56. Деление

Расс мотрим за д ачу, ко торую реш аю т младшие школьники ,

[Приступая к изучению д ейст вия д еле ни я: «8 апе льс инов р азло жили

[на тар елки, по 2 апел ьсина на каждую. Ско лько раз по 2 апельсина

по ложили? Скол ько тарелок потр ебо ва лось?»

Ответ на вопрос за д а чи на ходит ся при помощ и деления: 8 : 2 = 4 .

Проана лизиру ем реш ение этой за дач и. В задаче р ассм атрива

ет ся множество, в котор ом 8 элементов. Оно р азбивается на под

множества , в кажд ом из кото рых по 2 э лем ента , т. е. на. равно

мощные подмно жес тва (рис. 98). Кроме того, они поп арно не пере

секаютс я. В задаче спрашивае т ся, с колько так их под множест в

получилось. Таким о бразо м, ч исло 4, полученн ое в о твете ,—

это число д вухэлементных подмножес тв, на кот орые разбито мно

жест во из 8 эле ментов.

О б ратим ся теперь к другой задач е: «12 ка рандаш ей раздал и

3 у ченикам поровну. Ско лько к арандашей получил ка жд ый? »

Она та(<же решается деле нием : 1 2:3 = 4 (к а ран д а ш а ). Но число

4 зде сь вы ступае т в д ругом смысле — к ак число элемент ов в

к аждом из трех р авномощ ны х не пересека ющихся подмножес тв,

на которые р азбито множество, сод ержащ ее 12 эле ментов (рис. 99).

В общем виде частно е целого неот рица тел ьного числа а и на ту

рального чис ла Ь о пред еляется с леду ющ им обр азом:

О п р е д е л е н и е . Пусть а = п (А ) и м но жес тво А раз бито на

поп арно непересекающиеся рав номощные подм но жества.

Если 6 — число по дмножеств в разбие нии мно жес тва Л, то

частным чисел а и b называется число эле ментов к аж дого под

множес тва.

Если 6 — число элеме нт ов кажд ого под мно жес тва в разбиении

мно жес тва А, то частным чисел а и 6 называет с я число под мно жест в

в этом разбиении.

Действие, при помо щи кот орого находят час тное а:Ь, назы ва е т

с я д елением , число а — делимым, Ь — делителем.

Ч аст о, чтобы про ве рить пр авильно сть выполнения действия деле

ния, мы обращаемся к умножени ю. Почем у? Очевидно, потому,

что дейст вия дел ения и умно жения взаимосвязаны. Но ка кова эта

связь?

П усть а = п( А) и множество А раз бито на b попарно непере-

л ( 4 ) = 3

о о о о о о о о

'уч. О о О о

о о о

о о о

147

с ека ющ их ся рав но мощных подмно жес тва А\, Л 2, ..., А ь. Тогда с =

— а: Ь есть число элеме нто в в к аждом таком по дмножес тве, т. е.

Так как по условию Л = Л | и Л 2и — IM», то п (А) = п (Л | иЛ 2и ,

U ... иЛ»). Но под множества Л |, Л 2,

Аь по па рно не пер е

секаютс я, зна чит, по опре делению суммы п (Л |и Л 2и.» и Л б ) =

Ч

Ь сла гаем ы х

Со гласно оп реде лению про изв едения с умма Ь с лага е мых, кажд ое

из которых равно с, есть про изв еде ние с-Ь.

Таким образом, установле но , что а = с - Ь , т. е. час тным чисел а и

Ь явл яетс я такое число с, пр оизв едение котор ого и ч исла Ь р авно а.

К тако му ж е выводу мы придем, если частное с = а :Ь буде т числом

под множеств в р азбиени и множества Л.

Таким о бразом, полу чаем второ е определение част ного:

О п р е д е л е н и е . Частным целого неотри цательного числа а и

натурального числа Ь назы вается такое целое неотрицател ьное

число с — а:Ь, произведение которого и числа Ь равно а.

Можно показать и наличие о брат ной с вязи, т. е. что из вто рого

опре дел ения частного вытек ает первое:

а : Ь — с о а = с -Ь

И т а к, во втором с л учае частное определено через про извед ение.

Поэ тому говорят, что делени е есть дейст вие, об рат ное умн ожению.

