Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Основы математики.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
12.47 Mб
Скачать

54. Умно жение

Понятие произведения целых неотрицательных чисел может

быть определено по-разному. Рассмотрим сначала подход, в основе

которого лежит понятие суммы.

О п р е д е л е н и е . Произведением целых неотрицательных чисел

а и Ь называется такое целое неотрицательное число а-Ь,

которое удовлетворяет следующим условиям:

1) а-Ь = а + а + ...-)- а при 6 > I;

6 слагаемых

2) а - 1= а при 6 = 1;

3) а -0 = 0 при 6 = 0.

Теоретико-множественный смысл этого определения следую

щий. Если множества А \, А з........... Аь имеют по а элементов

каждое и никакие два из них не пересекаются, то их объединение

содержи т а-Ь элементов. Следовательно, произведение а- Ь

это число элементов в объединении Ь попарно непересекающих

ся множеств, к аж дое из которых содержит по а элементов.

Равенств а а - 1 = а и а-0 = 0 принимаются по условию.

Действие , при помощи которого находят произведение чисел

а и Ь, наз ывают умножением ; числ а, которые умножа ют, называют

множителями.

Произведение любых целых неотрицательных чисел сущ еству

ет, и оно единственно.

С данным определением учащиеся знако мятся в начальных

классах. Смысл его раскрывается при решении простых задач.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На каждое детское

пальто нужно пришить 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно при

шить на 6 таких пальто?»

Почему она решается при помощи умножения? Потому, что в

ней требуется найти число элементов в объединении, состоящем

из 6 мн ожеств, в каждом из которых по 4 элемента. Согласно

определению это число находится умножением: 4 - 6 = 2 4 (пуго

вицы ).

Имеется и другое определение произведения целых неотрица

тельных чисел. Оно связа но с декарто вым произведением множеств.

Пусть даны два множества: А [х, у, г) и В = [п, I, г, s}. Найдем

их декарт ово произведение, которое запишем в виде прямоуголь

ной таблицы:

. я), (у. 0 . (у, г), {у, s),

(г, п), (г, /), (г, г), (г, s).

М2

В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковую первую

компоненту, а в каждом столбце одинаковая вторая компонента.

При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой

пары. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произве

дении А Х В равно 3-+-3-f-3 + 3 = 12. С другой стороны, п(Л) = 3,

л ( В )= 4 и 3- 4 =1 2 . Видим, что число элементов в декартовом

произведении данных множеств Л и В равно произведению п (А) -п (В).

Вообще если А и В конечные множества, то

п ( А х В ) = п(А)Хп ( В) .

Таким образом, произведение целых неотрицательных чисел а н Ь

можно рассматривать как число элементов декартова произведе

ния множеств А и В, где п ( А ) а, п ( В ) = Ь:

а-Ь — п { А Х В ), где п ( А ) = а , п ( В ) Ь

И в первом, и во втором случае нами определено произве

дение двух чисел. А как определить произведение нескольких мно

жителей?

Пусть произведение двух множителей определено и определено

произведение п множителей. Тогда произведение, состоящее

из я + 1 множителя, т. е. произведение а\ - а 2 '.. .-ап- ап+ [, равно

(а.\ ' 0 2 ' ... -ап) а„ + [.

Напри мер, чтобы найти произвед ение 2 -7-5 -Э сог ласно этому

определению, надо выполнить по следовательно следующие преобр а

зо вания: 2 -7 -5 -9 = (2 -7-5)-9= ((2 »7)-5 )-9 = ( 14-5 )-9 = 70 -9 = 630.

Упражнения

1. При определении произведения через сумму случаи умно же

ния на 1 и 0 огова риваются особо. Почему нет таких оговорок в

определении произведения через де картово произведение?

2. Объясните, почему 3*2 = 6, 1-4 = 4, 0- 2 = 0, 4 - 1 = 4 , 2-0 = 0,

испол ьзуя опре деление про изв еде ния, через:

1) сумм у; 2) дек арт ов о произведение.

3. Как понимать утверждение: «Произведение целых неотрица

тельных чисел существует, и оно единственно»? Откуда вытекает

его справедливость?

4. Использу я определение произведения нескольких множителей,

найдите пр оизведение:

1) 7 - 8 - 9 - 10; 2) 4-8 -10-12-14.

5. Объясните, почему нижеприведенные зад ачи решаются умноже

нием:

1) В 3 банки положили по 8 огурцов. Сколько всего огурцов

в этих банка х?

2) Д л я украшения елки каждый из пяти ребят сделал 4 игрушки.

Сколько всего игрушек изготовили ребята?

КЗ