55. Законы умноже ния

Д ок аж ем законы умножения, исходя из определения произве

дения через декартово произведение множеств.

1 . П е р е м е с т и т е л ь н ы й з а к о н : д ля любых целы х неотри

цат ель ных чисе л а и Ь сп равед ливо равенст во а-Ъ — Ь-а.

Пусть а — п(А), Ь= п(В). Тогда по определению произведения

а-Ь = п ( А Х В). Но множест ва А Х В и В Х А равн ом от ны: каждой

паре (а, Ь) из множества А Х В можно поставить в соответствие

единственную пару (Ь, а) из множества В Х А , и наоборот. Значит,

п ( А Х В ) = п (ВХА ), и поэтому а- b = п ( А Х В ) - п ( В Х А ) = Ь  а.

2. С о ч е т а т е л ь н ы й з а к о н : для любых целы х неотрица

тельных чисел а, Ь, с сп ра ведливо равенство (а- Ь) -с = а  (Ь -с).

Пусть а = я(Л ), Ь— п [В), с = п(С). Тогда по определению произ- 

ведения ( а-Ь)- с = п { ( АХВ)ХС ), а а-(Ь- с) = п ( А Х ( В Х С ) ). Множе

ства (А Х В ) Х С и А Х ( В Х С ) различны: первое состоит из пар вида

((а, Ь), с), а второе — из пар вида (а, (b, с)), где аЈЛ, ЬЈВ , сЈС.

Но м ножества (А Х В ) Х С и Л Х (В Х С ) равномощны, та к как суще

ствует взаимно однозначное отображение одного множества на

другое. Поэтому п ( ( А Х В ) Х С ) = п ( ЛХ{ВХС)), и, значит, (а- Ь)-с =

= а-(Ь'С).

3. Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й з а к о н у м н о ж е н и я о т

н о с и т е л ь н о с л о ж е н и я : для лю бы х целы х неотрицательных

чи сел а, Ь, с спр аведливо равенство (a-\-b ) 'C = ac -\-b c.

Этот закон выводится из равен ства

( Л и В )Х С = (Л хС )и (В Х С ) (*).

Пусть а = п( А) ,Ь = п (В), с = п (С) н А [\В = @. Тогда по определе

нию произведения имеем ( a-f b) -c = n ((/4 IJB)X С). Откуда на осно ва

нии равенства (*) получаем п ((Л UB )X С) = п((И X C)U(B X С)), и да-

.лее по определению суммы и произведения п ((Л X C)U(BX С)) =

= п { A x C ) + n { B x C ) = ac + bc.

4. Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й з а к о н у м н о ж е н и я о т н о

с и т е л ь н о в ы ч и т а н и я : для лю бых целы х неотрицательных

чисел а, Ь и с и а ^ Ь спра вед ливо равенство ( а — Ь)с =

= а с — Ьс.

Этот закон выводится из равенства (Л \В)Х С = (Л Х С ) \ ( В Х С )

и до казывается аналогично предыдущему.

Переместительный и сочетательный законы умножения можно

расп ростр анить на любое число множителей. Как и при сложении,

эти законы часто используются совместно, т. е. произведение

нескольких множителей не изменится, если их переставить любым

способом и если любую их группу заключить в скобки.

Распределительные законы устанавл ива ют связь умножения со

сложением и вычитанием. На основе этих законов происходит рас кры

тие скобок в выражениях типа (а + 6) с и (а — Ь) с, а также вынесение

N4

' ■

Множител я за скобки, если выр ажение имеет вид ас — Ьс или

а с + Ьс.

$ Выясним, как ис по льзую тся зако ны у множения при вычислениях.

Найд ем, нап ример, знач ение выр а жения 1 2 5-15-6-8.

П ереста вим м естам и мно жит ели 15 и 6 — это м ожно с делат ь на

о сновани и пе ремес тительного за ко на умнож ения, получим 1 2 5 -6Х

X 15-8.

Выдели м в этом произвед ении группы по 2 множителя — это

р азрешает с дел ать соче тат ельный зак он умножени я: (125 -6)Х

Х (1 5-8 ).

Про изв еде м умножение чисел в скобках: 75 0-120 .

Чтобы найт и это произвед ение, пред ставим 75Ь в виде суммы

двух слага емых 700 и 50: (700 + 5 0)-120.

Умножим каждое с лагаемое на 120 — это мо жно с дел ать с о

гласно рас пр еделите льному закону ум но жения о тносительно сло же

ния: 700  120 + 50  120 = 84 000 + 6000 = 90 000.

Знач ение выражения 1 2 5-1 5 -6 -8 м ожно найти иначе: 125- 1 5Х

X 6 -8 = 125-(15 - 6) 8 = 1 2 5 -9 0 -8 = 125-8- 90 = (1 2 5 - 8 ) - 9 0 = 1000Х

Х 9 0 = 90 000.

