§ 9. Смы сл натурального числа и действий

Н АД Ч ИСЛ АМИ — РЕЗУЛЬТАТАМИ ИЗМЕРЕНИЯ ВЕЛИЧИН

Челове ку в пр актичес кой деятельности приходится не только

вести счет предме тов, но и изме рять различны е величины: длину,

массу, вре мя и т. д. Поэт ому к возникновени ю нату ральных чисел

пр ивел а не т олько потр ебность счета, но и зад а ч а измер ения

величин.

Выясн им , ка кой смысл имее т на ту рал ьное число, если оно полу

чено в р езуль тате из мерения вели чины. Все теор етич еск ие ф акты,

с вяза нны е с этим по дходом к натур альному числу, рас смотр им на

примере одной величины — длин ы от резка.

61. Сравнение отрезков. Действия над отрезкам и

П усть да ны о трезки а и Ь. Отлож им рав ные им отрезки на одном

л уче с на чал ом О. Получим отрезки ОА = а и О В = Ь. Возмо жны

три слу чая.

1. Точки А и В с овпа дут (рис. 105). Тогда ОА и ОВ — это один

от резо к, а отре зки а и Ь равны ему, знач ит , а = Ь.

2. Точка В л ежит вну три о трезка ОА (рис. 106). Тогда говорят,

что от резок ОВ меньше о трезка ОА (или отрезок ОА боль ше от

р езка ОВ), и пишут: О В < О А (О А > О В ) или Ь < а ( а > Ь ).

3. Точка А лежит вну три отр езка ОВ (рис. 107). То гд а говорят,

что отре зо к О А меньше о тре зка ОВ, и пишут: О А < О В или а < .Ь

(Ь > а).

Н ад отр езками вып олняют различны е дейст вия.

О п р е д е л е н и е . Отрезок а назы вают сум мой отрезков а\,

вг> ...» а„, если он является их объ еди нен ие м , никакие из отр езков

не имею т общ ей внутрен ней точки ( не налегают друг на д руга) и

послед ователь но прил егают один к другом у кон цами.

П и шут: а = а | + аг + ... + а я.

Н апример, мож но утверждать, что отрезок а, изо бра женный на

рис унке 108, яв ляется су ммой отре зк ов а |, а2, аз, flu.

____________ А

_________

_

-

О В

Рис. 105

а,

О

А В

Рис. 107

а г а, а4

158

|— |----- 1—

О В А

Рис. 106

I-------------- 1-------- 1----------- 1----- 1

Рис. 108

О п р е д е л е н и е . Разно с тью _______Ј_______

Ь о тре зко в а и b назыв ается

акой отр езок с, ч то Ь + с = а .

| Разност ь о трезк ов а и b на хо-

& [

С В = а - в

]1ит с я т а к. Ст рои тся о трезок АВ, рав-

.

г

й

ш й а, и на нем о ткл а д ывается

гре зо к АС, р ав ный Ь. Т о гда о трезок

1СВ есть р азность а — b о трезк ов

а и Ь (рис. 109).

____________ Ј ________ ,

D 1П0

Оч евид но, для т ого чтобы существовала разность отрезков'а и Ь,

необходимо и дост ато чно, чтобы отрезок b был меньше от резка а.

Дейс твия над отрезками о б ладают р яд ом свойс тв. Н азовем не

котор ые из них, не пр иво дя д оказатель с тв.

1. Д ля люб ых от резк ов а и Ь справедливо равенс т во а -f- b = Ь + а,

т. е. сл ожение отр езков по дчиняетс я переместител ьному за кону.

2. Для любых о трезко в а, Ь, с с пр аведли во равенство (a + f r)+ c =

= а + ( 6 -(-с), т. е. с ложе ни е о тре зков подчиняе тся сочетат ельному

за кону .

3. Д ля любых отрезков а и 6 им еем, что а - \ - Ь ф а .

4. Д л я-л юбы х отр езков а , 6 .и с: если а < 6, то а + с < 6 + с.

У пр ажнения

1. Н ачертите прям о у го л ь ни к и прове дите в нем д иаг он а ль .

Требу ется с р а внить в нем с тороны и д иаг о наль. Как вы это

сд ел аете?

2 . Н ачертите четырехугольник. Требуется у каза ть его стороны

в по ряд ке возр астания. Ка к вы это с делаете?

3. Н ачертите такие отре зки а и Ь, что а < Ь . Пос тройте их сумму

и р азнос ть.

