60. Свойства множества целых неотрицательных чисел

М нож ество целых неотрицател ьных чисел обладает рядом

свойст в. В частност и, оно упорядоч енное и бесконечн ое.

Д ока жем, что множест во целых не отриц ательных чисел может

быть упор ядо чено при по мощи отношения «меньше». Д ля .этого

по кажем, что это от ноше ние транзи тивно и антис имметричн о, причем

будем исх одить из определения отношения «меньше» через сумму.

Т е о р е м а . Если a <Lb и Ь < с , то а < с .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как а < 6 и 6 < с , то по опред еле

ни ю отношения « меньш е» н ай дутс я такие н а т ураль ны е числа х

и у, что Ь= а-\-х и с — Ь-\ -у . Н о тогда с = ( а + * )+ У . и на основании

со четател ьного за ко на с лож ения получаем с = а -\ -( х -\ - у ). П оско льку

х + У — целое неотр ицательное число, то с огласно определению

от нош ения «меньше» а < с .

Т е о р е м а . Ес ли а < Ь , то неверно, что Ь < .а.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Н етр удно убедиться в том, что ни для

о дного целого нео трицате льного числа а не выполняется не раве н

ство а < а . Если бы имели а < о , то нашлось бы такое натуральное

число с, что а — а-\ -с , но это нево змо жно в силу единственности

сум мы . П р е дп оложим теперь, что оба не р авенст ва а < Ь и Ь < а

вып олняютс я. Тогд а по с войс тву транз ит ивн ости отношени я «мень

ше» бу дем иметь а < . а , что невозможно.

Так к ак отношени е «меньше » д ля целых неотри ца тел ьных чисел

т ран зит ивно и антисимметрично, то ohq являе тся отношением

по рядка, а множество целых неотрицательных чисел — у по ряд очен

ным множе ством.

\

И з рас смотре нны х с во йст в отно шения «меньше» выте ка ет, что

для любых целых не отриц ательных чисел а и b может вып олнят ься

лиш ь одно из отн ошений а < Ь , а = Ь, Ь > а .

Р а сп олагая элементы этого множест ва так, чтобы из любых

д ву х чисел с на чала шло меньшее, получим р яд целых нео трица

тельных чисел: 0, 1 ,2 , 3, 4 .........Этот р яд б есконечен.

Возьмем некоторое м но жес тво А, в котором а э лементов. Если

156

& Нему пр исоединить еще один элемент, отличный от всех элементов

множест ва А, то получим новое множество В, в котором будет

а + 1 эле менто в. Нетрудно д ок азать, что ч ис ло а ме нь ше числа

а + 1. Назовем число а + 1 непоср едственн о следующим за числом а.

Тогд а для каж дого цел ого нео трица тел ьного числа можно ук азать

«единственное на туральн ое число, которое за ним непосредственно

следует. Обратно: каж дое целое неотрица тел ьное число непос ред

ственно с леду ет не более чем за одним целы м неотр ицат ельны м

числом, нуль непо средств енно не с леду ет ни за каким целым не

отрицательным числом. Д алее , о тп равляясь от числа 0 и пере ходя

■по порядку к непо средств енно с леду ющ им д руг за д ругом на тур аль

ным числам , мы получи м множест во целых не отрицател ьных чисел.

Отноше ние «непосредственно с ледовать за» тесно с вяза но со

сл ожени ем и умножение м целых нео трицате льны х чисел. Д ействи

тельно, сумму а + (6 + 1) легко най ти, если из ве стна с умма а + Ь :

'а + (&+ 1) = ( a 6) -h 1, т. е. она равна числу, непосре дственн о с л е

дую щем у за суммой а + Ь. Напр им ер, если извест но, что 4 + 2 = 6,

т о для нахо ждения суммы 4 + 3 достаточно к 6 при бави ть 1:

4 + 3 = 4 + ( 2 + 1 )= ( 4 + 2) + 1 = 6 + 1 = 7.

А на логично используется п оняти е «непос редственно следо ва ть за»

и д ля у множени я: произве дени е 7 -6 легко найти, если известн о,

что 7 - 5 = 35. Д л я этого д ост ато чно к 35 прибавит ь 7, так как

7 - 6 = 7 . ( 5 + 1)= 7 -5 + 7 = 35 + 7.

Отметим еще одно свойс тво м ножества целых неот рицате льны х

чисел. Пус ть а — некоторое цел ое не отрицател ьное число и о + 1 —

число, непосредственн о следующ ее за о. То гда ни д ля од ного целого

не отриц ательного чис ла а нельзя у казат ь такое натурал ьное

число х, что a - < x < a + l . Э то свойство на зы вают свойством

дискретности мно жества на туральных чисел, а с ами числа а и a + 1

называют соседним и.

Уж е при изучении чисел пер вого десятка вы яс няется, как может

быть получено к аждое ч исло на тур аль ного ряда. При этом ис

по льзую тся по няти я «сл едует» , «п редшествует»., пр иб авлени е и вы

ч ит ание 1 , т. е. созд аются услови я д ля то го, чтобы у чащ иеся

увидели свойства чисел натурально го ряд а: любое число может

быть получено приба вление м 1 к том у числу, которо е вс треч ает ся

при счете перед ним; л юбое число на 1 больше, чем ему предшест

вую щее , и др.

У пражнения

1. П ерво классника м пред лагается за полнить пропуск в ряду

1 . 2 , 0 4. 5. Как д олже н объяс ни ть свой ответ у чащ ийс я? Какими

свойствами натур ального ряд а он вос пользуе тся?

2. Учащ им ся I к ласса д ано зад ание: на зв ать «соседей» числа

7. Какими с войс твами на турального ряда должен вос пользоваться

учащийся, чт обы об основа ть свой ответ?

157

3. Уч ащийся подс чит ал, что 5 + 3 = 8. Каки м образом он може т

найти сумму б + З?

4. Второклассникам предла га етс я за дание: зная , что 4 -7 = 28,

найти 4*8 и 4-9. Как они могут выполните его?