Вс егда ли су щес твует частное нату ральных чисел а и Ь? Отв ет

на это т во прос д а ет с ледующ ая тео рема :

Т е о р е м а . Д л я того чтобы сущес тво вало частное двух нату

р альны х чисе л а и Ь, не обходимо, чтобы Ь ^.а.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть час тное на тур альных чисел а и Ь

с уществует, т. е. сущ ест вует т акое нату рал ьное число с, что а — С'Ь.

Д л я любого на тураль ного числ а с спра ведливо у твер жд ение 1 ^ с .

Ум ножим обе части этого не рав енст ва на на турал ь ное число Ь,

получим Ь< ^с -Ь. П оско льк у с -Ь = а, то Ь ^ .а . Те орема д оказана.

Ч ему равн о частное а = 0 и натуральн ого числа 6? П о опреде

лению это такое число а, кот орое удовлетворяет условию с - Ь — 0.

Так к а к Ь ф О , т о рав енство о 6 = 0 бу дет вып ол няться при с — 0.

Сл едовате льн о, 0 : 6 = 0 , если b Ј N .

Т е о р е м а . Если частное нату раль ных чисел а и b существует,

то оно единственно.

Д ок азательство этой теорем ы аналогично доказа тельств у т ео

ремы о единственности р азно сти.

Рас смотрим теп ерь вопрос о невозможности деления цело го

не отрицательного числа на нуль.

Пусть даны ч ис ла а Ф 0 и 6 = 0 . П редпо лож им , что частное

чисел а и Ь сущ ествуе т. То гда по опр еделению част ного с ущ ест

вует т акое целое не отриц а тел ьное число с, что а = с - 0, отс юд а

148

.'$?■

Ј = 0 . П ришли к про тиворе чию с условием. Следова тел ьно, частное

Цисел а Ф 0 и 6 = 0 не существует.

Если а = 0 и Ь= 0, то из пр едл ожения, что частное таких

^ис ел а и b сущ ест вует, след ует рав енст во 0 = с -0, истинное при

любых зна чени ях с, т. е. част ным чисел а = 0 и Ь— 0 м ожет

быть любое число. Поэ тому в мате мат ике считают, что деление

нуля на нуль так же не возможно.

В на чальн ом кур се мат ематики перв оначаль ны е представ лени я

о делении формируются на осно ве пр актически х упраж не ни й, с в я

за нн ых с разбиё нием мно жес тва на по па рно непер есекагощиеся

р авномо щные подмножества , но без введе ния соответствующей тер

минологии и символики. Главным средств ом р аскрытия этого поня

тия делен ия явл яется решени е простых за д ач. Суть реш ения д вух

таких за д ач расс мотр ена в на чале пункта.

Определение дел ения как действ ия , обр атного ум ножени ю, в

явном виде не д ается. Взаимос вязь деления и умножения устан ав

ливает с я при изучении темы «Нахо ждение неизве стного множи

теля», где, по с ущес тву, происход ит об общ ение двух см ыс лов ч а

стного, имею щих место при его теоретико-множестве нной тр акто вке .

Ч

Упражнения

1. Д а йте теор етико -м но жественн ое истол ко ва ние сл едующим

раве нства м: 1) 6 : 3 = 2; 2) 4:4 = 1; 3) 3 : 1 = 3 .

2. В учеб нике по матема тике д ля начальной школы приведено

правило: «Дел ение м ожно провер ить у множением.

7 8 :3 = 26.

Д ля прове рки умножим по лученное частное на делител ь: 26-3 =

= 78. Получилось делимо е».

Каково теоретич еское об основание этого пра вил а?

3. Сфор мулиру йт е не обходимое условие с ущест вован ия частн ого

нату рал ьных чисел. Являет ся ли оно достаточ ным?

4. О бъясните, почем у ниж е при веденн ые задач и р ешаю тся при

помощи дел ения :

1 ) М ама раздала детям 12 яблок, по 4 ябло ка каждом у. Ск оль

ко детей полу чили яб локи?

2) 8 мор ковок р аздали 4 кроликам поровн у. Сколько мор ковок

д а ли кажд ому кролику?

5. Ка к изменится частное, если д елимое уве лич ить в 52 р аза,

а д елите ль в 13 раз?

6. Н айдите ошибк у в сл едующем рас суж дени и:

« 3 5 + Ю— 45 = 42 + 12 — 5 4— это истинное р авенство. Вынесем мно

жител и левой и правой част ей за скобки. Полу чим:

5-(7 + 2 —9 ) = 6 - ( 7 + 2 — 9).

Разде лим обе ч асти этого р авенс тва на выр аж ение 7 + 2 — 9.

Полу чим, что 5 = 6!»