4. Начертите р азно стор онний треугольник. Установи те, к акая

с торона в нем с а м а я б оль шая. Отлож ите на ней по сле дова тель

но, начиная от верш ины , д ве дру гие его стороны. Сделай те вы

воды.

г 5. Точк и А, В и С л е ж а т на одной пр ямой, и А В > В С . М ожно

ли у тверждать, что А С > В С ?

f 6. Докажи те, что отношение «меньше» на м но жест ве отрезков

транз итивно.

7.

Докаж ите, что с ло жение от резков подчиняется перемест и

тельн ому закону.

62. Н атурал ьное числ о как зн ачение д лины о т р е зка

Вспомним, к ак пр оис ходит измере ние длин отрезков. П р ежде

всего из множества от резков вы б ир ают некотор ый о трезок е и н а

зы вают его единичным отрезком или единицей длин ы. З а тем с равни

вают данн ый о тре зо к а с единичным о трезком е. Если отрезок

а с лагаетс я из п о трезко в, рав ных еди нично му от резку е, то пишут:

!>



159

а = е + е + ... + в = пе — и на туральное число п на-

ч_______ _________J

I

ef

« -с/сг

V -----------

л слагаемы х

зываю т численным значением дли ны о т резк а а

при ед ин иц е длины е. л

I I о - е,

Рнс. по

Например, численным зн аче нием длины от

резка а, изображенного на рисунке 110, при

ед инице длины е явл яется ч исло 8. Мож но за-

писать: а = 8е.

Если в качест ве е дини цы д л ины вы брат ь

д руго й отр езо к, то ч ис ловое значение длины о трезка а изм енится.

Та к, если в ка честве ед иницы длины выбр ать от резок с\ (рис. 110),

то ч исленное зн ачени е д ли ны отр езка а б уде т р авно 4 : а = 4<?|.

В ажно зам етить, что для к аждого натурального чис ла п с у

щест вует отрезок, дли на ко торого вы раж ается этим числом. Чтобы

пос троить такой отрезок, д ост ато чно единиц у д лины е от ложить

одну за дру гой п раз.

Та ким образом , нату рал ьное число как числ енное значен ие

длины отр езка а пок аз ывает, из ск ольки х выбран ных единичны х от

резков е сл аг ается отрезок а. При выбранной едини це длины е это

число еди нственное.

Вы ясним теперь, какой смысл имеют д ля таких чисел отношени я

«равн о» и «меньше».

Пусть на тураль ное число п — численное значение длины отрезка

а, на тураль ное ч исло т — численное зна чени е длииы отрезка Ь и по

лучены эти числа при одной и той ж е единиц е длины е. Тогда:

если отрезки а и b р авны, то р авны и числе нные зна чени я

их длин, т. е. п = т \ справедливо и об ратнйе утвер ждение;

если отрезок а ме нь ше отрезка Ь, то численное зн аче ние длины

о трезка а меньше численн ого зн а чения длины отрезка Ь, т. е. п < т \

спра ведливо и обратн ое утверждение.

Установленная вза имос вязь между отрезкам и и численными

знач ениями их длин по звол яе т сравнение д лин отрез ков сводить к

сравнению их с оответ ству ющ их численных зн аче ний и нао борот.

Н апример, 5 см > 3 см, так как 5 > 3 .

Мы у станови ли, что представляе т собой натурал ьное число как

р езультат из мерения длины отрезка. Аналогично м ожно истолковать

смысл натуральн ого ч ис ла и отношен ий между числами и в связи

с измер ением других величин , таких, к ак пло щадь, мас са, стоимость,

время.

Упражнения

1. П остройте на одной прямой три равн ых отрезка МР, PZ, ZQ.

П усть ед иницей длины являетс я отре зо к МР. Ч ему т огда равны

длины отрезков , полу чивш их ся на этой прямой? Ч ему рав ны их же

длины, если за единицу длины будет принят отр езок MZ? M Q ?

2. Изм ерив д ва отрезка некоторой единицей д лины , получили,

что один из них длиннее;,др угого в 2 раза . П осле этого ед иницу

.160

■

* ;



. . .

результат с равн е ния д лин отрезков? „

3? 3. Ка ким понятие м неяв но во спользует

*------------ 1-------- 1

Рнс m

ся учащийся, р ешая задач у: « Сколько отр езков изо бра жено на

чер теж е» (рис. 1 1 1 )?