57. Отнош ения «больше в» и «меньше в»
лО О О О О О
Ч а ста при решении задач и в
пра кт ич еской деятельности в озника
А,
Аг
Рис. 100
А3
ет вопрос: « во сколько раз одно
число больше или ме нь ше другого? »
Первое зн акомст во с отно шения ми
«б ольш е в» и «меньше в» происходит
в нач ально й школе. Уточним смысл
этих отношений.
П усть дано множест во Л, в котором б элементов, и множество В,
с о дер жащ ее 2 элемента. Выд елим в множест ве Л под множес тва,
рав номощные множе ству В (рис. 100). Их оказывается 3. В этом
случае говоря т, что число б больше чис ла 2 в 3 раза, а число 2 мень
ше числа 6 в 3 р аза.
Во обще если д аны ч ис ла а и Ь, такие, что а = п ( А ), Ь = п (В ),
а > Ь , и множест во А мо жно разбить на с подм нож ест в, р авномощ
ных множеству В, то го вор ят, что число а больше ч ис ла Ь в с раз, а
число Ь ме нь ше ч ис ла а в с раз.
Н о что пре дставляет собой это число с? С т еоре тико -множе -
ственной точки зре ния — это частное чисел а и Ь. О тсюда по
л учаем правило:
Чтобы у знать, во сколько раз одно число больше или меньше
другого ,, н еобход имо бол ьше е число р азделить на меньшее.
Ра ссмотрим, на пример , задачу: «Посад или 3 дуба и 12 берез.
Во с колько раз меньше посадили ду бов, чем б ерез?»
Согласно сфор мулиро ванному пра вилу ответ на вопрос находитс я
при пом ощи д елени я: 12:3 = 4 ( р а за). Смысл произве денной опе
рации хор ошо иллюстрируе т рисунок 1 0 1 .
О тнош ения «б ольш е в» и «меньше в» вс треч аются и в за дачах
д ругого ви да.
З а д а ч а . У Нины 6 тетра дей, а у Коли в 2 р аза меньше.
Скол ько тет рад ей у Коли?
В за д а че речь идет о двух множе ства х: множеств е Л т е тра
дей у Нины и м но же стве В тетрадей у Коли. И звестн о, что п (Л) = 6.
Тр ебу етс я найти п (В), зн ая, что это число в 2 раза ме нь ше числа
6. Исходя из этого ус ловия множество Л можно пр едс тавить с остоя
щим из д ву х равн омощных по дмножес тв (рис. 102 ), и тогда в мно
ж ест ве В б удет с только эл ементов, сколько в кажд ом под множ е
ст ве м но жества Л, число которых на ходится делением: 6 : 2 = 3. З н а
чит, п ( В ) = 3, т. е. у Коли 3 т етр ади.
□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □
3
а д а ч а. У Н ины 3 т е тради , а у
Коли в 4 О
О
»аза бол ьше. Ск олько т етрадей у Ко ла?
В этой задач е, т а к ж е к ак и в пр е ды дущ е й
□
Рассматриваю тся д ва м но жест ва: м н о ж е с т
во А тетрадей у Н ины и множ ест во В тетр адей
о о
□
у Коли. И звестно, что п ( А ) = 3 . Тре буе тся най
ти п (В), зная, что это число элеме нт ов в м но
жестве В в 4 р а за б ольше ч исла элемен
о _о О
тов в мн ож естве А. Э то значи т, что м н о ж е с т
во В сос тоит из четы р ех не пересекающихся
по д множ еств В\, Вг, В3 и ВА, р а вном ощны х
множес тву А (рис. 103), и, сл едо ва тельно,
л
Рис. *102
' ~ з '
n ( B i )— n (B 2) = n ( B 3) = n ( B<) = n(A). Но т огда число эле ментов в
мно жестве В м ожно найти сложе нием п (В) = п (S i U ^ U ^ i t )® * ) —
= п (5 i) + n (Bi )-\ -n (Вз) + п (В4)= 3 + 3 + 3 + 3. Заменив с ложени е
у м но жен ием, по луч аем 3 + 3 + 3 + 3 = 3 - 4 = 12. Зн а чи т, у Кол и 12
т етр адей.
Заметим , что пр едлож ение «а больше Ь в с р аз» нельзя за пис ы
вать кратко, испол ьзуя зна к « > » , пос кольку д ля записи о тно
шения «бол ьше в» (так к ак и д л я от нош ения «ме нь ше в») нет спе
циально го знак а.
У праж нения
1. Объяс нит е см ысл пр едл ожени я: 1) 10 боль ше 5 в 2 раза;
2) 2 меньше 8 в 4 раза .
2. Н азовите от но шения, которые рассматриваю тся в ниж еприве
д енных за д ачах, реш ите эти за дачи, вы бор д ействи я обоснуйте:
1) Д л я украшения елки ученица вы резал а 3 зв езд очки, а ф л а ж
ков в 2 р аза бо льш е, чем зв ездоч ек. Скол ько ф л аж ко в выр езала
учени ца ?
2) Н а .участке рас тут 4 ели, их в 3 р а за меньше, чем б ерез.
Скол ько на участке б ерез?
3) У Володи было 8 красны х кру жков, а синих в 2 р аза меньше.
Ско лько синих кр уж ков б ыло у Вол оди?
4) Во д во ре гуляли 4 уте нка и 8 цы пл ят. Во сколь ко р аз б ольше
было цыплят, чем утят? Во ско лько раз меньше было утят, чем
цыплят?
„ V
f t __________________________________________________ §±_____/
V
В
Рис. 103
.
-
J51
5)
В короб ке л е ж а ло 8 цветны х кара ндаш ей, их в 2 раза больше,
чем простых. Ско лько прос тых к арандаш е й лежало в короб ке?
3. Со ста вьте две пр остые за д ачи, в кото рых рас сматривал ось бы
отношени е « больше в» и решен ие которых имело бы ви д равенства
15:3 = 5. ,
-а
4. Ре шите зада чи, вы бор д ействи й обоснуйте:
1) М а газин прода л 9 лодок, мо тоциклов в 3 р а за меньше, чем
ло док, а велосипедов в 5 р а з бо льше , чем лодок . Сколько лодок,
мотоци кл ов и ве лосипедов пр ода л мага зин?
2) В книге 72 с трани цы. Лена прочитал а с траниц в 9 раз
меньше, чем их с одерж ится в этой книге. Ско лько страниц ей
остало сь прочита ть?
3) Кате 9 лет, а ее па па в 5 р аз с т арше Ка ти. На сколько
лет Ка т я мо лож е свое го папы?