При выполнении пре обра зо ваний в этом случае были исполь

зова ны:

со чет ательный зако н умножения — на его ос нове была вы деле на

группа множителей 15-6, а за тем 125-8;

перем еститель ный закон умножения — на его основе б ыли пе ре

ставлены множит ели 90 и 8.

В начальном курсе ма тема тики изуча ется пер емес тит ельное

свой ство умножения, оно ф орму лируется т ак: «От пере ста новки

множителей произ ве дени е не измени тся» — и широко используе тся

при составлении таблицы ум ножения однозн ачны х чисел. Сочета

те льный закон в на чальной школе в явном виде не рас сматривает

ся, но исполь зу етс я вместе с пе ремес тительным при умножени и

числа на про изведение. П роисходит это с лед ующим образ ом:

учащ имся пред лаг ается рассмотреть р азличны е спос обы н ахож

д ения зна чения выражения 3 -(5-2) и с равн ить получ енные ре

зу льт аты.

П риводя тся с лучаи:

1) 3 -(5 -2) = 3 - 10 = 30;

2) 3 -(5-2 ) = ( 3 -5 ) - 2 = 15-2 = 30:

3 ) 3 -(5 -2) = (3 -2 ) -5 = 6 -5 = 30.

Первы й из них основ ан на пр авиле пор яд ка д ейст вий, вто

рой — на соче тательном закон е умножения , третий — на перемес

тительном и соче тательном зак онах умножения .

Расп ред елит ель ный зак он ум но жения относительно с лож ения

рас сматривается в шко ле на конкретных приме рах и носит н а зва

ние правил ум ножения числа на су мму и суммы на число. Р а с

смот рение этих д вух пр авил диктует ся . методически ми с ооб

раже ния ми.

145

У праж не ни я

1. Ка кие преобразования выр ажений можно выполня ть на основе:

1 ) пере мест ительного зак она умножени я;

2 ) сочетатель но го за кона ум ножения; -3

3) распре делительного за кона умно жения относите льно сло

жени я?

2. И спол ьзуя перем естительный и с очет ате льны й зак оны у мно

жения, выражение (6 -7 )-5 пр еоб разуйте к виду (6 -5)*7. Ка ждый

шаг в преоб разо ваниях обоснуй те.

3. И с по льзу я распр еде лительн ые законы , на йдите зн ачения сле

дующих выра жени й:

1) 9 -1 3 + 9-87;

2) 5 - { 1 2 + 44);

3) 1 7 -1 2 - 1 7 -7 ;

4) 297-8.

4. Н а йд ите раци она льны м способом зн ачения вы раже ний, объяс

нив к аж дый ш аг в пре образова ния х:

1 ) 4 - 1 7 - 2 5 ;

2) (8-37 9)-125;

3) 2 4 - 19- 25-5;

4) (4 0-7-3) .2 5 ;

5) 1 26.24 + 1 2 6 -6+1 2 6 -10 ;

6 )61 -101.

5. Докажи те, что для любых нату ральн ых чисел а, Ь, с сп ра

вед ливо ут ве рждение: если а < 6, то а с < Ь с .

4 6. Не выпол няя ум но жени я, можно с каза ть, что 8 4 2 - 5 8 < 8 4 2 Х

Х 6 1 . П очему ?

7. Вместо * поставь те зна ки « > » , « < » или « = » так, чтобы

по лучилис ь истинные выс казыван ия:

1) 3 -2 9 + 7 -29 * 10-29;

2) 8-31 - 3 - 3 1 * 6-31;

3) 7-43 + 9-4 3 * 15-43;

4) 3 -1 7 + 9-1 7 * 13-17.

8. По учебнику мат ем атики д ля начальных кл ассов по знакомь

тесь с м ате риал ом у рока «Пе реста но вка мно жит елей». Каки м спо

собом рассуждени й получа ют вывод: «От пе рест ановки множителей

произ ве дени е не измен итс я»?

9. Явл яю тся ли дока зател ьством пере мест ит ельног о зак она у мно

ж ения целых не отриц ател ьных чисел р ассужд ения:

2 -3 = 6 и

4 -9 = 36 и

5 -1 7 = 85 и

3 - 2 = 6,

9 -4 = 36,

17-5 = 85.

Сл едо вате льно, для любых целых не отрицате льны х чисел а и Ь

с праведливо р авенство аЬ — Ьа?

10. Р ешите за д а ч у различ ным и способами и об оснуйт е выбор

спос оба:

1) Дву м мальчик ам разд али по 3 зелены х и по 4 кра сных

круга к аждом у. Скол ько всего кругов раздали этим маль чикам ?

2) Рабо тница у кл адывала в коробки сте клянные бокалы. В

кажду ю коробк у она уклад ывала 3 зел еных б ок ала и 3 же лтых. Она

у лож ила 16 короб ок. Сколько всего б окалов она у ложила?