58. Правила деления суммы на число и числа

на произведение

П озн а ком им с я с неко торыми свойс твам и д елени я нату р а ль ных

чисел. Выб ор этих правил определен содер жани е м на чально го кур

са ма тема тики.

П р а в и л о д е л е н и я с у м м ы н а ч и с л о . Если чис ла a u b

делятся на ч исло с, то и их сумма a-j-b делится на с; частное,

получа емое при делении суммы а-\ -Ь на число с, р авно сумме

частных, пол учае мых при делении а на с и b на с, т. е.

(.a - \ - b ) : c = a : c + b : c .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Та к как а д елится на с, то с ущес твует

т ако е нату ральное ч исло т = а :с, что а = с -т . Аналогич но сущ ест

вует такое на тураль ное число п = Ь: с, что Ь = с -п. Тогда а + Ь =

= c -m + c*/i = c-(m -f-rt). О тсю да с ледует , что а-\ -Ь делится на с

и част ное , получа емое при деле нии a - f Ь на число с, равно т + п,

т. е. а : с + Ь:с.

Доказа нно е правило можно ис толко ва ть с т еоретик о-множест

венных позиций.

П у сть а = п(А), Ь = п(В), причем А [ \ В = 0 . Если каж д о е из

м но жест в Л и б мо жно разбить на с равн ом ощных подмножеств,

то и объедин ение этих мно жес тв д опускает тако е же разб ие ние

(рис. 104).

П ри этом если в кажд ом подмножестве разбиен ия множества

Л содерж ит ся а :с элементов, а в каж дом по дмножестве множ ест

ва В с одерж ит ся Ь:с элеме нтов, то в ка ждом под множес тве множе

ства А \] В с оде ржится а :с -\ -Ь :с элементов. Это и знач ит , что

(а + 6 ):с = а : с + й : с .

П р а в и л о д е л е н и я ч и с л а н а п р о и з в е д е н и е .

Если нату ральное число а делится на натуральные числа b и с, то,

чтобы разде лить а на произведение чисел b и с, достаточно раз

делить ч исло а на Ь (с) и получе нное частное разд елить на с (Ь ):

a:(b  c ) = ( a : b ) \ c = ( a : c ) :b .

152

Д о к а з а т е л ь с т в о . П оложи м (а :Ь): с = х . Тогд а по определе

нию частного а:Ь = с-х, отсюда анал огично а = Ь-{ сх). Н а ос новании

со четател ьного зак он а ум но жения а = (Ьс)-х. Пол ученн ое равенст во

означает, что а:(Ьс) — х. Таки м образом , а :(Ьс )=(а :Ь ):с.

П р а в и л о у м н о ж е н и я ч и с л а , н а ч а с т н о е д в у х

ч и с е л . Чтобы умножить число на частное двух чисел, достаточно

умножить это число на делимо е и полу ченное произв едение разделить

на делитель, т. е.

а- {Ь: с ) = (а- Ь):с.

Доказа тельство этого прави ла а на логично пре дыдущему .

Применение сфо рмулированны х правил позволяет упростить вы

числения.

Н апример, чтобы найти знач ение выр а жения (720 4 -60 0): 24,

д ост аточ но разделить на 24 сла га емые 720 и 600 и полученные

час тные сложи ть:

(720 + 600): 24 = 7 20:24 + 6 0 0:2 4 = 30 + 25 = 55.

Значени е, выражения 1440:(12 -15) можно найти, разд елив с н а

ч а л а 1440 на 12, а затем полученно е частное разд елить на 15:

1440: ( 12 -1 5 ) = ( 1440:1 2): 1 5 = 120:1 5 = 8.

Указ анные пр авила рассматриваютс я в на чальном курсе мате

матики на конкретных пр имерах. При первом зн акомстве с пра вилом

д еления суммы 6 + 4 на число 2 привле каютс я иллюстр ативны й

м ате риал. В дал ьнейшем это пра вило исполь зу ется д ля р ац иона

л иза ции вычислен ий. П равило д ел ения числа на произведение ш и

роко применяется при де лении чисел, оканчиваю щихс я ну лями.

Упражнения

1.

Н айдите знач ение выр аж ения, прим енив пра вило деления сум

мы На число:

153

а ) (720 + 600): 12;

б) (7 7 0 + 1 4 0 ): 35;

в) (6 7 5 + 225):25;

г) (120 + 3 6 + 186):6.

2 . Учащим ся пр едлагаются зада ния:

Рас смотри и об ъясни реш ение примероЪ:

3 6 : 2 = (20+ 16): 2 =

= 2 0 : 2 + 1 6 : 2 =

= 10 + 8 = 1 8

6 5 : 5 = ( 5 0 + 15): 5 =

= 5 0 :5 + 15 :5 =

= 10 + 3 = 1 3

Вып олнит е это задание и объяс ните, в чем за кл ючается здесь

смысл испол ьзовани я пр авила деления суммы на число.

3. Реш ите задач у разным и с пособам и:

«В лапту играли 14 д евоч ек и 12 мальчиков. Они р азделились

на 2 команды. Сколько челове к было в к аж дой команде ?»

4. Обосну йте все преобразования вы ражения:

1) 4 2 0:14 = 4 2 0 : (7 * 2 )= (4 2 0 :7) :2 = 6 0:2 = 30;

2) 7200:900 = 72 00: (9  100) = (720 0:100): 9 = 7 2 :9 = 8.

5. Найд ит е значени е выражения, использ уя правил о д еления

ч исла на пр оизведение 1) 6 00 :24; 2) 630:42; 3) 280 :35; 4) 54 00:9 00.

6. Срав ни те выражен ия, не произ во дя вычислений:

1) 560:(7 *4) и 5 6 0 : 7 :4;

2) 240:(3-5) и 2 4 0 :3 -5 ;

3 ) 3 2 .(1 0 * 2 ) и 32-1 0 + 32-2 ;

4 ) 5 6 - 1 0 - 4 и 56*14;

5) 12 - (6 0 : 15) и 12-60 :15.

7. Найдите ошибку в сле дующем рас суждении:

«16 :1 6 = 2 5 :2 5 — это истинное ра ве нство. П осл е вы нес ения за

скобки общего м но жителя бу дем иметь: 16 ( 1 : 1 )= 2 5 (1:1). Зн ая,

что 1:1 = 1, получаем, что 1 6 = 2 5 !»