
- •§ 1. Математические поняти я
- •1. Введение
- •2. О бъем и содерж ание понятия
- •3. Опред еление понятий
- •4. Требования к определ ению понятий
- •§ 2. Математичес ки е предложени я
- •5. Элем ентарные и составные предлож ения
- •6. Высказывания. Смы сл слов «и», «или», «не»
- •7. Высказывательны е форм ы
- •8. Смысл слов «все» и «некоторые»
- •9. Правила построения отрицаний высказываний,
- •2) Квантор общ ности (сущ ествования) заменяется квантором
- •10. Отнош ения следования и равносильности меж ду
- •11. Необходим ые и достаточные условия
- •12. Струк тура теоремы . Виды теорем
- •§ 3. Математичес ки е д о казательс тва
- •14. Простей шие схемы дедуктивных рассуждений
- •15. Неполная индукция
- •16. С пособы доказательства истинности высказываний
- •§ 4. Те ксто вые за д ачи и их реш ени е
- •18. Способы решения текстовых задач
- •19. Этапы решения задач арифметическими способами.
- •20. Приемы поиска плана решения задачи и его выполнение
- •21. Приемы проверки реш ения задачи
- •22. Решение задач алгебраическими способами
- •§ 5. Множества и операции над ни ми
- •23. Понятия множества и элемента множества
- •24. Способы задания множеств
- •25. Отношения меж ду множествами
- •26. Множества и понятия
- •27. Пересечен ие множеств
- •28. Объединение множеств
- •29. Законы пересечения и объединения множеств
- •30. Дополнение подмножества
- •31. Понятие разбиения множества на классы
- •32. Некоторые задачи, связанные с операциями
- •33. Декарто во умно жение множеств
- •34. Изображе ни е декартова произведения двух числовых
- •35. Некоторые задачи, связанные с декартовым умножением
- •§ 6. Отн ош ен ия и соотве тствия
- •36. Понятие отношения
- •37. Способы задания отношений
- •38. Свойства отношений
- •39. Отношение эквивалентности
- •40. Отношение порядка
- •41. Понятие соответствия
- •42. Соответствие, обратное данному
- •43. Взаимно однозначные соответствия
- •44. Равномощные множества
- •§ 7. Понятие числа
- •45. Об истории возникновения понятий
- •46. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет
- •47. Теоретико-множественный смысл количественного
- •§ 8. Понятие действий над целыми
- •48. Сложение
- •49. Законы сложения
- •50. Отношения «равно» и «меньше»
- •51. Вычитание
- •52. Отношения «больше нал и «меньш е на»
- •53. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа
- •54. Умно жение
- •55. Законы умноже ния
- •56. Деление
- •57. Отнош ения «больше в» и «меньше в»
- •58. Правила деления суммы на число и числа
- •59. Дел ение с остатком
- •60. Свойства множества целых неотрицательных чисел
- •§ 9. Смы сл натурального числа и действий
- •61. Сравнение отрезков. Действия над отрезкам и
- •63. Смысл сложения и вычитания чисел,
- •64. Смысл ум ножения н деления чисел,
- •§ 10. Запись целых неотрицательных чисел
- •66. О возникновении и развитии способов записи
- •67. О записи чисел в Древней Руси
- •68. Сло жение многозначных чисел
- •69. Вычитание многозначных чисел
- •70. У множени е многозначных чисел
- •72. Запись чисел в позиционных системах счисления,
- •73. Действия над числами в позиционн ых системах счисления,
- •§ 11. Д ел им ость ц елы х нео трицательных чисел
- •74. Понятие отно шени я делим ости
- •75. Свойства отно шения делим ости
- •76. Делимость сумм ы, разно сти и про изведения
- •77. Признаки делимости чисел
- •78. Наибольш ий об щий делитель
- •79. Признаки делимости на составные числа
- •80. Н ахож дение наиб ольш его общего делителя
- •81. Алгоритм Евклида
- •Глава I II
- •§ 12. Полож ительны е рац иональные чи сл а
- •82. Понятие дро би
- •83. Понятие по ложительного раци онал ьно го числа
- •85. Умно жение и деление
- •86. Упорядоченность м ножества положитель ных
- •87. Запись положите льных рациональных чисел
- •8 8. Б е с кон ечны е д е с ятичн ы е п е р и о д и ческ ие д р о б и
- •§ 13. Действительн ые числ а
- •89. Понятие положительно го иррационального числа
- •Глава IV
- •§ 14. Ч исловые р авен ства и нера венства
- •§ 15. Ура вне ния и неравенств а
- •§ 16. Функции
- •Глава V
- •§ 17. П о н я ти е величи ны и ее и з м ер ен и я
- •§ 18. Длина, п л о щ а д ь, м асса, вр емя
- •Глава I. Общие понятия математики
- •§ I. Математические п о н я ти я ......................................................................—
- •§ 2. Математические предло жения................................................................
- •§ 3. Математические доказательства.......................................................... 32
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение................................................................ 43
- •§ 5. Множества и операции над н и м и .......................................................... 61
- •§ 6 Отношения и соот ветствии...............................................
