6. Высказывания. Смы сл слов «и», «или», «не»
Среди су ждени й, устанавл ивающ их р азличные отношени я
между мате мат ич ескими пон ятия ми, вы д еляю т выс казыван ия и
пыеказы ва телы ше ф ормы.
Вы сказыванием на зы вается пре дло жение, о тно сит ельно ко то
рого име ет с мысл вопр ос, истинно оно или лож но .
Наприм ер, предлож ение «Число 6 чет ное» есть истинное вы
с казывание, а пр едл ожение «2-) -4 = 3 5» — ложно е вы сказыван ие .
Вообще каждом у выс ка зыва нию приписывают одно из двух
зна чений: И (и с ти на), если оно истинно, и Л (лож ь ) , если оно ло жно.
З нач е ния И и Л н а зываю т знач е ниями исти нн ост и вы с казы вания .
Если выс казывание элем ентар но е, т о его зна чение истинности опре
деляют по сод ержанию, опирая сь на изве стные зн ания.
А ка к быть, если выск азывание со ста вное ? Ка к определить
зн аче ние истинности т ак ого выска зы вания? Здесь на помо щь
приходит форма выс казывания .
Считают, что выс казы ва ние вид а «Л и В» истинно, если ист ин
ны оба выс казы ва ния Л и В. Если же хотя бы одно из них л ожно,
т о высказыва ние «Л и В» л ожно.
П р и м е р . Установим, истинно или лож но выс казыва ние:
I) число 102 четное и дели тся на 9; 2) 3 < 6 < 7 .
В с лучае 1 с ост авное выс казывание имеет ф орму «Л и В»,
где Л — « Число 102 четное», а В — «Ч ис ло 102 д елится на 9».
Л егко видеть, что выс казывание Л истинное, а выс ка зыва ние В
л ож ное (число 102 не делитс я на 9, т а к ка к на 9 не делитс я с ум
ма цифр в.з аписи этого числа). Сл едовате льно, и все предложен ие
ложное.
17
В с лу чае 2 мы т а кж е имеем с ост авно е выс казы ва ние « 3 < 6 и
6 < 7 » . Оно истинно, так как образов ано из двух элементарных
истинных выс казываний с помощ ью с оюза «и».
Обратим ся теперь к высказываниям вида «Л или В». Считают,
что оно истинно, если истинно хотя бы одж) из высказываний А
и В. Высказывание «А или В» лож но, когда ложны об а высказы
вания А и В.
П р и м е р . Ус тановим , истинн ы ли выс казывания :
1) число 102 четное или делится на 3;
2) 3 < 7 ;
3) 5 < 3 .
В слу чае 1 составное выск азывание имеет фор му «А или В»,
где А — «Число 102 четное», В — «Ч ис ло 102 дел ит ся на 3».
Види м, что выс казывания А и В истинны, сле дова тел ьно, д а н
ное составн ое выск азывание истинно.
В с лу чае 2 имеем такж е сос тавное вы сказыва ние , имеющее
ф орму «А или В» , где А — « 3 < 7 » , В — «3 = 7». П оско льк у вы
с казы в ание А истинно, то истинно и все со ста вное выс ка зыва ние
3 < 7 .
Выс казывание 5 ^ 3 (с лучай 3) — ложное вы сказывание , так
ка к оно со стоит из двух л ожных высказываний 5 < 3 , 5 = 3, с оед и
ненных логической связкой «или».
Часто в мат ематике пр иход ится строить выс казы ва ния, в ко
торых что-ли бо от рицается. Наприме р, дано выск азывание «Число
12 простое». Это л ожное выс казывание, так как число 12 дели тся
не только на себя и на 1, но и на д ругие ч ис ла. Пост роим его о три
ца ние: «Невер но, что число 12 простое». Полу чили истинное
выс казыва ние. Мож но пос троить от рица ние того ж е выск азыва
ния иначе: «Число 12 не является простым». Это т ож е истинное
выс казывани е.
__
_
О тр ицание выска зы вания А обо значают А. Символ А читают:
«Не А» или «Неверно, что А».
Воо бще отрицанием высказывания А называется высказыва
ние А, которое истинно, если высказывание А ложно , и ложно,
когда А истинно.
Та ким образом, значение истинности с ост авных высказыва
ний, образо ванных из элеме нт арны х с помощью слов «и», «или»,
«не», зависит от зн аче ния истинности с оставляю щих их элемен
тарных вы сказы ваний.
л
и
и
л
в
И
л
и
А н в
И
Л
л
А или Д
и
И
И
Не /1
Л
и
I
18
л
л
л
л
Упражнения
1. Среди след ую щ их пр едложений укаж и т е //
вы с казы вани я и опред е ли те их зн ачен ия ис
тинности: 1) число 8 целое; 2 ) при делении
42 на 5 по л учае тся остаток 3; 3) * < 3 ; 4 ) в
любо м п ря м оуг ольнике д иагонали р а вны;
5) 3 4 - 2 - 1 7 = 51.
2. Как ие из выс казыва ний истинны: 1) чис
л о 6 д елит ся на 2 и на 3; 2) число 123 д елит- q
с я на 3 и на 9; 3) треугольник Л ВС (рис. 8)
пря моуголь ный или равн ост оронний ; 4) один
из углов т реуго льни ка A B C (рис. 8) р авен 60°;
' 3 ' 2 < 4 '
3. П остройте о трица ни я следующих вы сказы ваний: 1) ч исло
132 д елитс я на 9; 2) 5 < 4 ; 3) 3,2 — ч исло натур альное; 4) тре
угольник Л ВС (рис. 8) равнос торонний .
4. И звестно, что выс казыван ие А истинно. Мо жно ли, зная
лиш ь это, о пр еде лить зна чени е истинности высказывания вида:
1) А и В; 2) А или В?
5. И звес тно , что высказыва ние А лож но . Мо жно ли, зная
лиш ь это, определ ить зн аче ние исти нности выск азывания ви да:
1) А и В; 2) А или В?
6. Являю т ся ли следующие пары выс казываний отр ица ния ми
д р уг друга: 1) число 2 53 простое. Ч исло 253 с остав но е; 2 ) т р е
угольник ЛВС (рис. 8) пря моуголь ный и равносторонний. Тре
угольник ЛВС (рис. 8) не яв ляется прямоугол ьным или не явл яе т
ся равн ост оронним?
7. Мож но ли о пр еде лит ь знач ение истинности выс казы вания
Л, если известно, что: 1) « Л и В» — ист инное выс казывание;
2) «Л или В» — истинн ое высказывание ?