
на тураль ны х чисел, если эти чис ла полу чены в результа хе изме
ре ния длин отрезк ов.
,
1. С л о ж е н и е . Пус ть, наприм ер, числ а 3 и 8 яв ляются р е
зу льтатами измер ения д лин о трезков b и с при помощи единицы е,
т. е. Ь= 3е, с = 8е. И звес тно, что 3 -{-8 = 11. Но р езультат ом изме ре
ния длин ы ка кого отрезка явл яется число 11? О чевид но, это зн а
чение длины о тре зка а = Ь-\- с (рис. 1 1 2 ).
Проведем рас суж дения в общем виде.
Пусть отре зо к а слагает ся из о трезко в Ь и с и Ь — т е , с = пе,
где т и п — натуральные ч исл а. То гда о тре зо к Ь разб ива ется
на т частей, к а ж д а я из которы х равна ед ини чному от резку е,
а о трезок с — на л т аких ч астей. Следовательн о, весь отре зо к а р а з
бивается на т-\-п т аких частей. З начит , а — ( т-\-п )е .
Та ким об разом, сумму нату рал ьных чисел ш и л мож но р а с
с матривать как зна чен ие д лины отрезка а, сост оящ его из отре з
ков б и с , длины которых выр аж аю тся на тур альными числами т и п .
2. В ы ч и т а н и е . Если отрезок а состоит из отрезков b и с
и дл ины от резков а и b выр ажаю тся натур аль ными числами т и п
(при одной и той ж е единиц е д лины), то зн а чение длины отре зк а с
рав но р азнос ти зн ачений длин отре зко в а и Ь: с — {т — п) е,
т. е. р азност ь натур аль ных чисел т — п м ожно рас сматривать как
зн аче ние д лины о трезка с, являющегося разностью отре зков а и Ь, -
д лины которых выражен ы на туральными числа ми т и п со от
ветстве нно.
Та к, если о трезок а = 9е сос тоит из отрезков b и с, причем Ь = Ае,
то с = (9 — 4) е = 5е.
Заметим, что т акой подход к с ложени ю и вычитанию на т ураль
ных чисел связа н не только с изм ерени ем д лин отре зков, но и с
измерением д ругих величин.
В у чебниках мат ематики д ля нач альных кл асс ов много задач, в
которы х р ассматриваютс я различны е вели чины и действия над
ними. О пр еде лени е смысла с лож ения и
выч ит ания натуральных чисел, явл яющ их
ся зна чени ям и величин, позв оляет о бос но
вы вать выб ор д ейст вия при решении таких
задач.
Ра ссмотрим, наприме р, за дач у: «В с аду
с обра ли 3 кг см ородин ы и 4 кг мал ины.
Сколько всего кило грам мов ягод собра ли?»
161
А
В
С
а = д к г
I— -- -------- ------ i----- 1 * ■ i - I
е = 1к г
в = Акг
Рис. из
I
е - 1кг
Рнс И4
З а д а ч а реш ает ся с ложением . П очему?
И зоб рази м массу собр анной с моро ди
ны в виде о трезк а а (рис. И З ) , а массу
с обранной малин ы в виде отре зка Ь. То гд а
ма ссу с обра нных ягод мож но изоб разить
при помощи отрезка АС, сост оящ его из
отрезка АВ, р авно го а, и о трезка ВС,
равн ого Ь. Так ка к численн ое зн аче ние
длин ы от резка АС р авно сум ме численных зна чени й отре зков АВ
и ВС, то массу собранных яг од находим действи ем сложе ния:
3 + 4 = 7 (кг) .
А на логично обосновывается выбор д ействи я и при решении
за д ачи: «На кофт у пошло 2 м ткан и, а на платье — на 1 м больше.
Сколько метров т кани пошло на пла тье ?»
Изобрази м ткань , ко тор ая пош ла на кофту, в ви де отрезка а.
ю гд а ткань , которая пош ла на пла тье , мо жно изоб разит ь при по
мощи отр езка АВ, равного а, и отр езка ВС, изобр ажаю щ его 1 м
(рис. 114). Та к к ак зна чени е д лины отрез ка АС равно сумме значе
ний длин сл агаемых от резков, т о количество ткани, котор ое пошло на
платье, наход им дейст вием с лож ения: 2 + 1 = 3 (м ).
Упраж нен ия
1. П остройте треугольни к. Как вы найдете его периметр? Сколь
кими способ ами эт о мо жно с дел ать?
2 . В прямо угольнике провели д иаго на ль. И звестен периметр пр я
моу го льника и пери метр одного из по луч енных при этом треуго ль
ников. Мо жете ли вы на йти длин у диаго нали?
3. Сумма двух любых сто рон тр еугольн ика равна 10 см. Вычис
лит е его периметр.
4. В четы рехугольнике провели д иагональ. И звестна ее длин а,
перимет ры двух обр азовав шихся тре угольников. Можете л и вы найти
пер имет р д анного чет ырехугол ьника?
5. О бъяс ните , поче му нижепр иве денн ые задачи р ешаются сло
же нием :
1) Бублик стоит 6 к., а с такан мо лока 4 к. Ско лько стоят ста ка н
молока и буб лик вместе?
2 ) О т куска лент ы о тре зали 8 м, а потом еще 2 м. Сколько
ме тров ленты отре за ли?
162
.
ч
3)
Сестре 7 лет, а брат на 2 год а старш е сестры. Сколько
ле т бра ту?
6. Объясните, поче му сле дующие зада чи р ешаются выч итанием:
1) З а б ублик и с такан моло ка заплатили 10 к. Бубли к стоит
6 к. Сколько стоит молоко?
2) Масса гуся 7 кг, а кролик на 3 кг легче. Узнай массу
кролика .
3) Выс ота с тола 7 дм. а высота стула 4 дм. Н а сколь ко
деци мет ров стол выше, чем стул?
4) Са ше 7 лет, он на 3 года с тарш е сест ры? Скол ько лет се стре?
~ 7. Следующие за д ачи реш ите различны ми способ ами, д айт е им
обоснова ния:
.
1) В одном ку вш ине б ыло 4 л мо лока, а в д ругом 3 л. З а обедом
выпили 2 л мо лока. Сколько литров мо лока осталось?
2) О т мотка про вод а Длиной 18 м с на чала о треза ли 7 м, а
потом 5 м про вод а. Сколько метров провода ост ало сь в мотке?