59. Дел ение с остатком

Ч исло 37 не д е л ится на 8 . Н о сущ ествуют ч исл а 4 и 5, т акие,

что 37 = 8*4 + 5. Говорят, что деление числа 37 на 8 выполнено

с остатком, при этом найдено непо лное час тное 4 и о ста ток 5.

О п р е д е л е н и е . Разделить с остатком целое неотрицательное

число а на натуральное число 6 — это значит найти такие целые

неотрицательные числа q и г, что a = b q- \-r и 0 < > < 6 .

О бра тим внима ние на осо бенно сти о ста тка, которые вытека ют

из данн ого оп ределения. О с таток ес ть на тураль ное число, меньшее

делите ля Ь, по этому при д елени и цел ых не отриц ательных чисел на

Ь мо жет получ ить ся всего Ь р азличных ос тат ков: 0, 1, 2, 3, ..., 6 — 1.

Н апример, при делении с остатк ом целых не отрицательны х чисел

на 5 возмо жны ост атки : 0, 1 ,2 , 3, 4.

Если а < Ь , то при д елени и а на b с остатком неполно е ч астное

q — 0,' а ост ато к г — а, т. е. а = 0*6 + а.

Вс егда ли м ожно выполнить деление а на Ъ с остатком ? Ответ

ца этот вопрос д а ет с ледующ ая теор ема, >которую мы примем без

д оказа тельства.

р .. Т е о р е м а . Для л юбог о целог о неотрицательного ч исла а и

на турального числа Ь существуют целые неотрицательные чис

л а q и г, такие, что a = b- q- \-r , причем 0

Па ра цел ых

неотрицательных ч исел (q, г), о бладающая этим свойством, един

ственная.

j- Выясним, ка ков теоретико-множе ственны й смысл деления

t ост атком.

П усть а — п (А ) и множество А р азбито на м но жест ва А |, Лг,

j,.., Л ,, X т ак, что множест ва А\ , Лг, ..., А я р авномощны и с оде ржат

ПО Ь элементов, а множе ство X с одерж ит меньше элементов, чем

к а ждое из м ноже ств А\, Л2, ..., Ая, на пр имер п ( Х ) = г . Тогда

a = bq -\-r, где 0 ^ г < 6 . Таким о бра зом, неп олное частное q — это

ч ис ло равномощн ых по дмножес тв (в к аждом из которых b эле

ментов) в разби ении множ ест ва Л, а остаток г — это ч исло э ле

ментов в множ ест ве X.

В на чал ьной школе зн аком ство с дел ением с ост атком проис

ходит при р ассм отрении ситуации, в которой из 9 детей образуются

4 па ры _н 1 человек остается без пары, т. е., по с ути д ела ,

зн аком ство с неполным частным и остатком прои сходит на т еор ети

ко-мно же ственно й основе. И спользуется т а к ая запи с ь деле ния с ос

татком :

9 :2 = 4 (ост. 1).

' Подче ркивается, что если при де лении полу чае тся ост аток, то он

вс егда меньше дел ит еля.

Важ ность д елени я с остатком в том, что оно лежит в основе

а лгорит ма деле ния многоз начных чисел.

У пражнения

.



1. Выполните деление с оста тком: I) 42 на 5; 2) 82 на 9;

3) 677 на 42; 4) 105 на 82.

2 . Какие оста тки могут по лучиться при делении целых нео три

цат ельны х чисел на: 1) 3; 2) 8; 3) 35?

3. Ка кой вид имеет число а, если при д елени и на 7 оно дает

в остатке: 1) 0; 2) 3; 3 ) 6 ?

4. Найд ите т акие числа а и Ь, чтобы при делении с остатком

а на b в частном получа лось 17 и в ост атке 17. Единствен на

ли т а кая пар а чисел а и 6?

5. При д елении 22 8 на не котор ое число b в частно м получил и

ч ис ло 8 , а в о с татке 4. Н а к ако е число делили 2 28?

6. Разбейте м но жес тво нат урал ьных чисел от 5 до 23 на классы

чисел, дающих о динаковы е оста тки при делении на 4. Сколько

классов полу чило сь?

7. На какие кла ссы р азбива ется множ ест во целых неотр ицатель

155

ных чисел в зависимо сти от ост атков, получаемых при делении

на 6? Н азовит е по д ва представит еля кажд ого клас са.

8. При д елении чисел а и Ь на 8 по л учае т ся один и т от же

оста ток 7 . Какой остаток пол учит ся при д елении на 8 числа:

1 ) а + 6; 2) а — Ь\ 3) а-Ь?

9. З а д а ч у «Запиши 3 числа, при делении кото рых на 7 в о стат

ке по луча ется 1 , и 3 числа, при делении которых на 8 в остатке

по луча ется 5» у чащ ийся решил способом под бора. З апишите ф о р

мулы для получен ия р азличных чисел указанных видов.

10. Приведите примеры за д аний из учебников ма тематик и д ля

на чал ьных классов, при выполнении которых уч ащ иеся выпо лняют

д еление с ост атком.