- •Глава II. Целые неотрицательные ч и с л а .......................................................... 123
- •§ 7 Понятие ч и с л а ........................................................................................—
- •§ 8. Понятие действий над целыми неотрицательными числами . . . .
- •§ 9. Смысл натурального числа и действий над числами — результатами из
- •§ 10. Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действии над
- •Глава III . Расширение понятия ч и с л а ...................................
- •§ 12. Положительные рациональные числа . . .
- •Глава V. Величины и их изм ерения...................................................................... 277
- •§ 17. Понятие величины и ее и змер ения..........................................................278
- •§ 18. Длина, площадь, масса, в р е м я .......................................................... ....287
54. Умно жение
Понятие произведения целых неотрицательных чисел может
быть определено по-разному. Рассмотрим сначала подход, в основе
которого лежит понятие суммы.
О п р е д е л е н и е . Произведением целых неотрицательных чисел
а и Ь называется такое целое неотрицательное число а-Ь,
которое удовлетворяет следующим условиям:
1) а-Ь = а + а + ...-)- а при 6 > I;
6 слагаемых
2) а - 1= а при 6 = 1;
3) а -0 = 0 при 6 = 0.
Теоретико-множественный смысл этого определения следую
щий. Если множества А \, А з........... Аь имеют по а элементов
каждое и никакие два из них не пересекаются, то их объединение
содержи т а-Ь элементов. Следовательно, произведение а- Ь —
это число элементов в объединении Ь попарно непересекающих
ся множеств, к аж дое из которых содержит по а элементов.
Равенств а а - 1 = а и а-0 = 0 принимаются по условию.
Действие , при помощи которого находят произведение чисел
а и Ь, наз ывают умножением ; числ а, которые умножа ют, называют
множителями.
Произведение любых целых неотрицательных чисел сущ еству
ет, и оно единственно.
С данным определением учащиеся знако мятся в начальных
классах. Смысл его раскрывается при решении простых задач.
Рассмотрим, например, такую задачу: «На каждое детское
пальто нужно пришить 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно при
шить на 6 таких пальто?»
Почему она решается при помощи умножения? Потому, что в
ней требуется найти число элементов в объединении, состоящем
из 6 мн ожеств, в каждом из которых по 4 элемента. Согласно
определению это число находится умножением: 4 - 6 = 2 4 (пуго
вицы ).
Имеется и другое определение произведения целых неотрица
тельных чисел. Оно связа но с декарто вым произведением множеств.
Пусть даны два множества: А — [х, у, г) и В = [п, I, г, s}. Найдем
их декарт ово произведение, которое запишем в виде прямоуголь
ной таблицы:
(У. я), (у. 0 . (у, г), {у, s),
(г, п), (г, /), (г, г), (г, s).
М2
В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковую первую
компоненту, а в каждом столбце одинаковая вторая компонента.
При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой
пары. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произве
дении А Х В равно 3-+-3-f-3 + 3 = 12. С другой стороны, п(Л) = 3,
л ( В )= 4 и 3- 4 =1 2 . Видим, что число элементов в декартовом
произведении данных множеств Л и В равно произведению п (А) -п (В).
Вообще если А и В — конечные множества, то
п ( А х В ) = п(А)Хп ( В) .
'у
Таким образом, произведение целых неотрицательных чисел а н Ь
можно рассматривать как число элементов декартова произведе
ния множеств А и В, где п ( А ) — а, п ( В ) = Ь:
а-Ь — п { А Х В ), где п ( А ) = а , п ( В ) — Ь
И в первом, и во втором случае нами определено произве
дение двух чисел. А как определить произведение нескольких мно
жителей?
Пусть произведение двух множителей определено и определено
произведение п множителей. Тогда произведение, состоящее
из я + 1 множителя, т. е. произведение а\ - а 2 '.. .-ап- ап+ [, равно
(а.\ ' 0 2 ' ... -ап) а„ + [.
Напри мер, чтобы найти произвед ение 2 -7-5 -Э сог ласно этому
определению, надо выполнить по следовательно следующие преобр а
зо вания: 2 -7 -5 -9 = (2 -7-5)-9= ((2 »7)-5 )-9 = ( 14-5 )-9 = 70 -9 = 630.
Упражнения
1. При определении произведения через сумму случаи умно же
ния на 1 и 0 огова риваются особо. Почему нет таких оговорок в
определении произведения через де картово произведение?
2. Объясните, почему 3*2 = 6, 1-4 = 4, 0- 2 = 0, 4 - 1 = 4 , 2-0 = 0,
испол ьзуя опре деление про изв еде ния, через:
1) сумм у; 2) дек арт ов о произведение.
3. Как понимать утверждение: «Произведение целых неотрица
тельных чисел существует, и оно единственно»? Откуда вытекает
его справедливость?
4. Использу я определение произведения нескольких множителей,
найдите пр оизведение:
1) 7 - 8 - 9 - 10; 2) 4-8 -10-12-14.
5. Объясните, почему нижеприведенные зад ачи решаются умноже
нием:
1) В 3 банки положили по 8 огурцов. Сколько всего огурцов
в этих банка х?
2) Д л я украшения елки каждый из пяти ребят сделал 4 игрушки.
Сколько всего игрушек изготовили ребята?
КЗ